​

Cho tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\) có \(\hat{B} = 5 0^{\circ}\). Trên \(B C\) lấy điểm \(H\) sao cho \(H B = B A\), từ \(H\) kẻ \(H E\) vuông góc với \(B C\) tạ \(H , \left(\right. E\) thuộc \(A C \left.\right)\)
a) Tính \(\hat{C}\).
b) Chứng minh \(B E\) là tia phân giác góc \(B\).
c) Gọi \(K\) là giao điểm của \(B A\) và \(H E\), \(B E\) cắt \(K C\) tại \(I\). Chứng minh rằng \(I\) là trung điểm của \(K C\).

Hướng dẫn giải:

a) Xét \(\triangle A B C\) có \(\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 18 0^{\circ}\) mà \(\hat{A} = 9 0^{\circ} ; \hat{B} = 5 0^{\circ}\) suy ra \(9 0^{\circ} + 5 0^{\circ} + \hat{C} = 18 0^{\circ} = > \hat{C} = 4 0^{\circ}\)
b) Xét tam giác \(\triangle B E A\) và \(\triangle B E H\).
có \(B E\) là cạnh chung
\(\&\text{nbsp}; & \hat{B A E} = \hat{B H E} \left(\right. = 9 0^{\circ} \left.\right) \\ & B A = B H \\ \&\text{nbsp};\text{suy}\&\text{nbsp}; & \&\text{nbsp};\text{ra}\&\text{nbsp}; \triangle A B E = \triangle H B E \&\text{nbsp};(\text{c}.\text{h}-\text{cgv})\&\text{nbsp}; \\ \Rightarrow & \hat{A B E} = \hat{H B E}\).
\(= > B E\) là phân giác của \(\hat{B}\)
c) \(E\) là giao điểm của hai đường cao trong tam giác \(B K C\) nên \(B E\) vuông góc với \(K C\).

Tam giác \(B K C\) cân tại \(B\) có \(B I\) là đường cao nên \(B I\) là đường trung tuyến. Do đó \(I\) là trung điểm của \(K C\).

• Ta có \(H \left(\right. x \left.\right) = A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right) = 4 x^{3} + 4 x\).
• Để tìm nghiệm của \(H \left(\right. x \left.\right)\), ta giải phương trình \(H \left(\right. x \left.\right) = 0\): \(4 x^{3} + 4 x = 0\)
• Phân tích thành nhân tử: \(4 x \left(\right. x^{2} + 1 \left.\right) = 0\)
• Suy ra:
• • \(4 x = 0\) hoặc \(x^{2} + 1 = 0\)
  • \(x = 0\) hoặc \(x^{2} = - 1\)
• Phương trình \(x^{2} = - 1\) không có nghiệm thực vì không có số thực nào bình phương bằng -1.
• Vậy, nghiệm của \(H \left(\right. x \left.\right)\) là \(x = 0\).

• Tổng số sách hai lớp quyên góp được là 121 quyển: \(x + y = 121\)
• Số sách của lớp 7A và 7B tỉ lệ thuận với 5 và 6, tức là: \(\frac{x}{5} = \frac{y}{6}\)

• \(x = 5 \times 11 = 55\)
• \(y = 6 \times 11 = 66\)

Tại \(x = 9\) thì:

\(C = x^{14} - 10 x^{13} + 10 x^{12} - 10 x^{11} + . . . + 10 x^{2} - 10 x + 10\)

\(C = x^{14} - \left(\right. x + 1 \left.\right) x^{13} + \left(\right. x + 1 \left.\right) x^{12} - \left(\right. x + 1 \left.\right) x^{11} + . . . + \left(\right. x + 1 \left.\right) x^{2} - \left(\right. x + 1 \left.\right) x + x + 1\)

\(C = x^{14} - x^{14} - x^{13} + x^{13} + x^{12} - x^{12} - x^{11} + . . . + x^{3} + x^{2} - x^{2} - x + x + 1\)

\(C = 1\).

Vậy tại \(x = 9\) thì giá trị của \(C\) bằng \(1\).

• Xét \(\Delta A H B\) và \(\Delta A H C\), ta có:
• • \(A H\) là cạnh chung.
  • \(A B = A C\) (giả thiết \(\Delta A B C\) vuông cân tại \(A\)).
  • \(H B = H C\) (vì \(H\) là trung điểm của \(B C\)).
• Vậy \(\Delta A H B = \Delta A H C\) (c.c.c).

