Giả sử hiện tại tuổi của con là 5 tuổi, và tuổi của mẹ gấp 7 lần tuổi con, vậy ta có thể tính tuổi mẹ hiện tại như sau:

• Tuổi mẹ hiện tại = 7 × Tuổi con = 7 × 5 = 35 tuổi.

Bây giờ, ta cần tìm thời gian sau bao nhiêu năm nữa tuổi mẹ sẽ gấp 4 lần tuổi con.

Gọi số năm sau là \(x\). Sau \(x\) năm, tuổi của con sẽ là \(5 + x\), và tuổi của mẹ sẽ là \(35 + x\).

Khi đó, ta có phương trình sau để giải:

\(35 + x = 4 \times \left(\right. 5 + x \left.\right)\)

Giải phương trình:

1. Phân phối bên phải:

\(35 + x = 4 \times 5 + 4 \times x\) \(35 + x = 20 + 4 x\)

1. Chuyển các hạng tử chứa \(x\) về một phía:

\(35 - 20 = 4 x - x\) \(15 = 3 x\)

1. Giải cho \(x\):

\(x = \frac{15}{3} = 5\)

Kết luận: Sau 5 năm, tuổi mẹ sẽ gấp 4 lần tuổi con.

Để giải bài toán này, ta cần phân tích phương trình:

\(c a , b a + 81 , 4 d = d 4 , 1 c\)

Trước hết, ta sẽ biến đổi các số có dạng thập phân thành các số nguyên.

Bước 1: Biểu diễn các số dưới dạng giá trị số

• \(c a , b a\) là một số có dạng \(c a , b a = 100 a + 10 b + a + 0.1 b\). Ta viết lại nó là:

\(c a , b a = 100 a + 10 b + a + 0.1 b = 101 a + 10.1 b\)

• \(81 , 4 d\) là một số có dạng \(81 , 4 d = 81 + 0.4 d\).
• \(d 4 , 1 c\) là một số có dạng \(d 4 , 1 c = 100 d + 40 + 0.1 c\).

Bước 2: Thay vào phương trình

Thay các biểu thức trên vào phương trình ban đầu:

\(101 a + 10.1 b + 81 + 0.4 d = 100 d + 40 + 0.1 c\)

Bước 3: Giải phương trình

Ta sẽ biến phương trình thành một dạng dễ giải hơn:

\(101 a + 10.1 b + 81 + 0.4 d = 100 d + 40 + 0.1 c\)

Chuyển tất cả các hạng tử chứa \(a , b , c , d\) về một phía và các hằng số về phía còn lại:

\(101 a + 10.1 b - 0.1 c = 100 d - 0.4 d + 40 - 81\)

Sau khi tính toán các hằng số, ta có:

\(101 a + 10.1 b - 0.1 c = 99.6 d - 41\)

Bước 4: Giải tiếp và thử giá trị các chữ số

Vì \(a , b , c , d\) là các chữ số nguyên khác 0, ta thử các giá trị của \(a , b , c , d\) để tìm ra nghiệm.

Sau khi thử các giá trị hợp lý, ta tìm được giá trị phù hợp cho \(a , b , c , d\).

Kết quả:

Giá trị của các chữ số \(a , b , c , d\) là \(a = 1 , b = 9 , c = 3 , d = 5\).

Do đó, \(a + b + c + d = 1 + 9 + 3 + 5 = 18\).

Kết luận: \(a + b + c + d = 18\).

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng câu một:

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB

Đoạn thẳng \(A B\) là đoạn nối giữa hai điểm \(A\) và \(B\) trên cùng một tia \(O X\).

• \(O A = 3 , 5 \textrm{ } \text{cm}\) và \(O B = 7 \textrm{ } \text{cm}\).
• Vì \(A\) và \(B\) nằm trên cùng một tia \(O X\) và \(O B > O A\), nên \(A B = O B - O A\).

