Giải chi tiết: --- a) Không gian mẫu của phép thử Phép thử: "Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp", mỗi viên được đánh số từ 1 đến 20. → Không gian mẫu là tập hợp các kết quả có thể xảy ra: \Omega = \{1, 2, 3, \dots, 20\} --- b) Tính xác suất của biến cố A: “Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia 7 dư 1” Phân tích: Ta cần tìm các số trong khoảng từ 1 đến 20 thỏa mãn điều kiện: x \equiv 1 \pmod{7} Tức là các số có dạng: x = 7k + 1 \text{ với } x \leq 20 \Rightarrow k = 0,1,2 \Rightarrow x = 1, 8, 15 → Có 3 số thỏa mãn điều kiện. Tổng số khả năng: 20 (do có 20 viên bi) Vậy xác suất biến cố A là: P(A) = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{số trường hợp có thể}} = \frac{3}{20} --- Kết luận:

Không gian mau cua phep thu la: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20 b) Cac so tu 1 den 20 chia 7 du 1 la: 1; 8; 15 Co 3 so thoa man. Vay xac suat cua bien co la: 3 chia 20

Giải chi tiết: --- a) Giải phương trình (1) với m = 2 Phương trình: Thay vào phương trình: x^2 - 4x + 4 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 Giải phương trình: x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \Rightarrow x_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{2}{1} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6}{2} = 3 Vậy nghiệm của phương trình là , --- b) Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: 2x_1^2 - x_2 = -2 Bước 1: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi: \Delta = (-2m)^2 - 4(m^2 - 1) = 4m^2 - 4(m^2 - 1) = 4m^2 - 4m^2 + 4 = 4 > 0 \Rightarrow \text{Luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi } m Bước 2: Gọi là 2 nghiệm của phương trình: Ta có: Tổng nghiệm: Tích nghiệm: Ta dùng điều kiện đề bài: 2x_1^2 - x_2 = -2 \Rightarrow x_2 = 2x_1^2 + 2 Thay vào công thức tổng nghiệm: x_1 + x_2 = 2m \Rightarrow x_1 + (2x_1^2 + 2) = 2m \Rightarrow 2x_1^2 + x_1 + 2 = 2m \quad (1) Thay vào công thức tích nghiệm: x_1 x_2 = m^2 - 1 \Rightarrow x_1(2x_1^2 + 2) = m^2 - 1 \Rightarrow 2x_1^3 + 2x_1 = m^2 - 1 \quad (2) Từ (1): m = \frac{2x_1^2 + x_1 + 2}{2} \Rightarrow m^2 = \left( \frac{2x_1^2 + x_1 + 2}{2} \right)^2 Thay vào (2): 2x_1^3 + 2x_1 = \left( \frac{2x_1^2 + x_1 + 2}{2} \right)^2 - 1 Nhân hai vế với 4 để khử mẫu: 8x_1^3 + 8x_1 = (2x_1^2 + x_1 + 2)^2 - 4 Giải phương trình: (2x_1^2 + x_1 + 2)^2 = 8x_1^3 + 8x_1 + 4 Khai triển vế trái: (2x_1^2 + x_1 + 2)^2 = 4x_1^4 + 4x_1^3 + 9x_1^2 + 4x_1 + 4 So sánh: 4x_1^4 + 4x_1^3 + 9x_1^2 + 4x_1 + 4 = 8x_1^3 + 8x_1 + 4 Bỏ 4 ở hai vế: 4x_1^4 + 4x_1^3 + 9x_1^2 + 4x_1 = 8x_1^3 + 8x_1 Chuyển vế: 4x_1^4 - 4x_1^3 + 9x_1^2 - 4x_1 = 0 \Rightarrow x_1(4x_1^3 - 4x_1^2 + 9x_1 - 4) = 0 Giải phương trình: 1. → thế vào (1): 2. Giải : thử nghiệm Thử : Thử : → Nghiệm: Tìm m: m = \frac{2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} + 2}{2} = \frac{0.5 + 0.5 + 2}{2} = \frac{3}{2} --- Vậy các giá trị m thỏa mãn là: \boxed{m = 1 \text{ hoặc } m = \frac{3}{2}}

