a) \(\triangle A B C\) cân tại \(A\) nên \(\hat{A B C} = \hat{A C B}\).

Vì \(B Q\) và \(C P\) là đường phân giác của \(\hat{B} , \hat{C}\) nên \(\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}} = \frac{\hat{A B C}}{2}\), \(\hat{C_{1}} = \hat{C_{2}} = \frac{\hat{A C B}}{2}\).

Do đó \(\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}} = \hat{C_{1}} = \hat{C_{2}}\).

Suy ra \(\triangle O B C\) cân tại \(O\).

b) Vì \(O\) là giao điểm các đường phân giác \(C P\) và \(B Q\) trong \(\triangle A B C\) nên \(O\) là giao điểm ba đường phân giác trong \(\triangle A B C\).

Do đó, \(O\) cách đều ba cạnh \(A B , A C\) và \(B C\).

c) Ta có \(\triangle A B C\) cân tại \(A , A O\) là đường phân giác của góc \(A\) nên \(A O\) đồng thời là trung tuyến và đường cao của \(\triangle A B C\).

Vậy đường thẳng \(A O\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(B C\) và vuông góc với nó.

d) Ta có \(\triangle P B C = \triangle Q C B\) (g.c.g)

\(\Rightarrow C P = B Q\) (hai cạnh tương ứng).

e) Ta có \(A P = A B - B P\), \(A Q = A C - C Q\) (1);

\(\triangle P B C = \triangle Q C B \Rightarrow B P = C Q\) (2).

Lại có \(A B = A C\) (tam giác \(A B C\) cân tại \(A\)) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(A P = A Q\).

Vậy tam giác \(A P Q\) cân tại \(A\).

a) Xét \(\triangle O A D\) và \(\triangle O C B\), có

\(O A = O C\) (giả thiết);

\(\hat{O}\) chung;

\(O D = O B\) (giả thiết).

Do đó \(\triangle O A D = \triangle O C B\) (c.g.c)

\(\Rightarrow A D = C B\) (hai cạnh tương ứng).

b) Do \(O A = O C\) và \(O B = O D\) nên \(A B = C D\).

Mà \(\triangle O A D = \triangle O C B\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow \hat{O B C} = \hat{O D A}\); \(\hat{O A D} = \hat{O C B}\) (hai góc tương ứng)

Mặt khác \(\hat{A B E} + \hat{O B C} = \hat{C D E} + \hat{O D A} = 18 0^{\circ}\)

\(\Rightarrow \hat{A B E} = \hat{C D E}\)

Xét \(\triangle A B E\) và \(\triangle C D E\) có

\(\hat{O A D} = \hat{O C B}\) (chứng minh trên);

\(A B = C D\) (chứng minh trên);

\(\hat{A B E} = \hat{C D E}\) (chứng minh trên) 

Do đó \(\triangle A B E = \triangle C D E\) (g.c.g).

c) Vi \(\triangle A B E = \triangle C D E\) (chứng minh trên) nên \(A E = C E\) (hai cạnh tương ứng).

Xét \(\triangle A E O\) và \(\triangle C E O\) có \(A E = C E\) (chứng minh trên);

\(O E\) cạnh chung;

\(O A = O C\) (giả thiết).

Do đó \(\triangle A E O = \triangle C E O\) (c.c.c)

\(\Rightarrow \hat{A O E} = \hat{C O E}\) (hai góc tương ứng)

\(\Rightarrow O E\) là tia phân giác của \(\hat{x O y}\).

a) Xét \(\triangle I O E\) và \(\triangle I O F\) có

\(\hat{E} = \hat{F} = 9 0^{\circ}\) (giả thiết);

\(O I\) cạnh chung;

\(\hat{E O I} = \hat{F O I}\) (\(O m\) là tia phân giác).

Vậy \(\triangle I O E = \triangle I O F\) (cạnh huyền - góc nhọn).

b) \(\triangle I O E = \triangle I O F\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow O E = O F\) (hai cạnh tương ứng).

Gọi \(H\) là giao điểm của \(O m\) và \(E F\).

Xét \(\triangle O H E\) và \(\triangle O H F\), có

\(O E = O F\) (chứng minh trên);

\(\hat{E O H} = \hat{F O H}\) (\(O m\) là tia phân giác);

\(O H\) chung.

Do đó \(\triangle O H E = \triangle O H F\) (c.g.c)

\(\Rightarrow \hat{O H E} = \hat{F H O}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\hat{O H E} + \hat{F H O} = 18 0^{\circ}\) nên \(\hat{O H E} = \hat{F H O} = 9 0^{\circ}\).

Vậy \(E F \bot O m\).

Vì \(\hat{B A C}\) và \(\hat{C A x}\) là hai góc kề bù mà \(\hat{B A C} = 12 0^{\circ}\) nên \(\hat{C A x} = 6 0^{\circ}\) (1) 

Ta có \(A D\) là phân giác của \(\hat{B A C} \Rightarrow \hat{D A C} = \frac{1}{2} \hat{B A C} = 6 0^{\circ}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(A C\) là tia phân giác của \(\hat{D A x}\)

\(\Rightarrow I H = I E\) (tính chất tia phân giác của một góc) (3)

Vì \(D I\) là phân giác của \(\hat{A D C}\) nên \(I K = I E\) (tính chất tia phân giác của một góc) (4)

Từ (3) và \(\left(\right. 4 \left.\right)\) suy ra \(I H = I K\).