• Vì \(\Delta A H B = \Delta A H C\) (chứng minh trên), suy ra \(\angle A H B = \angle A H C\).
• Mà \(\angle A H B + \angle A H C = 18 0^{\circ}\) (hai góc kề bù).
• Do đó, \(\angle A H B = \angle A H C = \frac{18 0^{\circ}}{2} = 9 0^{\circ}\).
• Vậy \(A H \bot B C\).

• Gọi \(A B = A C = a\). Vì \(C F = A B\) nên \(C F = a\).
• Vì \(\Delta A B C\) vuông cân tại \(A\) nên \(B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}\).
• Theo đề bài, \(A E = B C = a \sqrt{2}\).
• Ta có \(A F = A C + C F = a + a = 2 a\).
• Xét \(\Delta A B E\) và \(\Delta B C F\):
• • \(A B = C F = a\)
  • \(\angle B A E = \angle B C F = 13 5^{\circ}\) (vì \(\angle B A C = 9 0^{\circ}\), \(\angle E A H = 9 0^{\circ}\) và \(\angle A C F\) kề bù với \(\angle A C B = 4 5^{\circ}\)).
  • \(A E = B C = a \sqrt{2}\)
• Suy ra \(\Delta A B E = \Delta B C F\) (c.g.c)
• Vậy \(B E = B F\) (hai cạnh tương ứng).

• A: "Số được chọn là số nguyên tố":
• • Các số nguyên tố trong tập \(M\) là: 2, 3, 5.
  • Vì có khả năng chọn được số nguyên tố hoặc không, nên \(A\) là biến cố ngẫu nhiên.
• B: "Số được chọn là số có một chữ số":
• • Tất cả các số trong tập \(M\) đều có một chữ số.
  • Vậy \(B\) là biến cố chắc chắn.
• C: "Số được chọn là số tròn chục":
• • Trong tập \(M\) không có số nào là số tròn chục.
  • Vậy \(C\) là biến cố không thể.

• Số các phần tử của tập \(M\) là: 6.
• Số các số nguyên tố trong tập \(M\) là: 3 (gồm 2, 3, 5).
• Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P \left(\right. A \left.\right) = \frac{\text{S} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{trong}\&\text{nbsp}; M}{\text{T}ổ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{ph} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ử\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; M} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

• Số tiền mua dung dịch sát khuẩn: \(5 \times 80 , 000 = 400 , 000\) đồng.
• Số tiền mua khẩu trang: \(3 \times x = 3 x\) đồng.
• Đa thức \(F \left(\right. x \left.\right)\) biểu thị tổng số tiền bác Mai phải thanh toán: \(F \left(\right. x \left.\right) = 400 , 000 + 3 x\)

• Rút gọn đa thức \(A \left(\right. x \left.\right)\): \(A \left(\right. x \left.\right) = 2 x^{2} - 3 x + 5 + 4 x - 2 x^{2} = \left(\right. 2 x^{2} - 2 x^{2} \left.\right) + \left(\right. - 3 x + 4 x \left.\right) + 5 = x + 5\)
• Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần: \(A \left(\right. x \left.\right) = x + 5\)
• Bậc của \(A \left(\right. x \left.\right)\): 1
• Hệ số cao nhất của \(A \left(\right. x \left.\right)\): 1
• Hệ số tự do của \(A \left(\right. x \left.\right)\): 5

• Thay \(A \left(\right. x \left.\right) = x + 5\) và \(B \left(\right. x \left.\right) = x^{2} - 2 x + 5\) vào biểu thức của \(C \left(\right. x \left.\right)\): \(C \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x + 5 \left.\right) + \left(\right. x^{2} - 2 x + 5 \left.\right)\)
• Khai triển và rút gọn: \(C \left(\right. x \left.\right) = x \left(\right. x + 5 \left.\right) - 1 \left(\right. x + 5 \left.\right) + x^{2} - 2 x + 5\) \(C \left(\right. x \left.\right) = x^{2} + 5 x - x - 5 + x^{2} - 2 x + 5\) \(C \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. x^{2} + x^{2} \left.\right) + \left(\right. 5 x - x - 2 x \left.\right) + \left(\right. - 5 + 5 \left.\right)\) \(C \left(\right. x \left.\right) = 2 x^{2} + 2 x\)