--- Bài 3: Cho biểu thức: A = \frac{x}{\sqrt{x} + 1}, \quad B = \frac{3}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{1 - \sqrt{x}} + \frac{x + 5}{x - 1} a) Tính giá trị của biểu thức A tại : Ta có: \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \Rightarrow A = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{6} Vậy: --- b) Chứng minh : Ta có: \frac{1}{1 - \sqrt{x}} = \frac{1(1 + \sqrt{x})}{(1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x})} = \frac{1 + \sqrt{x}}{1 - x} = -\frac{1 + \sqrt{x}}{x - 1} \frac{3}{\sqrt{x} + 1} = \frac{3(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} = \frac{3(\sqrt{x} - 1)}{x - 1} Khi đó: B = \frac{3(\sqrt{x} - 1)}{x - 1} - \frac{1 + \sqrt{x}}{x - 1} + \frac{x + 5}{x - 1} Gộp lại: B = \frac{3\sqrt{x} - 3 - 1 - \sqrt{x} + x + 5}{x - 1} = \frac{2\sqrt{x} + x + 1}{x - 1} Ta nhận thấy: 2\sqrt{x} + x + 1 = (\sqrt{x} + 1)^2 \Rightarrow B = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} \cdot (\sqrt{x} + 1) Vậy: => Điều phải chứng minh. --- c) Đặt . Tìm các giá trị của để : Ta có: P = A \cdot B = \frac{x}{\sqrt{x} + 1} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} Xét bất phương trình: \frac{x}{x - 1} \leq 4 \Rightarrow \frac{x - 4(x - 1)}{x - 1} \leq 0 \Rightarrow \frac{-3x + 4}{x - 1} \leq 0 Giải bất phương trình: Tử số bằng 0 khi Mẫu số bằng 0 khi (loại) Lập bảng xét dấu, ta được nghiệm: x \in (0;1) \cup \left[\frac{4}{3}; +\infty\right) Vậy: Tập nghiệm của bất phương trình là: \boxed{x \in (0;1) \cup \left[\frac{4}{3}; +\infty\right)}

Đề bài tóm tắt: Cho đường tròn có đường kính . Gọi là một điểm thuộc đường tròn, khác và . Tiếp tuyến tại cắt tiếp tuyến tại tại . Gọi là tâm đường tròn. --- a) Chứng minh tứ giác nội tiếp Cách giải: Vì là đường kính nên tam giác vuông tại (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra , nên tiếp tuyến tại vuông góc với bán kính . Tương tự, tiếp tuyến tại vuông góc với bán kính . Do đó, , . Suy ra tổng hai góc đối trong tứ giác là: \angle OMK + \angle OBK = 180^\circ. --- b) Chứng minh Cách giải: Từ câu a, tứ giác nội tiếp. Suy ra: . Xét tam giác : và là bán kính, nên , tam giác cân. nối từ giao điểm hai tiếp tuyến. Ta có thể chứng minh là trung trực của , hoặc sử dụng tích vô hướng để suy ra góc giữa và là , tức . --- c) Đường qua cắt đường tròn tại ; nằm giữa . cắt tại . Chứng minh: 1. 2. --- Giải thích từng phần: 1. Xét tứ giác nội tiếp (do nằm trên đường tròn). Trong một tứ giác nội tiếp, các góc đối nhau có tổng bằng . Do đó: \angle EMK = \angle MFE \quad (\text{hai góc nội tiếp cùng chắn cung } EK) 2. Tứ giác nội tiếp, nên . là đường nối tâm đến giao điểm hai tiếp tuyến. Sử dụng các tính chất đối xứng và đồng dạng tam giác, kết hợp các cung chắn tương ứng để suy ra góc: \angle OFE = \angle EHK \quad (\text{đồng dạng hoặc cung chắn tương