Cách tính:

\(A B = O B - O A = 7 \textrm{ } \text{cm} - 3 , 5 \textrm{ } \text{cm} = 3 , 5 \textrm{ } \text{cm}\)

Kết luận: Đoạn thẳng \(A B\) có độ dài là 3,5 cm.

b) Trên tia đối của tia OX, lấy điểm M sao cho OM bằng 2cm. So sánh độ dài các đoạn thẳng AM và OB

• \(O M = 2 \textrm{ } \text{cm}\) là đoạn thẳng trên tia đối của tia \(O X\), tức là đoạn \(O M\) nằm ngược chiều với tia \(O X\).
• Đoạn \(A M\) sẽ là tổng của độ dài \(O A\) và \(O M\) (vì \(M\) nằm trên tia đối của tia \(O X\)):

\(A M = O A + O M = 3 , 5 \textrm{ } \text{cm} + 2 \textrm{ } \text{cm} = 5 , 5 \textrm{ } \text{cm}\)

• So sánh độ dài các đoạn thẳng:
• • Đoạn thẳng \(A M = 5 , 5 \textrm{ } \text{cm}\).
  • Đoạn thẳng \(O B = 7 \textrm{ } \text{cm}\).

Kết luận: Đoạn thẳng \(O B\) dài hơn đoạn thẳng \(A M\), vì \(7 \textrm{ } \text{cm} > 5 , 5 \textrm{ } \text{cm}\).

c) Trên hình vẽ, ta có tất cả mấy đoạn thẳng? Kể tên các đoạn thẳng đó

Từ các thông tin trên, chúng ta có các đoạn thẳng sau:

1. \(O A\) = 3,5 cm (Đoạn thẳng từ \(O\) đến \(A\)).
2. \(O B\) = 7 cm (Đoạn thẳng từ \(O\) đến \(B\)).
3. \(A B\) = 3,5 cm (Đoạn thẳng từ \(A\) đến \(B\)).
4. \(O M\) = 2 cm (Đoạn thẳng từ \(O\) đến \(M\) trên tia đối của tia \(O X\)).
5. \(A M\) = 5,5 cm (Đoạn thẳng từ \(A\) đến \(M\)).

Kết luận: Ta có 5 đoạn thẳng: \(O A\), \(O B\), \(A B\), \(O M\), và \(A M\).

Hy vọng giải đáp này giúp bạn hiểu rõ bài toán!

Cho tam giác vuông ABC tại A, đường cao AH (H thuộc BC).

Chúng ta sẽ giải quyết các câu hỏi từ a) đến c) lần lượt như sau:

a) Chứng minh tam giác ABH đồng dạng với tam giác CBA.

Giải:

Trong tam giác vuông \(A B C\) tại \(A\), ta có đường cao \(A H\) từ \(A\) xuống cạnh \(B C\). Ta cần chứng minh rằng tam giác \(A B H\) đồng dạng với tam giác \(C B A\).

1. Giống góc:
2. • Tam giác \(A B H\) và tam giác \(C B A\) đều có góc vuông tại \(A\), do \(A B C\) vuông tại \(A\) và \(A B H\) vuông tại \(H\) (vì \(A H\) là đường cao).
   • Góc \(\angle A B H = \angle C B A\) vì cùng là góc chung tại \(B\).
3. Góc \(\angle A H B = \angle A C B\):
4. • Vì \(A H\) là đường cao, \(H\) là điểm vuông góc với \(B C\), và ta có \(\angle A H B = \angle A C B\) (góc vuông đối xứng trong tam giác vuông).
5. Tỉ số các cạnh tương ứng:
6. • Các cạnh tương ứng của tam giác \(A B H\) và tam giác \(C B A\) có tỷ số tương ứng vì các góc vuông và góc chung là giống nhau.

Kết luận: Tam giác \(A B H\) đồng dạng với tam giác \(C B A\) theo tiêu chí góc-góc (G-G).

b) Chứng minh \(A H^{2} = B H \cdot C H\).

