a

a) Do \(M A\), \(M B\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) nên \(M A ⊥ O A ; M B ⊥ O B\)

Suy ra \(\hat{M A O} = \hat{M B O} = 9 0^{\circ}\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(O M\) (học sinh tự vẽ thêm trên hình).

Xét tam giác \(M A O\) vuông tại \(A\), \(A I\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền, ta có:

\(A I = M I = I O = \frac{1}{2} O M\) (1)

Xét tam giác \(M B O\) vuông tại \(B\), \(B I\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền, ta có:

\(B I = M I = I O = \frac{1}{2} O M\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(A I = M I = I O = B I\)

Vậy tứ giác \(M A O B\) nội tiếp đường tròn tâm \(I\), đường kính \(O M\).

b) Do \(M A\), \(M B\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) nên \(M A = M B\);

Mà \(O A = O B = R\) nên \(M O\) là trung trực của đoạn thẳng \(A B\).

Suy ra \(M O ⊥ A B\) tại \(D\).

\(H\) là hình chiếu của \(O\) trên đường thẳng \(d\) nên \(H O ⊥ M H\).

Xét tam giác \(\Delta O D C\) và \(\Delta O H M\) có:

\(\hat{M O H}\) chung;

\(\hat{O D C} = \hat{O H M} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(\Delta O D C \sim \Delta O H M\) (g.g) suy ra \(\frac{O D}{O H} = \frac{O C}{O M}\)

Hay \(O C . O H = O D . O M\).

Tương tự, chứng minh \(\Delta O D A \sim \Delta O A M\) suy ra \(O D . O M = O A^{2} = R^{2}\)

Hay \(O C . O H = R^{2}\)

c) Vì điểm \(O\) và đường thẳng \(d\) cố định nên \(H\) cố định do đó \(O H\) cố định và có độ dài không đổi suy ra \(C \in O H\) cố định (3)

 Từ \(O C . O H = R^{2}\) ta có \(O C = \frac{R^{2}}{O H}\) không đổi (4)

Từ (3) và (4) suy ra điểm \(C\) cố định suy ra dây \(A B\) luôn đi qua điểm \(C\) cố định.

Vậy khi điểm \(M\) di chuyển trên đường thẳng \(d\) thì dây \(A B\) luôn đi qua một điểm cố định.

+Gọi vận tốc của bạn Hoa lúc đi là \(x\) (km/h; \(x > 0\)).

+Thời gian bạn Hoa đi từ nhà đến địa điểm A là \(\frac{24}{x}\) (giờ).

Thời gian bạn Hoa đi một nửa quãng đường lúc về là \(\frac{12}{x}\) (giờ).

Vận tốc của bạn Hoa đi một nửa quãng đường còn lại lúc về là \(x + 4\) (km/h).

Thời gian bạn Hoa đi nửa quãng đường còn lại lúc về nhà là \(\frac{12}{x + 4}\) (giờ).

+Do thời gian về ít hơn thời gian đi là \(15\) phút \(\left(\right.\)đổi bằng \(\frac{1}{4}\) h\(\left.\right)\) nên ta có phương trình:

\(\frac{24}{x} - \frac{12}{x} - \frac{12}{x + 4} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 4} = \frac{1}{4}\)

\(x^{2} + 4 x - 192 = 0\)

\(x^2+16x-12x-192=0\)

\(x\left(x+16\right)-12\left(x+16)=0\right.\)
\((x-12_{})(x+16)\)
\(x+16=0\) hoặc \(x-12=0\)

+Xét x+16=0 => x=-16 ( không thoả mãn)

\(\) +Xét x-12 = 0 => x=12 (thoả mãn)\(\)

Vậy vận tốc của bạn Hoa lúc đi là \(12\) km/h.

a) Với \(m = - 2\), phương trình (1) trở thành \(x^{2} + 2 x - 3 = 0.\)
\(x^2+3x-x-3=0\)
\(x\left(x+3\right)-1\left(x+3\right)=0\)
\(\left(x-1\right)\left(x+3\right)=0\)
\(x-1=0\) hoặc \(x+3=0\)
+ Xét \(x-1=0\)
\(x=1\)
+ Xét \(x+3=0\)
\(x=-3\)
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x=1\) ; \(x=-3\) khi \(m=-2\)
b) Ta có: \(\Delta=m^2-4m+4=\left(\right.m-2\left.\right)^2\)

Với mọi m thì \((m-2)^2\ge0\) hay \(\Delta\ge0\)
Do đó phương trình \(\left(\right. 1 \left.\right)\) luôn có hai nghiệm \(x_{1} ; x_{2}\) với mọi \(m\).