Phân tích bài toán: * Hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông. * Thể tích khối hộp là V = 8 \, \text{dm}^3. * Yêu cầu tìm độ dài cạnh đáy để diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất. Đặt ẩn và biểu diễn các đại lượng: Gọi độ dài cạnh đáy của hình hộp chữ nhật là x (dm, x > 0). Vì đáy là hình vuông nên chiều dài và chiều rộng đáy đều là x. Gọi chiều cao của hình hộp chữ nhật là h (dm, h > 0). Biểu diễn thể tích: Thể tích của hình hộp chữ nhật là tích của diện tích đáy và chiều cao: V = \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao} = x^2 \cdot hTheo đề bài, thể tích V = 8 \, \text{dm}^3, nên ta có:x^2 h = 8Từ đó, ta có thể biểu diễn chiều cao h theo cạnh đáy x:h = \frac{8}{x^2} Biểu diễn diện tích toàn phần: Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật bao gồm diện tích hai đáy và diện tích bốn mặt bên: $$S_{tp} = 2 \cdot S_{đáy} + S_{xung quanh}$$Diện tích đáy là diện tích hình vuông:S_{đáy} = x^2Diện tích xung quanh là tổng diện tích của bốn mặt bên, mỗi mặt bên là một hình chữ nhật có kích thước x \times h:$$S_{xung quanh} = 4 \cdot (x \cdot h)$$Vậy, diện tích toàn phần là:S_{tp} = 2x^2 + 4xh Thay h theo x vào biểu thức diện tích toàn phần: S_{tp}(x) = 2x^2 + 4x \left(\frac{8}{x^2}\right) S_{tp}(x) = 2x^2 + \frac{32}{x} Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số S_{tp}(x) = 2x^2 + \frac{32}{x} với x > 0, ta sử dụng phương pháp đạo hàm. Tính đạo hàm bậc nhất của S_{tp}(x) theo x: S'_{tp}(x) = \frac{d}{dx} \left(2x^2 + \frac{32}{x}\right) = 4x - \frac{32}{x^2} Tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình S'_{tp}(x) = 0: 4x - \frac{32}{x^2} = 0$$$$4x = \frac{32}{x^2}$$$$4x^3 = 32$$$$x^3 = \frac{32}{4} = 8$$$$x = \sqrt[3]{8} = 2 Vậy, ta có một điểm tới hạn tại x = 2. Để xác định xem đây là điểm cực đại hay cực tiểu, ta tính đạo hàm bậc hai của S_{tp}(x): S''_{tp}(x) = \frac{d}{dx} \left(4x - \frac{32}{x^2}\right) = 4 - 32 \cdot (-2) x^{-3} = 4 + \frac{64}{x^3} Tính giá trị của đạo hàm bậc hai tại x = 2: S''_{tp}(2) = 4 + \frac{64}{2^3} = 4 + \frac{64}{8} = 4 + 8 = 12 Vì S''_{tp}(2) = 12 > 0, nên tại x = 2, hàm số S_{tp}(x) đạt giá trị cực tiểu. Do đây là hàm số liên tục trên khoảng (0, +\infty) và có duy nhất một điểm cực tiểu, giá trị cực tiểu này cũng chính là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Kết luận: Để diện tích toàn phần của hộp đạt giá trị nhỏ nhất, độ dài cạnh đáy của mỗi hộp cần thiết kế là x = 2 dm. Khi đó, chiều cao của hộp là h = \frac{8}{x^2} = \frac{8}{2^2} = \frac{8}{4} = 2 dm. Vậy, hộp có dạng hình lập phương với cạnh 2 dm.

Thể tích của bể nước mẫu 2 (hình trụ tròn) lớn hơn thể tích của bể nước mẫu 1 (hình hộp chữ nhật). Do đó, người đó nên chọn mẫu 2 để dự trữ được nhiều nước nhất.

Giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x_1, x_2 sao cho biểu thức T = x_1^2 + x_2^2 đạt giá trị nhỏ nhất là m = \frac{5}{2}.

Phân tích bài toán: * Tháng 7/2024: Tổng tiền điện của hai hộ bác An và bác Bình là 500 nghìn đồng. * Tháng 8/2024: * Tiền điện nhà bác An giảm 15%. * Tiền điện nhà bác Bình giảm 10%. * Tổng tiền điện tiết kiệm được của cả hai hộ là 65 nghìn đồng so với tháng 7. * Yêu cầu: Tính tiền điện của mỗi hộ trong tháng 7/2024. Đặt ẩn và lập phương trình: Gọi số tiền điện của nhà bác An trong tháng 7/2024 là a (nghìn đồng, a > 0). Gọi số tiền điện của nhà bác Bình trong tháng 7/2024 là b (nghìn đồng, b > 0). Theo thông tin tháng 7/2024, ta có phương trình: a + b = 500 \quad (1) Sang tháng 8/2024: * Tiền điện nhà bác An giảm 15%, tức là giảm 0.15a nghìn đồng. * Tiền điện nhà bác Bình giảm 10%, tức là giảm 0.10b nghìn đồng. * Tổng số tiền điện tiết kiệm được là 65 nghìn đồng, vậy: 0.15a + 0.10b = 65 \quad (2) Giải hệ phương trình: Chúng ta có hệ phương trình: \begin{cases} a + b = 500 \\ 0.15a + 0.10b = 65 \end{cases} Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn b theo a: b = 500 - a Thay biểu thức của b vào phương trình (2): 0.15a + 0.10(500 - a) = 65 0.15a + 50 - 0.10a = 65 Gộp các số hạng chứa a: (0.15 - 0.10)a + 50 = 65 0.05a + 50 = 65 Chuyển vế và giải tìm a: 0.05a = 65 - 50$$$$0.05a = 15$$$$a = \frac{15}{0.05} = \frac{1500}{5} = 300 Vậy, tiền điện của nhà bác An trong tháng 7/2024 là 300 nghìn đồng. Thay giá trị của a vào phương trình (1) để tìm b: 300 + b = 500$$$$b = 500 - 300$$$$b = 200 Vậy, tiền điện của nhà bác Bình trong tháng 7/2024 là 200 nghìn đồng. Kiểm tra lại: * Tổng tiền điện tháng 7: 300 + 200 = 500 (nghìn đồng), đúng. * Tiền điện bác An giảm: 0.15 \times 300 = 45 (nghìn đồng). * Tiền điện bác Bình giảm: 0.10 \times 200 = 20 (nghìn đồng). * Tổng tiền điện tiết kiệm: 45 + 20 = 65 (nghìn đồng), đúng. Kết luận: Trong tháng 7/2024: * Tiền điện của nhà bác An là 300 nghìn đồng. * Tiền điện của nhà bác Bình là 200 nghìn đồng.