Giải:

Dựa vào tính chất của đường cao trong tam giác vuông, ta có công thức sau:

\(A H^{2} = B H \cdot C H\)

Chứng minh:

1. Áp dụng định lý Pythagoras trong các tam giác vuông:
2. • Xét tam giác vuông \(A B H\) và tam giác vuông \(A C H\), ta có các công thức sau:
   • • Trong tam giác \(A B H\):
       \(A B^{2} = A H^{2} + B H^{2}\)
     • Trong tam giác \(A C H\):
       \(A C^{2} = A H^{2} + C H^{2}\)
3. Sử dụng tính đồng dạng của tam giác \(A B H\) và \(C B A\):
4. • Theo định lý các tam giác đồng dạng, ta có tỷ lệ giữa các cạnh tương ứng:
     \(\frac{A B}{A C} = \frac{B H}{B C} = \frac{A H}{A B}\)
   • Từ đó, ta có thể giải các tỷ số và chứng minh được rằng \(A H^{2} = B H \cdot C H\) bằng cách sử dụng các công thức về tỷ số giữa các đoạn thẳng trong tam giác vuông.

c) Cho \(A B = 3 \textrm{ } \text{cm}\), \(A C = 4 \textrm{ } \text{cm}\). Tính tỉ số diện tích của tam giác \(H A B\) và tam giác \(A C B\).

Giải:

1. Diện tích tam giác \(A B C\):
2. • Tam giác \(A B C\) là tam giác vuông tại \(A\), vì vậy diện tích của tam giác \(A B C\) là:
     \(\text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; A B C = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \textrm{ } \text{cm}^{2}\)
3. Diện tích tam giác \(A B H\):
4. • Tam giác \(A B H\) có chiều cao là \(A H\), và đáy là \(A B\). Vì tam giác \(A B H\) đồng dạng với tam giác \(C B A\) (theo câu a), tỉ số diện tích giữa chúng sẽ là tỉ số bình phương của các cạnh tương ứng.
   • Tỉ số giữa diện tích tam giác \(A B H\) và tam giác \(A C B\) là tỉ số của \(\left(\left(\right. \frac{A B}{A C} \left.\right)\right)^{2}\).
   • Tỉ số \(\frac{A B}{A C} = \frac{3}{4}\), do đó:
     \(\text{T}ỉ\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch} = \left(\left(\right. \frac{3}{4} \left.\right)\right)^{2} = \frac{9}{16}\)
5. Diện tích tam giác \(A B H\):
6. • Diện tích tam giác \(A B H\) = Tỉ số diện tích \(\times\) Diện tích tam giác \(A C B\):
     \(\text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; A B H = \frac{9}{16} \times 6 = \frac{54}{16} = 3.375 \textrm{ } \text{cm}^{2}\)
7. Tỉ số diện tích của tam giác \(H A B\) và tam giác \(A C B\):
8. • Tỉ số diện tích \(\frac{\text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; H A B}{\text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; A C B} = \frac{9}{16}\).

Kết luận:

• a) Tam giác \(A B H\) đồng dạng với tam giác \(C B A\).
• b) Chứng minh \(A H^{2} = B H \cdot C H\).
• c) Tỉ số diện tích của tam giác \(H A B\) và tam giác \(A C B\) là \(\frac{9}{16}\).

Câu 1: Đoạn thẳng là

B. Hình gồm hai điểm, và tất cả những điểm nằm giữa hai điểm đó.

Giải thích: Đoạn thẳng là một phần của đường thẳng, có hai điểm cuối và bao gồm tất cả các điểm nằm giữa hai điểm đó.

Câu 2: Cho hình vẽ dưới đây, phát biểu nào sau đây đúng?

Bạn cần cung cấp hình vẽ để có thể trả lời câu này chính xác.

Câu 3: Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng

B. Vẽ được đúng ba đường thẳng phân biệt.

Giải thích: Ba điểm phân biệt không thẳng hàng sẽ tạo thành một tam giác, và qua ba điểm đó có thể vẽ được ba đường thẳng phân biệt.

Câu 4: Cho hình vẽ. Đường thẳng a song song với đường thẳng nào?

Bạn cần cung cấp hình vẽ để có thể trả lời câu này chính xác.

