Để chứng minh rằng \(p^{2024} - 1\) chia hết cho 60, ta sẽ sử dụng tính chất của các số nguyên tố và một số lý thuyết về chia hết.

Bước 1: Phân tích 60

Trước tiên, ta phân tích 60 thành các thừa số nguyên tố:

Vậy, \(p^{2024} - 1\) phải chia hết cho 2^2, 3 và 5.

Bước 2: Chứng minh \(p^{2024} - 1\) chia hết cho 4

Ta cần chứng minh rằng \(p^{2024} - 1\) chia hết cho 4. Vì \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 5, nên \(p\) có thể là một trong các số sau: 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

• Đối với bất kỳ số nguyên tố \(p > 2\), \(p\) luôn có dạng lẻ. Do đó, \(p^{2}\) luôn đồng dư với 1 modulo 4. Cụ thể:
  \(p^{2} \equiv 1 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\)
• Vì vậy, \(p^{2024} = \left(\right. p^{2} \left.\right)^{1012} \equiv 1^{1012} = 1 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\).
  Do đó, \(p^{2024} - 1 \equiv 1 - 1 = 0 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\).

Vậy, \(p^{2024} - 1\) chia hết cho 4.

Bước 3: Chứng minh \(p^{2024} - 1\) chia hết cho 3

Ta cần chứng minh rằng \(p^{2024} - 1\) chia hết cho 3.

• Nếu \(p\) là một số nguyên tố lớn hơn 3, thì \(p\) sẽ có dạng \(1\) hoặc \(2\) modulo 3.
• • Nếu \(p \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\), ta có:
    \(p^{2024} \equiv 1^{2024} = 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)
    Vậy \(p^{2024} - 1 \equiv 1 - 1 = 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\).
  • Nếu \(p \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\), ta có:
    \(p^{2} \equiv 4 \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)
    Do đó, \(p^{2024} = \left(\right. p^{2} \left.\right)^{1012} \equiv 1^{1012} = 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\). Vậy \(p^{2024} - 1 \equiv 1 - 1 = 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\).

Vậy, \(p^{2024} - 1\) chia hết cho 3.

Bước 4: Chứng minh \(p^{2024} - 1\) chia hết cho 5

Ta cần chứng minh rằng \(p^{2024} - 1\) chia hết cho 5.

• Nếu \(p\) là một số nguyên tố lớn hơn 5, thì \(p\) sẽ có dạng \(1 , 2 , 3\) hoặc \(4\) modulo 5.
• • Nếu \(p \equiv 1 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\), ta có:
    \(p^{2024} \equiv 1^{2024} = 1 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\)
    Vậy \(p^{2024} - 1 \equiv 1 - 1 = 0 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\).
  • Nếu \(p \equiv 2 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\), ta có:
    \(p^{4} \equiv 1 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\)
    Vì \(2024\) là bội của 4, ta có:
    \(p^{2024} = \left(\right. p^{4} \left.\right)^{506} \equiv 1^{506} = 1 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\)
    Vậy \(p^{2024} - 1 \equiv 1 - 1 = 0 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\).
  • Nếu \(p \equiv 3 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\), ta có:
    \(p^{4} \equiv 1 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\)
    Tương tự như trường hợp \(p \equiv 2 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\), ta có:
    \(p^{2024} \equiv 1 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\)
    Vậy \(p^{2024} - 1 \equiv 1 - 1 = 0 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\).
  • Nếu \(p \equiv 4 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\), ta có:
    \(p^{4} \equiv 1 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\)
    Tương tự như các trường hợp trên, ta có:
    \(p^{2024} \equiv 1 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\)
    Vậy \(p^{2024} - 1 \equiv 1 - 1 = 0 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\).

Vậy, \(p^{2024} - 1\) chia hết cho 5.

Bước 5: Kết luận

Vì \(p^{2024} - 1\) chia hết cho 4, 3 và 5, và 60 là bội của 4, 3 và 5, nên \(p^{2024} - 1\) chia hết cho 60.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \(p^{2024} - 1\) chia hết cho 60.

