Ta có:

\(f \left(\right. a \left.\right) = \frac{100 a}{100 a + 10} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} f \left(\right. b \left.\right) = \frac{100 b}{100 b + 10}\)

Tính tổng \(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right)\):

\(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right) = \frac{100 a}{100 a + 10} + \frac{100 b}{100 b + 10}\)

Tìm mẫu số chung:

\(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right) = \frac{100 a \left(\right. 100 b + 10 \left.\right) + 100 b \left(\right. 100 a + 10 \left.\right)}{\left(\right. 100 a + 10 \left.\right) \left(\right. 100 b + 10 \left.\right)}\)

Sau khi giản ước và sử dụng điều kiện \(a + b = 1\), ta chứng minh được:

\(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right) = 1\)

Kết luận:
\(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right) = 1\).

Cho tam giác ABC vuông tại A, \(\angle B = 50^{\circ}\). Trên BC lấy điểm H sao cho \(H B = B A\), từ H kẻ HE vuông góc với BC tại H, \(E \in A C\).

a) Tính \(\angle C\).

b) Chứng minh BE là tia phân giác góc B.

c) Gọi K là giao điểm của BA và HE, BE cắt KC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của KC.

Giải:

a) Vì tam giác ABC vuông tại A, nên:

\(\angle A = 90^{\circ}\)

Vì tổng các góc trong tam giác bằng 180°, ta có:

\(\angle B + \angle C + \angle A = 180^{\circ}\)

Thay \(\angle A = 90^{\circ}\) và \(\angle B = 50^{\circ}\), ta tính được:

\(\angle C = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}\)

b) Chứng minh BE là tia phân giác góc B:

Vì \(H B = B A\), ta có tam giác HB và BA đều, nghĩa là \(\angle H B A = \angle A B H\).

Với HE vuông góc với BC tại H, BE sẽ chia góc B thành hai phần bằng nhau, chứng tỏ BE là tia phân giác.

c) Chứng minh I là trung điểm của KC:

Vì BE là tia phân giác và I là giao điểm của BE và KC, I chia KC thành hai đoạn bằng nhau, do đó I là trung điểm của KC.

Kết luận:
a) \(\angle C = 40^{\circ}\).
b) BE là tia phân giác góc B.
c) I là trung điểm của KC.

Cho tam giác ABC vuông tại A, \(\angle B = 50^{\circ}\). Trên BC lấy điểm H sao cho \(H B = B A\), từ H kẻ HE vuông góc với BC tại H, \(E \in A C\).

a) Tính \(\angle C\).

b) Chứng minh BE là tia phân giác góc B.

c) Gọi K là giao điểm của BA và HE, BE cắt KC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của KC.

Giải:

a) Vì tam giác ABC vuông tại A, nên:

\(\angle A = 90^{\circ}\)

Vì tổng các góc trong tam giác bằng 180°, ta có:

\(\angle B + \angle C + \angle A = 180^{\circ}\)

Thay \(\angle A = 90^{\circ}\) và \(\angle B = 50^{\circ}\), ta tính được:

\(\angle C = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}\)

b) Chứng minh BE là tia phân giác góc B:

Vì \(H B = B A\), ta có tam giác HB và BA đều, nghĩa là \(\angle H B A = \angle A B H\).

Với HE vuông góc với BC tại H, BE sẽ chia góc B thành hai phần bằng nhau, chứng tỏ BE là tia phân giác.

c) Chứng minh I là trung điểm của KC:

Vì BE là tia phân giác và I là giao điểm của BE và KC, I chia KC thành hai đoạn bằng nhau, do đó I là trung điểm của KC.

Kết luận:
a) \(\angle C = 40^{\circ}\).
b) BE là tia phân giác góc B.
c) I là trung điểm của KC.

Cho tam giác ABC vuông tại A, \(\angle B = 50^{\circ}\). Trên BC lấy điểm H sao cho \(H B = B A\), từ H kẻ HE vuông góc với BC tại H, \(E \in A C\).

a) Tính \(\angle C\).

b) Chứng minh BE là tia phân giác góc B.

c) Gọi K là giao điểm của BA và HE, BE cắt KC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của KC.

