Gọi $D$ là giao điểm của $AG$ và $BC\Rightarrow DB=DC$.

Ta có ��=23��BG=32​BE; ��=23��CG=32​CF (tính chất trọng tâm).

Vì $BE=CF$ nên $BG=CG\Rightarrow △BCG$ cân tại $G$

⇒���^=���^⇒GCB=GBC

Xét $△BFC$ và $△CEB$ có $CF=BE$ (giả thiết);

���^=���^GCB=GBC (chứng minh trên);

$BC$ là cạnh chung.

Do đó $△BFC=△CEB$ (c.g.c)

⇒���^=���^⇒FBC=ECB (hai góc tưong ứng)

$\Rightarrow △ABC$ cân tại $A\Rightarrow AB=AC$.

Từ đó suy ra $△ABD=△ACD$ (c.c.c)

⇒���^=���^⇒ADB=ADC. (hai góc tương ứng)

Mà ���^+���^=180∘⇒���^=���^=90∘⇒��⊥��ADB+ADC=180∘⇒ADB=ADC=90∘⇒AD⊥BC hay $AG\perp BC$.

a) Ta có $DM=DG\Rightarrow GM=2GD$.

Ta lại có $G$ là giao điểm của $BD$ và $CE\Rightarrow G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$

$\Rightarrow BG=2GD$.

Suy ra $BG=GM$.

Chứng minh tương tự ta được $CG=GN$.

b) Xét tam giác $GMN$ và tam giác $GBC$ có $GM=GB$ (chứng minh trên);

\widehat{MGN}=\widehat{BGC}MGN=BGC (hai góc đối đỉnh);

$GN=GC$ (chứng minh trên).

Do đó $△GMN=△GBC$ (c.g.c)

$\Rightarrow MN=BC$ (hai cạnh tương ứng).

Theo chứng minh trên \triangle GMN=\triangle GBC \Rightarrow \widehat{NMG}=\widehat{CBG}△GMN=△GBC⇒NMG=CBG (hai góc tương ứng).

Mà \widehat{NMG}NMG và \widehat{CBG}CBG ờ vị trí so le trong nên $MN$ // $BC$.

a) Ta có $BF=2BE\Rightarrow BE=EF$.

Mà $BE=2ED$ nên $EF=2ED\Rightarrow D$ là trung điểm của $EF\Rightarrow CD$ là đường trung tuyến của tam giác $EFC$.

Vì $K$ là trung điểm của $CF$ nên $EK$ là đường trung tuyến của $△EFC$.

$△EFC$ có hai đường trung tuyến $CD$ và $EK$ cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm của $△EFC$.

b) Ta có $G$ là trọng tâm tam giác $EFC$ nên ����=23DCGC​=32​ và ��=23��GE=32​EK

⇒��=13��⇒��=2��⇒����=2⇒GK=31​EK⇒GE=2GK⇒GKGE​=2.

a) Xét tam giác $ABD$ có $C$ là trung điểm của cạnh $AD\Rightarrow BC$ là trung tuyến của tam giác $ABD$.

Hơn nữa $G\in BC$ và GB=2 GC \Rightarrow GB=\dfrac{2}{3} BC \Rightarrow GGB=2GC⇒GB=32​BC⇒G là trọng tâm tam giác $ABD$.

Lại có $AE$ là đường trung tuyến của tam giác $ABD$ nên $A,G,E$ thẳng hàng.

b) Ta có $G$ là trọng tâm tam giác $ABD\Rightarrow DG$ là đường trung tuyến của tam giác này.

Suy ra $DG$ đi qua trung điểm của cạnh $AB$ (điều phài chứng minh).

Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.

=>G là trọng tâm của tam giác ABC.

=> BG = 2/3 BM; CG = 2/3 CN.

=> BM = 3/2 BG; CN = 3/2 CG.

Trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài hai cạnh còn lại

=> BM + CN>3/2 BC.

a)Ta có:

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )

=> 1/2 AB = 1/2 AC hay AE = AD

Xét ΔABD và ΔACE có:

AB = AC(cmt)

góc A chung

AD = AE (cmt)

=> 2Δ bằng nhau

=> BD=CE

b) BD = CE ( cmt )

=> 2/3 BD = 2/3 CE hay GB = GC

=> ΔGBC cân tại G

c) GD+GE = 1/3CD = 1/3CE

Mà BD = CE (cmt)

=> 1/3 BD + 1/3 CE = 2/3 BD = BG

Gọi F là t/đ BC 

=> BF = 1/2 BC

Xét tg BGF vuông tại F ( do tg ABC cân => AF vuông góc Bc ):

BG>BF(ch>cgv)

=> GD + GE> 1/2BC

a, BQ là đường phân giác của góc B 

=> B1^=B2^=12B^B1​​=B2​​=21​B ( 1 )

CP là đường phân giác của góc C 

=> C1^=C2^=12C^C1​​=C2​​=21​C ( 2 )

Mà tam giác ABC cân tại A 

= > B^=C^B=C ( 3 )

Từ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) = > B1^=B2^=C1^=C2^B1​​=B2​​=C1​​=C2​​

Xét tam giác OBC có : 

B2^=C2^B2​​=C2​​ ( cmt )