Phân tích bài toán: * Tổng số hàng cần chở là 120 tấn. * Ban đầu, đội xe dự định dùng một số xe cùng loại. * Sau đó, đội xe được bổ sung thêm 5 xe cùng loại. * Nhờ vậy, mỗi xe chở ít hơn 2 tấn so với dự định. * Khối lượng hàng mà mỗi xe phải chở là bằng nhau. * Yêu cầu là tính số xe ban đầu của đội. Đặt ẩn và lập phương trình: Gọi số xe ban đầu của đội là x (xe, x là số nguyên dương). Gọi khối lượng hàng mà mỗi xe dự định chở là y (tấn/xe, y > 2). Theo kế hoạch ban đầu, tổng khối lượng hàng được chở là: x \cdot y = 120 \quad (1) Sau khi được bổ sung thêm 5 xe, tổng số xe là x + 5 (xe). Khối lượng hàng mà mỗi xe chở lúc sau là y - 2 (tấn/xe). Tổng khối lượng hàng được chở vẫn là 120 tấn: (x + 5)(y - 2) = 120 \quad (2) Giải hệ phương trình: Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn y theo x: y = \frac{120}{x} Thay biểu thức của y vào phương trình (2): (x + 5)\left(\frac{120}{x} - 2\right) = 120 Nhân tung các biểu thức: x \cdot \frac{120}{x} - 2x + 5 \cdot \frac{120}{x} - 10 = 120 120 - 2x + \frac{600}{x} - 10 = 120 Chuyển các số hạng về một vế: -2x + \frac{600}{x} - 10 = 0 Nhân cả hai vế với x (vì x > 0): -2x^2 + 600 - 10x = 0 Sắp xếp lại thành phương trình bậc hai: 2x^2 + 10x - 600 = 0 Chia cả hai vế cho 2 để đơn giản hóa: x^2 + 5x - 300 = 0 Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225 \sqrt{\Delta} = \sqrt{1225} = 35 Các nghiệm của phương trình là: x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + 35}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15 x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 - 35}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20 Vì số xe phải là một số nguyên dương, nên nghiệm x_2 = -20 không phù hợp. Vậy, số xe ban đầu của đội là x = 15. Kiểm tra lại: Nếu ban đầu có 15 xe, mỗi xe dự định chở y = \frac{120}{15} = 8 tấn. Sau khi bổ sung 5 xe, có 15 + 5 = 20 xe. Mỗi xe chở 8 - 2 = 6 tấn. Tổng khối lượng hàng chở được là 20 \cdot 6 = 120 tấn, đúng với yêu cầu của bài toán. Kết luận: Số xe ban đầu của đội là 15 xe.

Ta xét đề bài: Đĩa tròn chia làm 6 phần bằng nhau, ghi các số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Xác suất chiếc kim chỉ vào số chia hết cho 3. Các số chia hết cho 3 trong dãy trên là: 3 và 6. Vậy có 2 số chia hết cho 3 trên tổng số 6 số. Xác suất = số kết quả thuận lợi / tổng số kết quả = 2 / 6 = 1 / 3.

Một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm 6 phần bằng nhau và ghi các số:1, 2, 3, 4, 5, 6.

Chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa. Xét phép thử "Quay đĩa tròn một lần". Tính xác suất của biến cố: "Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho 3". Giải: Tổng số kết quả có thể xảy ra khi quay đĩa: Có 6 số nên có 6 kết quả: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Các kết quả thỏa mãn điều kiện chia hết cho 3 là: 3 và 6 → có 2 kết quả thuận lợi.

1/3