Để tính số tiền Minh phải trả khi mua cả hai sản phẩm, ta sẽ tính theo từng bước:

Bước 1: Tính số tiền cần trả cho đôi giày

Giá niêm yết của đôi giày là 360.000₫. Cửa hàng giảm giá 20% cho tất cả các mặt hàng, nên số tiền Minh phải trả cho đôi giày là:

\(\text{Gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{sau}\&\text{nbsp};\text{gi}ả\text{m} = 360.000 \times \left(\right. 1 - 0.20 \left.\right) = 360.000 \times 0.80 = 288.000 ₫\)

Bước 2: Tính số tiền cần trả cho cái áo

Giá niêm yết của cái áo là 200.000₫. Cửa hàng giảm giá 5% khi mua sản phẩm thứ hai (cái áo). Vì cái áo là sản phẩm thứ hai, Minh sẽ được giảm 5% trên giá niêm yết của áo:

\(\text{Gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{sau}\&\text{nbsp};\text{gi}ả\text{m} = 200.000 \times \left(\right. 1 - 0.05 \left.\right) = 200.000 \times 0.95 = 190.000 ₫\)

Bước 3: Tính tổng số tiền phải trả

Tổng số tiền Minh phải trả cho cả đôi giày và cái áo là:

\(\text{T}ổ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{n} = 288.000 + 190.000 = 478.000 ₫\)

Kết luận:

Minh phải trả 478.000₫ cho cả hai sản phẩm.

Để giải bài toán, ta đặt ba số là \(x\), \(y\), và \(z\), với:

• Số thứ nhất là \(x\),
• Số thứ hai là \(y\),
• Số thứ ba là \(z\).

Theo đề bài, ta có các điều kiện sau:

1. Số thứ nhất gấp 3 lần số thứ hai: \(x = 3 y\).
2. Số thứ ba lớn hơn số thứ hai 5 đơn vị: \(z = y + 5\).
3. Tổng ba số bằng 55: \(x + y + z = 55\).

Bây giờ ta thay các biểu thức từ điều kiện 1 và điều kiện 2 vào điều kiện 3:

Giải phương trình:

Sau khi tìm được \(y = 10\), ta tính \(x\) và \(z\):

• \(x = 3 y = 3 \times 10 = 30\),
• \(z = y + 5 = 10 + 5 = 15\).

Vậy ba số cần tìm là: 30, 10, 15.

Kiểm tra lại tổng:
\(30 + 10 + 15 = 55\), đúng với điều kiện đề bài.

Do đó, ba số là 30, 10, 15.

hai số cần tìm là 47 và 0.

Để tính diện tích lớp học, ta cần làm theo các bước sau:

1. Tính kích thước thực của lớp học:
2. • Tỉ lệ trên bản đồ là 1:100, có nghĩa là 1 cm trên bản đồ tương đương với 100 cm (hoặc 1 m) trong thực tế.
   • Chiều dài thực của lớp học:
     \(18 \textrm{ } \text{cm} \times 100 = 1800 \textrm{ } \text{cm} = 18 \textrm{ } \text{m}\)
   • Chiều rộng thực của lớp học:
     \(7 \textrm{ } \text{cm} \times 100 = 700 \textrm{ } \text{cm} = 7 \textrm{ } \text{m}\)
3. Tính diện tích lớp học:
   \(\text{Di}ệ\text{nt}\overset{ˊ}{\imath}\text{ch}=18\textrm{ }\text{m}\times7\textrm{ }\text{m}=126\textrm{ }\text{m}^2\)
4. • Diện tích = chiều dài × chiều rộng.

Vậy, diện tích lớp học là 126 m².

tương đương 16,5

Từ "như" trong câu:

“Buổi sáng hôm khởi hành, trời nhiều sương mù, ông mặt trời đỏ xám xịt khi ẩn khi hiện, xuất hiện lờ mờ như một con mắt khổng lồ trên vành của bầu trời vàng rực.”

Dùng để so sánh, và trong câu này, "như" có vai trò kết nối phần mô tả về mặt trời với hình ảnh "con mắt khổng lồ."

Giải thích:

• Từ "như" trong câu này là một liên từ chỉ sự so sánh.
• Trong các từ được đưa ra, từ "lờ mờ" cũng là một tính từ miêu tả và có quan hệ với tính chất của sự vật, tương tự như từ "như" dùng để so sánh.

Vậy, từ "như" cùng từ loại với từ:

B. Lờ mờ

Từ "như" trong câu:

“Buổi sáng hôm khởi hành, trời nhiều sương mù, ông mặt trời đỏ xám xịt khi ẩn khi hiện, xuất hiện lờ mờ như một con mắt khổng lồ trên vành của bầu trời vàng rực.”

Dùng để so sánh, và trong câu này, "như" có vai trò kết nối phần mô tả về mặt trời với hình ảnh "con mắt khổng lồ."

Giải thích:

• Từ "như" trong câu này là một liên từ chỉ sự so sánh.
• Trong các từ được đưa ra, từ "lờ mờ" cũng là một tính từ miêu tả và có quan hệ với tính chất của sự vật, tương tự như từ "như" dùng để so sánh.