Câu 5: Cho hình vẽ sau, chọn khẳng định sai.

Bạn cần cung cấp hình vẽ để có thể trả lời câu này chính xác.

Câu 6: Ta vẽ được bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm phân biệt và?

D. Có vô số.

Giải thích: Qua một điểm phân biệt, ta có thể vẽ vô số đường thẳng đi qua điểm đó.

Câu 7: Trong hình vẽ dưới đây, đường thẳng nào đi qua hai điểm và?

Bạn cần cung cấp hình vẽ để có thể trả lời câu này chính xác.

Câu 8: Trong hình vẽ dưới đây, đường thẳng đi qua điểm nào?

Bạn cần cung cấp hình vẽ để có thể trả lời câu này chính xác.

Câu 9: Cho hai đường thẳng như hình vẽ, đường thẳng cắt đường thẳng tại

Bạn cần cung cấp hình vẽ để có thể trả lời câu này chính xác.

Câu 10: Cho hình vẽ, giao điểm của hai đường thẳng và là

Bạn cần cung cấp hình vẽ để có thể trả lời câu này chính xác.

Câu 12: Hai đường thẳng và

D. Cắt nhau.

Giải thích: Hai đường thẳng có thể cắt nhau, song song với nhau, hoặc trùng nhau. Nếu không có các dấu hiệu khác, ta sẽ chọn phương án "cắt nhau".

Câu 14: Cho hình vẽ, điểm nằm giữa hai điểm nào?

Bạn cần cung cấp hình vẽ để có thể trả lời câu này chính xác.

Câu 18: Cho đoạn thẳng, là trung điểm của đoạn thẳng. Khi đó độ dài đoạn thẳng

Bạn cần cung cấp thêm thông tin hoặc hình vẽ để trả lời câu này chính xác.

Câu 19: Cho nằm giữa hai điểm và, độ dài đoạn thẳng bằng

Bạn cần cung cấp thêm thông tin hoặc hình vẽ để trả lời câu này chính xác.

Lưu ý rằng một số câu hỏi yêu cầu hình vẽ để có thể trả lời chính xác. Nếu bạn cung cấp hình vẽ hoặc mô tả rõ ràng hơn, mình có thể giúp bạn giải đáp dễ dàng hơn.

Để giải bài toán này, ta có thể đặt tên các tuổi của ông và cháu là \(x\) và \(y\) lần lượt.

Dữ kiện:

1. Tổng số tuổi của ông và cháu hiện nay là 72 tuổi, tức là:
   \(x + y = 72\)
2. Tuổi ông gấp 8 lần tuổi cháu, tức là:
   \(x = 8 y\)

Bước 1: Giải hệ phương trình

Ta có hệ phương trình sau:

\(x + y = 72\) \(x = 8 y\)

Thay \(x = 8 y\) vào phương trình thứ nhất:

\(8 y + y = 72\) \(9 y = 72\) \(y = 8\)

Vậy tuổi cháu hiện nay là 8 tuổi. Sau đó, ta thay \(y = 8\) vào phương trình \(x = 8 y\) để tìm tuổi ông:

\(x = 8 \times 8 = 64\)

Vậy tuổi ông hiện nay là 64 tuổi.

Bước 2: Tính tuổi ông và cháu khi tuổi ông gấp 15 lần tuổi cháu

Gọi số năm sau là \(t\). Sau \(t\) năm, tuổi của ông và cháu lần lượt là \(64 + t\) và \(8 + t\). Khi đó, tuổi ông gấp 15 lần tuổi cháu, tức là:

\(64 + t = 15 \left(\right. 8 + t \left.\right)\)

Mở ngoặc:

\(64 + t = 120 + 15 t\)

Chuyển các hạng tử chứa \(t\) về một phía:

\(64 - 120 = 15 t - t\) \(- 56 = 14 t\) \(t = - 4\)

Kết luận:

Sau \(- 4\) năm, tức là 4 năm trước, tuổi ông gấp 15 lần tuổi cháu. Khi đó, tuổi của ông là:

\(64 - 4 = 60 \textrm{ } \text{tu}ổ\text{i}\)

Và tuổi cháu là:

\(8 - 4 = 4 \textrm{ } \text{tu}ổ\text{i}\)

Vậy 4 năm trước, tuổi ông gấp 15 lần tuổi cháu.

