Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng phần như sau:

a. Tính AH
Trong tam giác vuông ABC, ta có:

• BH = 4 cm
• CH = 9 cm Áp dụng định lý Pytago-rơ: \(A B^{2} = B H^{2} + C H^{2}\) \(A B^{2} = 4^{2} + 9^{2} = 16 + 81 = 97\) \(A B = \sqrt{97} \approx 9.85 \&\text{nbsp};\text{cm}\) Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Áp dụng định lý Pytago-rơ: \(A H^{2} + H B^{2} = A B^{2}\) \(A H^{2} + 4^{2} = 97\) \(A H^{2} = 97 - 16 = 81\) \(A H = \sqrt{81} = 9 \&\text{nbsp};\text{cm}\)

b. Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB
Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, ta cần chứng minh có ít nhất hai cặp cạnh tỷ lệ với nhau.
Xét tam giác ADE và tam giác ACB:

• Tam giác ADE và tam giác ACB đều là tam giác vuông.
• Góc A chung cho cả hai tam giác.
• Tỷ lệ AE/AC = AD/AB (vì AH là đường cao). Vậy hai tam giác ADE và ACB đồng dạng.

c. Kẻ đường thẳng vuông góc với DE tại E, cắt HC tại M. Tính sin DME
Theo định lý Pytago-rơ, ta có:
\(D M^{2} + M E^{2} = D E^{2}\)
Vì DE vuông góc với EM, nên:
\(s i n D M E = \frac{D M}{D E}\)

Để chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại a, đường cao ah, kẻ hd vuông góc ab tại d và vuông góc ac tại e là nội tiếp, ta cần chứng minh rằng các đường thẳng ad, dh và ce đều cắt nhau tại một điểm.

Để làm được điều này, ta có thể sử dụng các tính chất sau:

1. Trong tam giác vuông, đường cao là trung trực của cạnh huyền.
2. Trong tam giác vuông, đường cao và cạnh huyền vuông góc với nhau.

Từ những tính chất trên, ta có thể suy ra:

• Đường ad là trung trực của cạnh bc, do đó ad, bc cắt nhau tại một điểm.
• Đường dh vuông góc với ab, do đó dh, ab cắt nhau tại một điểm.
• Đường ce vuông góc với ac, do đó ce, ac cắt nhau tại một điểm.

Vì vậy, ba đường ad, dh và ce đều cắt nhau tại một điểm, chứng tỏ tam giác ABC là nội tiếp.