Áp dụng hệ thức Viète, ta có: \(\begin{cases}x1+x2=m\\ x1x2=m-1\end{cases}\)

Theo bài ra ta có \(A = \frac{2 x_{1} x_{2} + 3}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 \left(\right. x_{1} x_{2} + 1 \left.\right)}\)

\(= \frac{2 x_{1} x_{2} + 3}{\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} + 2}\)

\(= \frac{2 \left(\right. m - 1 \left.\right) + 3}{m^{2} + 2}\)

\(= \frac{2 m + 1}{m^{2} + 2}\)

suy ra \(A = \frac{m^{2} + 2 - \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2}}{m^{2} + 2} = 1 - \frac{\left(\right. m - 1 \left.\right)^{2}}{m^{2} + 2}\)

Với mọi m thì \(\frac{(m-1)^2}{m^2+2}\ge0\) \(\rArr1-\frac{(m-1)^2}{m^2+2}\le0\) hay \(A\le0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m = 1\).
Vậy \(m=1\)  thì phương trình (1) có hai nghiệm \(x_{1}\), \(x_{2}\) và biểu thức \(A = \frac{2 x_{1} x_{2} + 3}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 \left(\right. x_{1} x_{2} + 1 \left.\right)}\) đạt giá trị lớn nhất.

Với \(x > 0 ; x \neq 4 ; x \neq 9\) ta có:

\(P = \left(\right. \frac{4 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{8 x}{4 - x} \left.\right) : \left(\right. \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 2 \sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} \left.\right)\)

\(= \frac{4 \sqrt{x} . \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right) - 8 x}{\left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right)} : \frac{\sqrt{x} - 1 - 2 \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)}{\sqrt{x} \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)}\)

\(= \frac{- 4 x - 8 \sqrt{x}}{\left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right)} : \frac{- \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)}\)

\(= \frac{- 4 \sqrt{x} \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right)}{\left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right)} . \frac{\sqrt{x} \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)}{- \sqrt{x} + 3}\)

\(= \frac{- 4 x}{- \sqrt{x} + 3} = \frac{4 x}{\sqrt{x} - 3}\).
Vậy P = \(\frac{4 x}{\sqrt{x} - 3}\) với x>0;x≠4;x≠9

Để cây ăn quả phát triển tốt trong điều kiện khí hậu nóng và ít mưa, nhà vườn có thể áp dụng các biện pháp sau:

- Chọn giống cây phù hợp: Ưu tiên các giống cây chịu hạn tốt như xoài, điều, thanh long.

- Cải thiện đất trồng: Bổ sung chất hữu cơ, phân bón giữ ẩm tốt (như phân chuồng hoai mục, mùn cưa).

- Tưới nước hợp lí: Sử dụng hệ thống tưới nhỏ giọt hoặc tưới vào sáng sớm và chiều muộn để giảm bốc hơi.

- Phủ gốc giữ ẩm: Dùng rơm rạ, lá khô hoặc màng phủ nông nghiệp để hạn chế mất nước.

- Trồng cây chắn gió: Giúp giảm tốc độ gió, hạn chế mất nước từ lá.

- Cắt tỉa hợp lí: Giữ tán cây hợp lí để giảm thoát hơi nước nhưng vẫn đảm bảo quang hợp.

- Bước 1. Chọn cành chiết:

+ Chọn cành đã trưởng thành (lá có màu xanh đậm). Chọn cành ở ngoài tán, đường kính khoảng 1 - 2 cm, cành không có hoa, quả hay lộc non.

+ Cắt bỏ phần lá, cành không cần thiết, gây vướng khi thao tác.

- Bước 2. Khoanh vỏ:

+ Khoanh tròn vỏ cành chiết ở hai vị trí cách nhau khoảng 3 - 5 cm.

+ Dùng mũi dao tách bỏ phần vỏ đã khoanh. Cạo sạch, loại bỏ lớp vỏ trắng sát phần gỗ.

+ Phơi khô 2 - 3 ngày trước khi bó bầu (nếu có điều kiện).

- Bước 3. Xử lí cành chiết:

+ Bôi chất kích thích ra rễ vào vết cắt khoanh vỏ về phía ngọn (vì rễ sẽ mọc ra từ phần này).

- Bước 4. Bó cành chiết:

+ Viên tròn giá thể, đường kính gấp 10 lần đường kính cành.

+ Chia viên giá thể thành hai phần, đặt hai phần giá thể bao quanh vết khoanh vỏ và bó kín vị trí khoanh vỏ.

+ Dùng tấm nilon sinh học bọc giá thể và buộc cố định bằng dây mềm kín hai đầu để giữ ẩm.

- Bước 5. Cắt cành chiết:

+ Sau khi chiết cành 45 - 60 ngày, nếu quan sát thấy rễ mọc ra chuyển từ màu trắng sang màu nâu vàng, tiến hành cắt cành chiết sát phía dưới bầu giá thể.

+ Bỏ lớp nilon bọc giá thể và gom vào nơi quy định; cắt bỏ bớt cành, lá; trồng vào túi bầu mới và đặt trong nhà ươm cây hoặc nơi có giàn che nắng trong khoảng 30 ngày.