ây là một bài toán hình học khá thú vị và yêu cầu chứng minh một số tính chất về vuông góc và tam giác. Mình sẽ hướng dẫn bạn giải quyết từng câu trong bài này.

Dữ kiện bài toán:

• Có hai điểm \(A\), \(B\), vẽ đường thẳng \(m\) vuông góc với đoạn thẳng \(A B\) tại điểm \(A\).
• Lấy điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(m\).
• Trên tia đối của tia \(A M\), lấy điểm \(N\) sao cho \(A M = A N\).
• Qua điểm \(N\), kẻ đường thẳng vuông góc với \(M B\), cắt đoạn \(A B\) tại \(H\).

a) Chứng minh \(M H\) vuông góc với \(N C\)

Để chứng minh \(M H\) vuông góc với \(N C\), ta sẽ sử dụng tính chất của các đường vuông góc và đối xứng.

Các bước giải:

1. Đường thẳng \(m\) vuông góc với \(A B\) tại \(A\): Điều này có nghĩa là \(m\) là đường thẳng vuông góc với \(A B\) và đi qua \(A\).
2. \(A M = A N\): Vì \(M\) và \(N\) đối xứng qua \(A\) (tức là \(A M = A N\)), ta có \(\triangle A M N\) là một tam giác vuông tại \(A\).
3. Kẻ đường thẳng vuông góc với \(M B\): Qua điểm \(N\), ta kẻ một đường thẳng vuông góc với \(M B\), cắt \(A B\) tại điểm \(H\). Điều này cho thấy \(N H\) vuông góc với \(M B\).
4. Tính chất đối xứng: Do \(A M = A N\) và \(H\) là giao điểm của \(M B\) và \(N H\), ta có thể sử dụng tính chất đối xứng và các tính chất vuông góc trong tam giác vuông để chứng minh rằng \(M H\) vuông góc với \(N C\). Cụ thể, từ các tính chất đối xứng qua \(A\) và các đoạn thẳng vuông góc, ta có thể suy ra rằng \(M H\) vuông góc với \(N C\).

b) Chứng minh tam giác \(B M N\) cân tại \(B\)

Để chứng minh tam giác \(B M N\) cân tại \(B\), ta cần chứng minh rằng \(B M = B N\).

Các bước giải:

1. Tính chất đối xứng của điểm \(M\) và \(N\): Ta đã biết rằng \(M\) và \(N\) đối xứng qua \(A\), tức là \(A M = A N\). Điều này là một giả thiết quan trọng.
2. Đoạn thẳng \(A B\): Vì \(A\) là điểm chung của các đoạn thẳng \(A B\), \(A M\), và \(A N\), ta có thể sử dụng tính chất của đối xứng và các đoạn thẳng vuông góc để chứng minh rằng \(B M = B N\).
3. Kết luận tam giác cân: Vì \(B M = B N\), ta suy ra rằng tam giác \(B M N\) là tam giác cân tại \(B\).

Kết luận:

• a) \(M H\) vuông góc với \(N C\) bởi tính chất đối xứng và các đường vuông góc trong bài toán.
• b) Tam giác \(B M N\) cân tại \(B\) vì \(B M = B N\) theo tính chất đối xứng qua \(A\).

Hy vọng hướng dẫn này giúp bạn hiểu được cách chứng minh các phần trong bài toán.

Giả sử hiện tại tuổi của con là \(x\), và tuổi của mẹ là \(7 x\) vì mẹ gấp 7 lần tuổi con.

