a) Xét \(\triangle \mathit{A} \mathit{D} \mathit{M}\) và \(\triangle \mathit{A} \mathit{B} \mathit{M}\) có

\(\mathit{A} \mathit{D} = \mathit{A} \mathit{B}\) (già thiết);

\(\mathit{D} \mathit{M} = \mathit{B} \mathit{M}\) (giả thiết \(\mathit{M}\) là trung điểm của \(\mathit{B} \mathit{D}\));

\(\mathit{A} \mathit{M}\) chung.

Suy ra \(\triangle \mathit{A} \mathit{D} \mathit{M} = \triangle \mathit{A} \mathit{B} \mathit{M}\) (c.c.c).

Do đó \(\hat{\mathit{D} \mathit{A} \mathit{M}} = \hat{\mathit{B} \mathit{A} \mathit{M}}\) (hai góc tương ứng).

Vì vậy \(\mathit{A} \mathit{M}\) là tia phân giác góc \(\mathit{A}\) của tam giác \(\mathit{A} \mathit{B} \mathit{C}\).

b) Theo chứng minh trên, có \(\mathit{A} \mathit{M}\) là tia phân giác góc \(\mathit{A}\).

Lại có \(\mathit{E}\) là giao điểm của tia phân giác góc \(\mathit{B}\) với tia \(\mathit{A} \mathit{E}\) (giả thiết).

Như vậy \(\mathit{E}\) là giao điểm của tia phân giác góc \(\mathit{A}\) với tia phân giác góc \(\mathit{B}\).

Suy ra \(\mathit{C} \mathit{E}\) là phân giác góc \(\mathit{C}\) (theo định lí: ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm).

Từ đó \(\hat{\mathit{A} \mathit{C} \mathit{E}} = \frac{1}{2} \hat{\mathit{C}} = 1 5^{\circ}\).

a) Chiều rộng, chiều dài, chiều cao của bể lần lượt là \(3 x ; 2 x ; x\).

Bể có thể tích \(3 x . 2 x . x = 6 x^{3}\) (dm\(^{3}\)).

Bể chứa được \(6 x^{3}\) lít nước. Do bể đang có \(100\) lít nước nên để bể đầy nước cần thêm vào bể \(\mathit{A} = 6 x^{3} - 100\) (lít) nước.

b) Trường hợp bể có chiều cao \(5\) dm thì \(x = 5\), lượng nước cần thêm vào bể là giá trị của đa thức \(\mathit{A}\) tại \(x = 5\), tức là bằng \(6. 5^{3} - 100 = 650\) (lít).

Để đầy bể nước, cần mở vòi trong \(650 : 25 = 26\)  phút.

Xét \(6\) biến cố sau:

A: "Hải chọn suất ăn gồm đùi gà rán và phô mai que".

B: "Hải chọn suất ăn gồm đùi gà rán và khoai tây chiên".

C: "Hải chọn suất ăn gồm cánh gà rán và phô mai que".

D: "Hải chọn suất ăn gồm cánh gà rán và khoai tây chiên".

E: "Hải chọn suất ăn gồm phở và phô mai que".

F: "Hải chọn suất ăn gồm phở và khoai tây chiên".

Ta thấy \(6\) biến cố trên đồng khả năng và luôn xảy ra đúng một trong sáu biến cố này.

Vì vậy, mỗi biến cố trên đều có xác suất bằng \(\frac{1}{6}\). Nói riêng, biến cố \(\mathit{A}\) có xác suất bằng \(\frac{1}{6}\).

a) Khi xe di chuyển trên cùng một loại đường thì chiều dài quãng đường và lượng xăng tiêu thụ là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có:

\(\frac{100}{13,9}=\frac{30}{x}\) suy ra \(x=\frac{13,9.30}{100}=4,17\)

Do đó, để đi được \(30\) km đường đô thị cần tối thiểu \(4 , 17\) lít xăng.

b)  Khi xe di chuyển trên cùng một loại đường thì chiều dài quãng đường và lượng xăng tiêu thụ là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có:

\(\frac{100}{7,5}=\frac{y}{4,17}\) suy ra \(y=\frac{100.4,17}{7,5}=55,6\)

Nếu đi trên cao tốc thì với \(4 , 17\) lít xăng, xe chạy được \(55 , 6\) km.

c) Bài toán được tóm tắt như sau:

Từ đó \(x = \left(\right. 20 , 13 , 9 \left.\right) : 100 = 2 , 78\); \(y = \left(\right. 80.7 , 5 \left.\right) : 100 = 6\); \(z = \left(\right. 30.9 , 9 \left.\right) : 100 = 2 , 97\).