= > Tam giác OBC cân tại O

b, Do O là giao của 2 đường phân giác BQ và CP của tam giác ABC 

nên O là trực tâm của tam giác ABC hay điểm O cách đều 3 cạnh AB,AC, BC của tam giác ABC 

c, Do O là trực tâm của tam giác ABC ( câu b, )

Mà tam giác ABC cân tại A 

= > AO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác ABC tức là AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC 

d, Xét $\Delta QBC$ và $\Delta PCB$ có :

B2^=C2^(cmt)B2​​=C2​​(cmt)

BC chung 

B^=C^(gt)B=C(gt)

=> $\Delta QBC=\Delta PCB\left(g-c-g\right)$

= > CP = BQ ( 2 cạnh tương ứng )

e, Do tam giác QBC = tam giác PCB ( câu d, )

=> BP = CQ ( 2 cạnh tương ứng )

$P\in AB$

= > AP + PB = AB 

= > AP = AB - PB ( 4 )

$Q\in AC$

= > AQ + QC =AC

= > AQ = AC - QC ( 5 ) 

Từ ( 4 ) , ( 5 ) 

= > AP = AQ

Xét tam giác APQ có :

AP = AQ ( cmt ) 

= > Tam giác APQ cân tại A ( đpcm )

a)

Xét $\Delta AOD$ và $\Delta COB$ có: {OA=OC(gt)O^:chungOB=OD(gt)⎩⎨⎧​OA=OC(gt)O:chungOB=OD(gt)​

$\Rightarrow \Delta AOD=\Delta COB\left(c.g.c\right)$

$\Rightarrow AD=BC\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)\left(\text{đpcm}\right)$

b) 

Nối A với C

Ta có: {OA=OCOB=OD(gt)⇒OA−OB=OC−OD{OA=OCOB=OD​(gt)⇒OA−OB=OC−OD

Hay $AB=CD$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta CDA$ có: {AB=CD(cmt)AC:chungAD=BC(cmt)⎩⎨⎧​AB=CD(cmt)AC:chungAD=BC(cmt)​

$\Rightarrow \Delta ABC=\Delta DCA\left(c.c.c\right)$

⇒ABC^=CDA^(2 goˊc tương ứng)⇒ABC=CDA(2 goˊc tương ứng)

Vì ΔAOD=ΔCOB(cmt)⇒A^=C^(2 goˊc tương ứng)ΔAOD=ΔCOB(cmt)⇒A=C(2 goˊc tương ứng)

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta CDE$ có: {ABC^=CDA^(cmt)AB=CD(cmt)A^=C^(cmt)⎩⎨⎧​ABC=CDA(cmt)AB=CD(cmt)A=C(cmt)​

$\Rightarrow \Delta ABE=\Delta CDE\left(g.c.g\right)\left(\text{đpcm}\right)$

c) Vì $\Delta ABE=\Delta CDE\left(cmt\right)\Rightarrow AE=CE\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)$

Xét $\Delta AOE$ và $\Delta COE$ có: {OA=OC(gt)A^=C^(cmt)AE=CE(cmt)⎩⎨⎧​OA=OC(gt)A=C(cmt)AE=CE(cmt)​

⇒ΔAOE=ΔCOE(c.g.c)⇒AOE^=COE^(2 goˊc tương ứng)⇒ΔAOE=ΔCOE(c.g.c)⇒AOE=COE(2 goˊc tương ứng)

$=>OE$ là phân giác của xOy^xOy​ (đpcm)

a) Xét $△IOE$ và $△IOF$ có

�^=�^=90∘E=F=90∘ (giả thiết);

$OI$ cạnh chung;

���^=���^EOI=FOI ($Om$ là tia phân giác).

Vậy $△IOE=△IOF$ (cạnh huyền - góc nhọn).

b) $△IOE=△IOF$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow OE=OF$ (hai cạnh tương ứng).

Gọi $H$ là giao điểm của $Om$ và $EF$.

Xét $△OHE$ và $△OHF$, có

$OE=OF$ (chứng minh trên);

���^=���^EOH=FOH ($Om$ là tia phân giác);

$\mathrm{OH}$ chung.

Do đó $△OHE=△OHF$ (c.g.c)

⇒���^=���^⇒OHE=FHO (hai góc tương ứng)

Mà ���^+���^=180∘OHE+FHO=180∘ nên ���^=���^=90∘OHE=FHO=90∘.

Vậy $EF\perp Om$.

Kẻ $IE\perp AD$ (với $E\in AD$).

Gọi $Ax$ là tia đối của tia $AB$.

Vì ���^BAC và ���^CAx là hai góc kề bù mà ���^=120∘BAC=120∘ nên ���^=60∘CAx=60∘ (1) 

Ta có $AD$ là phân giác của ���^⇒���^=12���^=60∘BAC⇒DAC=21​BAC=60∘ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AC$ là tia phân giác của ���^DAx

$\Rightarrow IH=IE$ (tính chất tia phân giác của một góc) (3)

Vì $DI$ là phân giác của ���^ADC nên $IK=IE$ (tính chất tia phân giác của một góc) (4)

Từ (3) và $(4)$ suy ra $IH=IK$.