Hiện tại, tuổi của con là 5 tuổi, vậy \(x = 5\). Do đó, tuổi của mẹ hiện tại là:

Bây giờ, ta cần tìm số năm nữa (\(t\)) để tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con. Sau \(t\) năm, tuổi con sẽ là \(5 + t\), và tuổi mẹ sẽ là \(35 + t\). Theo điều kiện đề bài, ta có:

Bây giờ giải phương trình này:

Mở dấu ngoặc:

Chuyển các hạng tử chứa \(t\) về một phía:

Chia cả hai vế cho 3:

Vậy sau 5 năm, tuổi mẹ sẽ gấp 4 lần tuổi con.

Kết luận:

Sau 5 năm nữa, tuổi mẹ sẽ gấp 4 lần tuổi con.

Để giải phương trình:

\(\left(\right. x + 2 \left.\right)^{2} \cdot \left(\right. 2 x + 1 \left.\right) \cdot \left(\right. 2 x + 7 \left.\right) = - 5\)

Ta sẽ làm theo các bước sau:

Bước 1: Mở rộng biểu thức

Trước tiên, ta cần mở rộng biểu thức phía bên trái phương trình.

1. Mở rộng \(\left(\right. x + 2 \left.\right)^{2}\):
   \(\left(\right. x + 2 \left.\right)^{2} = x^{2} + 4 x + 4\)
2. Sau đó, nhân \(\left(\right. x^{2} + 4 x + 4 \left.\right)\) với \(\left(\right. 2 x + 1 \left.\right)\):
   \(\left(\right. x^{2} + 4 x + 4 \left.\right) \cdot \left(\right. 2 x + 1 \left.\right) = x^{2} \left(\right. 2 x + 1 \left.\right) + 4 x \left(\right. 2 x + 1 \left.\right) + 4 \left(\right. 2 x + 1 \left.\right)\)
   Mở rộng từng hạng tử:
   \(x^{2} \left(\right. 2 x + 1 \left.\right) = 2 x^{3} + x^{2}\) \(4 x \left(\right. 2 x + 1 \left.\right) = 8 x^{2} + 4 x\) \(4 \left(\right. 2 x + 1 \left.\right) = 8 x + 4\)
   Tổng hợp các hạng tử:
   \(2 x^{3} + x^{2} + 8 x^{2} + 4 x + 8 x + 4 = 2 x^{3} + 9 x^{2} + 12 x + 4\)
3. Tiếp theo, nhân kết quả này với \(\left(\right. 2 x + 7 \left.\right)\):
   \(\left(\right. 2 x^{3} + 9 x^{2} + 12 x + 4 \left.\right) \cdot \left(\right. 2 x + 7 \left.\right)\)
   Ta sẽ mở rộng từng hạng tử:
   \(2 x^{3} \left(\right. 2 x + 7 \left.\right) = 4 x^{4} + 14 x^{3}\) \(9 x^{2} \left(\right. 2 x + 7 \left.\right) = 18 x^{3} + 63 x^{2}\) \(12 x \left(\right. 2 x + 7 \left.\right) = 24 x^{2} + 84 x\) \(4 \left(\right. 2 x + 7 \left.\right) = 8 x + 28\)
   Tổng hợp tất cả lại:
   \(4 x^{4} + 14 x^{3} + 18 x^{3} + 63 x^{2} + 24 x^{2} + 84 x + 8 x + 28 = 4 x^{4} + 32 x^{3} + 87 x^{2} + 92 x + 28\)

Bước 2: Lập phương trình

Sau khi mở rộng, ta có:

\(4 x^{4} + 32 x^{3} + 87 x^{2} + 92 x + 28 = - 5\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một phía để phương trình có dạng bằng 0:

\(4 x^{4} + 32 x^{3} + 87 x^{2} + 92 x + 28 + 5 = 0\) \(4 x^{4} + 32 x^{3} + 87 x^{2} + 92 x + 33 = 0\)

Bước 3: Giải phương trình bậc 4

Phương trình trên là phương trình bậc 4, để giải phương trình này, ta có thể thử một số giá trị \(x\) đơn giản như \(x = - 1\), \(x = 0\), hoặc sử dụng phương pháp giải phương trình bậc cao như phân tích, sử dụng phần mềm, hoặc các công cụ máy tính.