Do đó từ nhà về quê, xe ông An tiêu thụ hết \(2 , 78 + 6 + 2 , 97 = 11 , 75\) lít xăng.

Tại \(x = 9\) thì:

\(\mathit{C} = x^{14} - 10 x^{13} + 10 x^{12} - 10 x^{11} + . . . + 10 x^{2} - 10 x + 10\)

\(\mathit{C} = x^{14} - \left(\right. x + 1 \left.\right) x^{13} + \left(\right. x + 1 \left.\right) x^{12} - \left(\right. x + 1 \left.\right) x^{11} + . . . + \left(\right. x + 1 \left.\right) x^{2} - \left(\right. x + 1 \left.\right) x + x + 1\)

\(\mathit{C} = x^{14} - x^{14} - x^{13} + x^{13} + x^{12} - x^{12} - x^{11} + . . . + x^{3} + x^{2} - x^{2} - x + x + 1\)

\(\mathit{C} = 1\).

Vậy tại \(x = 9\) thì giá trị của \(\mathit{C}\) bằng \(1\).

a) Xét \(\Delta \mathit{A} \mathit{H} \mathit{B}\) và \(\Delta \mathit{A} \mathit{H} \mathit{C}\) có:

\(\mathit{A} \mathit{B} = \mathit{A} \mathit{C}\) (gt);

\(\mathit{A} \mathit{H}\) chung;

\(\mathit{H} \mathit{B} = \mathit{H} \mathit{C}\) (\(\mathit{H}\) là trung điểm của \(\mathit{B} \mathit{C}\));

Suy ra \(\Delta \mathit{A} \mathit{H} \mathit{B} = \Delta \mathit{A} \mathit{H} \mathit{C}\) (c.c.c).

b) Vì \(\Delta \mathit{A} \mathit{H} \mathit{B} = \Delta \mathit{A} \mathit{H} \mathit{C}\) (cmt) suy ra \(\hat{\mathit{A} \mathit{H} \mathit{B}} = \hat{\mathit{A} \mathit{H} \mathit{C}}\) (cặp góc tương ứng).

Mà \(\hat{\mathit{A} \mathit{H} \mathit{B}} + \hat{\mathit{A} \mathit{H} \mathit{C}} = 18 0^{\circ}\) (hai góc kề bù).

Suy ra \(\hat{\mathit{A} \mathit{H} \mathit{B}} = \hat{\mathit{A} \mathit{H} \mathit{C}} = 9 0^{\circ}\).

Vậy \(\mathit{A} \mathit{H} \bot \mathit{B} \mathit{C}\).

c) Vi \(\Delta \mathit{A} \mathit{H} \mathit{B} = \Delta \mathit{A} \mathit{H} \mathit{C}\) (cmt) suy ra \(\hat{\mathit{H} \mathit{A} \mathit{B}} = \hat{\mathit{H} \mathit{A} \mathit{C}} = 4 5^{\circ}\);

\(\hat{\mathit{H} \mathit{C} \mathit{A}} = \hat{\mathit{H} \mathit{B} \mathit{A}} = \frac{18 0^{\circ} - \hat{\mathit{B} \mathit{A} \mathit{C}}}{2} = 4 5^{\circ}\) (cặp góc tương ứng).

