+ Phương trình chính tắc của \(\left(\right. E \left.\right) : \frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1\).

+ Tiêu điểm \(F_{1} \left(\right. - 3 ; 0 \left.\right) , F_{2} \left(\right. 3 ; 0 \left.\right)\).

+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

 \(M_{1} \left(\right. \frac{3}{\sqrt{5}} ; \frac{4}{\sqrt{5}} \left.\right) ; M_{2} \left(\right. - \frac{3}{\sqrt{5}} ; \frac{4}{\sqrt{5}} \left.\right) ; M_{3} \left(\right. \frac{3}{\sqrt{5}} ; - \frac{4}{\sqrt{5}} \left.\right) ; M_{4} \left(\right. - \frac{3}{\sqrt{5}} ; - \frac{4}{\sqrt{5}} \left.\right)\).

a=2, \(b = 1\).

a, phương trình đường tròn \(\left(\right. C \left.\right) : x^{2} + y^{2} = 8.\)

b,  phương trình elip là \(\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{8} = 1\).

a) Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\left(\right. E \left.\right) : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) với \(a > b > 0\).

Vì \(M \left(\right. \frac{3}{\sqrt{5}} ; \frac{4}{\sqrt{5}} \left.\right) \in \left(\right. E \left.\right)\) nên \(\frac{9}{5 a^{2}} + \frac{16}{5 b^{2}} = 1 \left(\right. * \left.\right)\).

Ta có \(\hat{F_{1} M F_{2}} = 9 0^{\circ} \&\text{nbsp}; \Rightarrow O M = \frac{F_{1} F_{2}}{2} = c \Rightarrow c^{2} = O M^{2} = \frac{9}{5} + \frac{16}{5} = 5\)

\(\Rightarrow a^{2} = b^{2} + c^{2} = b^{2} + 5\).

Do đó \(\left(\right. * \left.\right) \Leftrightarrow \frac{9}{5 \left(\right. b^{2} + 5 \left.\right)} + \frac{16}{5 b^{2}} = 1 \Leftrightarrow 9 b^{2} + 16 b^{2} + 80 = 5 b^{2} \left(\right. b^{2} + 5 \left.\right)\)

\(\Leftrightarrow b^{4} = 16 \Leftrightarrow b^{2} = 4 \Rightarrow a^{2} = 9\).

Vậy phương trình chính tắc của elip là \(\left(\right. E \left.\right) : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1\).

b) Gọi phương trình chính tắc của \(\left(\right. E \left.\right)\) là: \(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) với \(a > b > 0\), \(c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} > 0\).

Độ dài trục lớn là \(2 a\), các đỉnh trên trục nhỏ là \(B_{1} \left(\right. 0 ; b \left.\right) , B_{2} \left(\right. 0 ; - b \left.\right)\) và các tiêu điểm \(F_{1} \left(\right. c ; 0 \left.\right)\), \(F_{2} \left(\right. - c ; 0 \left.\right)\).

Do độ dài trục lớn của \(\left(\right. E \left.\right)\) bằng \(4 \sqrt{2}\) nên: \(2 a = 4 \sqrt{2} \Leftrightarrow a = 2 \sqrt{2}\).

Do các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của \(\left(\right. E \left.\right)\) cùng nằm trên một đường tròn nên ta có: \(b = c \Leftrightarrow b = \sqrt{a^{2} - b^{2}}\).

Thay \(a = 2 \sqrt{2}\) vào đẳng thức trên ta được \(b = \sqrt{\left(\left(\right. 2 \sqrt{2} \left.\right)\right)^{2} - b^{2}}\).

Do \(b > 0\) nên ta được \(b = 2\).

Vậy phương trình chính tắc của \(\left(\right. E \left.\right)\) là: \(\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1\).

 phương trình chính tắc của Elip là \(\frac{x^{2}}{5^{2}} + \frac{y^{2}}{3^{2}} = 1\). 

MF1​2+MF2​2=2(x2+y2)+6=12.

\(S_{\Delta M F_{1} F_{2}} = \frac{1}{2} M F_{1} . M F_{2} = \frac{1}{2} . \sqrt{\left(\left(\right. x + \sqrt{3} \left.\right)\right)^{2} + y^{2}} . \sqrt{\left(\left(\right. x - \sqrt{3} \left.\right)\right)^{2} + y^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{\left(\left(\right. x^{2} - 3 \left.\right)\right)^{2} + y^{2} \left(\right. x^{2} + 6 \left.\right) + y^{4}} = 1.\)

Tiêu điểm: \(F_{1} \left(\right. - \sqrt{11} ; 0 \left.\right) , F_{2} \left(\right. \sqrt{11} ; 0 \left.\right)\).

Tiêu cự: \(F_{1} F_{2} = 2 c = 2 \sqrt{11}\).

Trục lớn: \(A_{1} A_{2} = 2 a = 12\).

Trục bé: \(B_{1} B_{2} = 2 b = 10\).

Tâm sai: \(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{11}}{6}\).