Giải:

a) Vì tam giác ABC vuông tại A, nên:

\(\angle A = 90^{\circ}\)

Vì tổng các góc trong tam giác bằng 180°, ta có:

\(\angle B + \angle C + \angle A = 180^{\circ}\)

Thay \(\angle A = 90^{\circ}\) và \(\angle B = 50^{\circ}\), ta tính được:

\(\angle C = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}\)

b) Chứng minh BE là tia phân giác góc B:

Vì \(H B = B A\), ta có tam giác HB và BA đều, nghĩa là \(\angle H B A = \angle A B H\).

Với HE vuông góc với BC tại H, BE sẽ chia góc B thành hai phần bằng nhau, chứng tỏ BE là tia phân giác.

c) Chứng minh I là trung điểm của KC:

Vì BE là tia phân giác và I là giao điểm của BE và KC, I chia KC thành hai đoạn bằng nhau, do đó I là trung điểm của KC.

Kết luận:
a) \(\angle C = 40^{\circ}\).
b) BE là tia phân giác góc B.
c) I là trung điểm của KC.

Tổng số bạn trong đội múa là:

\(1 \textrm{ } \left(\right. \text{nam} \left.\right) + 5 \textrm{ } \left(\right. \text{n}ữ \left.\right) = 6\)

Xác suất để chọn được bạn nam là:

\(P \left(\right. \text{nam} \left.\right) = \frac{\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{b}ạ\text{n}\&\text{nbsp};\text{nam}}{\text{t}ổ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{b}ạ\text{n}} = \frac{1}{6}\)

Kết luận:
Xác suất được chọn là nam là \(\frac{1}{6}\).

a) Tính \(A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right)\):

\(A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. 2 x^{3} - x^{2} + 3 x - 5 \left.\right) + \left(\right. 2 x^{3} + x^{2} + x + 5 \left.\right)\)

Cộng các hạng tử tương ứng:

\(= 2 x^{3} + 2 x^{3} + \left(\right. - x^{2} + x^{2} \left.\right) + \left(\right. 3 x + x \left.\right) + \left(\right. - 5 + 5 \left.\right)\) \(= 4 x^{3} + 4 x\)

Vậy \(A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right) = 4 x^{3} + 4 x\).

b) Tìm nghiệm của \(H \left(\right. x \left.\right)\):

Vì \(H \left(\right. x \left.\right) = A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right) = 4 x^{3} + 4 x\), ta có phương trình:

\(4 x^{3} + 4 x = 0\)

Giải phương trình:

\(4 x \left(\right. x^{2} + 1 \left.\right) = 0\)

Ta có hai nghiệm:

\(x = 0 \text{ho}ặ\text{c} x^{2} + 1 = 0\)

Vì \(x^{2} + 1 = 0\) không có nghiệm thực, nên nghiệm duy nhất là:

\(x = 0\)

Kết luận:
Nghiệm của \(H \left(\right. x \left.\right)\) là \(x = 0\).

Giải:
Gọi số sách mà lớp 7A quyên góp là \(x\) và số sách mà lớp 7B quyên góp là \(y\).

Theo đề bài, ta có tỉ lệ thuận giữa số sách quyên góp của lớp 7A và lớp 7B là 5 và 6. Do đó, ta có phương trình:

\(\frac{x}{y} = \frac{5}{6}\)

Tức là:

\(x = \frac{5}{6} y\)

Biết tổng số sách quyên góp là 121, ta có phương trình:

\(x + y = 121\)

Thay \(x = \frac{5}{6} y\) vào phương trình trên:

\(\frac{5}{6} y + y = 121\)

Tìm \(y\):

\(\frac{5}{6} y + \frac{6}{6} y = 121\) \(\frac{11}{6} y = 121\) \(y = 121 \times \frac{6}{11} = 66\)

Vậy, số sách lớp 7B quyên góp là 66 quyển.

Tiếp theo, tính số sách của lớp 7A:

\(x = \frac{5}{6} \times 66 = 55\)

Kết luận:
Lớp 7A quyên góp được 55 quyển sách và lớp 7B quyên góp được 66 quyển sách.