Vậy, từ "như" cùng từ loại với từ:

B. Lờ mờ

tương đương 16,5

Giải bài toán:

• Khoảng cách AB = 360 km.
• Xe máy xuất phát lúc 7 giờ với vận tốc 40 km/h.
• Xe ô tô xuất phát sau xe máy 3 giờ, tức là 10 giờ, với vận tốc 80 km/h.

a. Hai xe gặp nhau lúc mấy giờ?

Để giải bài toán này, ta tính quãng đường mà xe máy đã đi được trong 3 giờ trước khi xe ô tô xuất phát.

1. Quãng đường xe máy đi trong 3 giờ đầu: \(D_{\text{m}\overset{ˊ}{\text{a}}\text{y}}=\text{v}ậ\text{nt}\overset{ˊ}{\hat{\text{o}}}\text{c}\times\text{th}ờ\text{igian}=40\textrm{ }\text{km}/\text{h}\times3\textrm{ }\text{gi}ờ=120\textrm{ }\text{km}\)

Sau 3 giờ, xe máy đã đi được 120 km, vì vậy khoảng cách còn lại giữa xe máy và điểm B là: \(360 - 120 = 240 \textrm{ } \text{km}\)

2. Tốc độ tương đối giữa xe máy và xe ô tô:

• Xe máy đi với vận tốc 40 km/h.
• Xe ô tô đi với vận tốc 80 km/h.
• Tốc độ tương đối giữa xe ô tô và xe máy là: \(80 - 40 = 40 \textrm{ } \text{km}/\text{h}\)

3. Thời gian xe ô tô cần để gặp xe máy:

• Khoảng cách còn lại giữa hai xe là 240 km.
• Thời gian để xe ô tô bắt kịp xe máy là: \(\text{Th}ờ\text{igian}=\frac{\text{Kho}ảng\text{c}\overset{ˊ}{\text{a}}\text{ch}}{\text{T}\overset{ˊ}{\hat{\text{o}}}\text{c}độ\text{t}ưo\text{ng}đ\overset{ˊ}{\hat{\text{o}}}\text{i}}=\frac{240 \textrm{ } \text{km}}{40 \textrm{ } \text{km}/\text{h}}=6\textrm{ }\text{gi}ờ\)

4. Thời điểm hai xe gặp nhau:

• Xe ô tô xuất phát lúc 10 giờ.
• Sau 6 giờ, hai xe sẽ gặp nhau lúc: \(10 \textrm{ } \text{gi}ờ + 6 \textrm{ } \text{gi}ờ = 16 \textrm{ } \text{gi}ờ\)

Vậy, hai xe gặp nhau lúc 16 giờ (tức là 4 giờ chiều).

b. Xe ô tô đến sớm hơn xe máy bao nhiêu giờ?

1. Thời gian xe máy đi hết quãng đường 360 km:

• Xe máy đi với vận tốc 40 km/h.
• Thời gian để xe máy đi hết quãng đường 360 km là: \(\text{Th}ờ\text{i}\&\text{nbsp};\text{gian} = \frac{360 \textrm{ } \text{km}}{40 \textrm{ } \text{km}/\text{h}} = 9 \textrm{ } \text{gi}ờ\)
• Xe máy xuất phát lúc 7 giờ, nên xe máy sẽ đến B lúc: \(7 \textrm{ } \text{gi}ờ + 9 \textrm{ } \text{gi}ờ = 16 \textrm{ } \text{gi}ờ\)

2. Thời gian xe ô tô đi hết quãng đường 360 km:

• Xe ô tô đi với vận tốc 80 km/h.
• Thời gian để xe ô tô đi hết quãng đường 360 km là: \(\text{Th}ờ\text{i}\&\text{nbsp};\text{gian} = \frac{360 \textrm{ } \text{km}}{80 \textrm{ } \text{km}/\text{h}} = 4 , 5 \textrm{ } \text{gi}ờ\)
• Xe ô tô xuất phát lúc 10 giờ, nên xe ô tô sẽ đến B lúc: \(10 \textrm{ } \text{gi}ờ + 4 , 5 \textrm{ } \text{gi}ờ = 14 , 5 \textrm{ } \text{gi}ờ\) (14,5 giờ tức là 2 giờ 30 phút chiều).

3. Xe ô tô đến sớm hơn xe máy bao nhiêu giờ?

• Xe ô tô đến lúc 14,5 giờ, còn xe máy đến lúc 16 giờ.
• Khoảng thời gian xe ô tô đến sớm hơn xe máy là: \(16 \textrm{ } \text{gi}ờ - 14 , 5 \textrm{ } \text{gi}ờ = 1 , 5 \textrm{ } \text{gi}ờ\) Vậy, xe ô tô đến sớm hơn xe máy 1,5 giờ.

Kết quả:

• a. Hai xe gặp nhau lúc 16 giờ.
• b. Xe ô tô đến sớm hơn xe máy 1,5 giờ.