Xét \(\Delta \mathit{E} \mathit{B} \mathit{A}\) và \(\Delta \mathit{B} \mathit{F} \mathit{C}\) có:

\(\mathit{A} \mathit{B} = \mathit{C} \mathit{F}\) (gt);

\(\hat{\mathit{B} \mathit{A} \mathit{E}} = \hat{\mathit{B} \mathit{C} \mathit{F}}\) (cùng bù với \(\hat{\mathit{H} \mathit{A} \mathit{B}} = \hat{\mathit{H} \mathit{C} \mathit{A}} = 4 5^{\circ}\));

\(\mathit{E} \mathit{A} = \mathit{B} \mathit{C}\) (gt);

Suy ra \(\Delta \mathit{E} \mathit{B} \mathit{A} = \Delta \mathit{B} \mathit{F} \mathit{C}\) (c.g.c).

Vậy \(\mathit{B} \mathit{E} = \mathit{B} \mathit{F}\) (cặp cạnh tương ứng).

Theo bất đẳng thức tam giác:

\(\mathit{A} \mathit{B} - \mathit{A} \mathit{C} < \mathit{B} \mathit{C} < \mathit{A} \mathit{B} + \mathit{A} \mathit{C}\)

\(5 < \mathit{B} \mathit{C} < \&\text{nbsp}; 7\)

\(\mathit{B} \mathit{C} = 6 c m\)

Vậy tam giác \(\mathit{A} \mathit{B} \mathit{C}\) cân tại \(\mathit{B}\).

a) \(\mathit{V}_{\mathit{A} \mathit{B} \mathit{C} \mathit{D} \cdot \mathit{A} ' \mathit{B}^{'} \mathit{C}^{'} \mathit{D}^{'}} = 10.8.5 = 400 \left(\right. \&\text{nbsp}; c m^{3} \left.\right)\)

b) \(\mathit{V}_{\mathit{A} \mathit{D} \mathit{E} \cdot \mathit{A}^{'} \mathit{D}^{'} \mathit{E}^{'}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 10.8 = 120 \left(\right. \&\text{nbsp}; c m^{3} \left.\right)\)
\(\mathit{V}_{\text{kh} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{i}\&\text{nbsp};\text{g} \overset{\sim}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};} = \mathit{V}_{\mathit{A} \mathit{B} \mathit{C} \mathit{D} \cdot \mathit{A}^{'} \mathit{B}^{'} \mathit{C}^{'} \mathit{D}^{'}} + \mathit{V}_{\mathit{A} \mathit{D} \mathit{E} \cdot \mathit{A}^{'} \mathit{D}^{'} \mathit{E}^{'}}\) \(= 400 + 120 = 520 \left(\right. c m^{3} \left.\right)\)

a) Do \(\mathit{A} \mathit{B} < \mathit{A} \mathit{C}\) nên \(\hat{\mathit{C}} < \hat{\mathit{B}}\).

Vậy \(\hat{\mathit{C}} < \hat{\mathit{B}} < \hat{\mathit{A}}\).

b) Xét \(\triangle \mathit{A} \mathit{B} \mathit{C}\) và \(\triangle \mathit{A} \mathit{D} \mathit{C}\).

\(\mathit{B} \mathit{A} \mathit{C} = \mathit{D} \mathit{A} \mathit{C} = 9 0^{\circ} ; \mathit{B} \mathit{A} = \mathit{A} \mathit{D} ; \mathit{A} \mathit{C}\) cạnh chung.

\(\Delta \mathit{A} \mathit{B} \mathit{C} = \triangle \mathit{A} \mathit{D} \mathit{C}\) (hai cạnh góc vuông).

\(\mathit{B} \mathit{C} = \mathit{A} \mathit{D}\) (cạnh tương ứng) \(\Rightarrow \triangle \mathit{C} \mathit{B} \mathit{D}\) cân tại \(\mathit{C}\).

c) Xét \(\triangle \mathit{C} \mathit{B} \mathit{D}\) có \(\mathit{C} \mathit{A} , \mathit{B} \mathit{E}\) là trung tuyến (gt).

Nên \(\mathit{I}\) là trọng tâm \(\triangle \mathit{C} \mathit{B} \mathit{D}\).

Suy ra \(\mathit{D} \mathit{I}\) cắt \(\mathit{B} \mathit{C}\) tại trung điểm của \(\mathit{B} \mathit{C}\).

Tổng số học sinh là \(1 + 5 = 6\) HS

Xác suất của biến cố bạn được chọn là nam là \(\frac{1}{6}\).