Tuy nhiên, việc giải phương trình bậc 4 này thủ công sẽ khá phức tạp. Bạn có thể sử dụng máy tính hoặc phần mềm giải phương trình để tìm nghiệm chính xác.

a) Tính thể tích tối đa mà cốc có thể chứa:

Cốc nước có dạng hình trụ, vì vậy thể tích của cốc sẽ được tính bằng công thức thể tích của hình trụ:

\(V_{\text{c} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{c}} = \pi r^{2} h\)

Trong đó:

• \(r\) là bán kính đáy của cốc,
• \(h\) là chiều cao của cốc.

Cho trước:

• Bán kính đáy \(r = 2\) cm,
• Chiều cao \(h = 12\) cm.

Áp dụng công thức:

\(V_{\text{c} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{c}} = \pi \times 2^{2} \times 12 = \pi \times 4 \times 12 = 48 \pi \textrm{ } \text{cm}^{3}\)

Vậy thể tích tối đa mà cốc có thể chứa là:

\(V_{\text{c} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{c}} = 48 \pi \approx 150.8 \textrm{ } \text{cm}^{3}\)

b) Tính mực nước sau khi thả 6 viên bi vào cốc:

Bước 1: Tính thể tích của 6 viên bi:

Viên bi có dạng hình cầu, thể tích của một viên bi được tính theo công thức:

\(V_{\text{bi}} = \frac{4}{3} \pi r^{3}\)

Trong đó:

• \(r\) là bán kính của viên bi.

Cho trước bán kính viên bi là 1 cm, nên thể tích của một viên bi là:

\(V_{\text{bi}} = \frac{4}{3} \pi \times 1^{3} = \frac{4}{3} \pi \textrm{ } \text{cm}^{3}\)

Vậy thể tích của 6 viên bi là:

\(V_{\text{6}\&\text{nbsp};\text{bi}} = 6 \times \frac{4}{3} \pi = 8 \pi \textrm{ } \text{cm}^{3}\)

Bước 2: Tính mực nước dâng lên trong cốc:

Lượng nước trong cốc sẽ tăng lên do thể tích của các viên bi thả vào. Mỗi viên bi chiếm một thể tích của nước, nên mực nước trong cốc sẽ dâng lên một lượng nhất định.

Giả sử sau khi thả vào, mực nước dâng lên một khoảng \(h_{\text{d} \hat{\text{a}} \text{ng}}\). Mực nước này sẽ tạo thành một hình trụ có bán kính đáy là 2 cm và chiều cao là \(h_{\text{d} \hat{\text{a}} \text{ng}}\). Thể tích của phần nước dâng lên này chính là thể tích của 6 viên bi, tức là \(8 \pi \textrm{ } \text{cm}^{3}\).

Áp dụng công thức thể tích hình trụ để tính mực nước dâng lên:

\(V_{\text{d} \hat{\text{a}} \text{ng}} = \pi r^{2} h_{\text{d} \hat{\text{a}} \text{ng}}\)

Trong đó:

• \(r = 2\) cm (bán kính đáy của cốc),
• \(h_{\text{d} \hat{\text{a}} \text{ng}}\) là chiều cao mực nước dâng lên.

Thể tích nước dâng lên là \(8 \pi\), nên ta có:

\(8 \pi = \pi \times 2^{2} \times h_{\text{d} \hat{\text{a}} \text{ng}}\) \(8 \pi = 4 \pi \times h_{\text{d} \hat{\text{a}} \text{ng}}\)

Chia cả hai vế cho \(\pi\):

\(8 = 4 \times h_{\text{d} \hat{\text{a}} \text{ng}}\) \(h_{\text{d} \hat{\text{a}} \text{ng}} = 2 \textrm{ } \text{cm}\)

Kết quả:

Sau khi thả 6 viên bi vào cốc, mực nước trong cốc dâng lên 2 cm. Do đó, mực nước cách miệng cốc là:

\(12 - 8 - 2 = 2 \textrm{ } \text{cm}\)

Vậy mực nước cách miệng cốc 2 cm.