Ta có \(D\) thuộc phân giác của \(\hat{A}\);

\(D H \bot A B\); \(D K \bot A C\) \(\Rightarrow D H = D K\) (tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi \(G\) là trung điểm của \(B C\).

Xét \(\triangle B G D\) và \(\triangle C G D\), có

\(\hat{B G D} = \hat{C G D} = 9 0^{\circ}\) (\(D G\) là trung trực của \(B C\) ),

\(B G = C G\) (già thiết),

\(D G\) là cạnh chung.

Do đó \(\triangle B G D = \triangle C G D\) (hai cạnh góc vuông)

\(\Rightarrow B D = C D\) (hai cạnh tương ứng).

Xét \(\triangle B H D\) và \(\triangle C K D\), có

\(\hat{B H D} = \hat{C K D} = 9 0^{\circ}\) (giả thiết);

\(D H = D K\) (chứng minh trên);

\(B D = C D\) (chứng minh trên).

Do đó \(\triangle B H D = \triangle C K D\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

\(\Rightarrow B H = C K\) (hai cạnh tương ứng).

“Bài học đường đời đầu tiên” là một trong những truyện đồng thoại nổi tiếng của nhà văn Tô Hoài. Thông qua nhân vật Dế Mèn cùng những thử thách, vấp ngã trong chặng đường đầu tiên của cuộc đời, Tô Hoài đã gửi gắm rất nhiều những bài học ý nghĩa về cuộc sống, đặc biệt là bài học dành cho giới trẻ. Trong truyện chúng ta hình dung rõ ràng về một chú Dế Mèn có nét đẹp cường tráng, khỏe mạnh hơn người nhưng tính cách thì xốc nổi hống hách, cuối cùng trước cái chết của người bạn, Dế Mèn đã rút ra cho mình những bài học đắt giá.

Nhân vật Dế Mèn được giới thiệu là chàng Dế Mèn thông minh, khỏe mạnh, cường tráng với sức khoẻ hơn người. “ Đôi càng của chàng ta mẫm bóng, những cái vuốt ở khoeo cứ cứng dần và nhọn hoắt, đôi cánh dài đến tận gót chân” Cũng chính bởi vậy Dế Mèn tỏ ra kiêu ngạo, hợm hĩnh, coi thường tất cả những người xung quanh, không xem ai ra gì.

Tạo ra cuộc gặp gỡ giữa Dế Mèn và Dế Choắt đã giúp người đọc hình dung được những đặc điểm về tính cách của nhân vật. Vì thói kiêu căng, hợm hĩnh nên Dế Mèn bỏ ngoài tai những lời cầu khẩn của Dế Choắt “thông ngách sang nhà ta hả, chú mày hôi như cú ấy…”Trước sự khốn khó và nỗi đau của đồng loại Dế Mèn không hề có sự cảm thông, chia sẻ mà ngược lại thằng thừng chà đạp lên nỗi đau nó. Những lời nói của Dế Mèn với Dế Choắt càng chứng tỏ chàng thanh niên mới lớn này có tính kiêu ngạo, hống hách, xốc nổi của tuổi trẻ và rồi đó sẽ là mầm mống tai họa sau này mà Dế Mèn sẽ phải trả giá.

Sự kiêu căng, hợm hĩnh của Dế Mèn được thể hiện rõ hơn cả qua hành động trêu ngươi chị Cốc. Dế Mèn cất tiếng hát véo von “vặt lông con Cốc cho tao, tao nấu tao nướng, tao xào, tao ăn”, rồi chui tọt vào hang, vắt chân tự hào về thành tích của mình. Thế rồi khi chị Cốc đi tìm kẻ trêu ngươi mình thì Dế Mèn sợ hãi chui tọt vào trong hang không nhúc nhích mặc kệ Dế Choắt đang phải chịu những trận mổ như trời giáng của Chị Cốc. Tình tiết này chứng tỏ Dế Mèn kiêu căng, hợm hĩnh nhưng lại đê hèn, không dám nhận những việc mình đã làm, bỏ mặc bạn bè trong cơn khốn khó. Trước cái chết của Dế Choắt mà nguyên nhân sâu xa là do mình, Dế Mèn đã rút ra được bài học đường đời đầu tiên, vô cùng thấm thía và đắt giá.

 Thiên nhiên có thể phá hủy những công trình vĩ đại con người làm ra nhưng không thể hủy diệt được sức mạnh tinh thần, sức mạnh tình yêu nơi con người.

Tình yêu là sự rung động của tâm hồn, là lòng vị tha, sự hi sinh bản thân, tình yêu thương của con người với đồng loại – chính là sức mạnh vĩ đại nhất mà loài người có trong tay. Sức mạnh vĩ đại nhất mà nhân loại có trong tay chính là tình yêu bởi tình yêu là một giá trị tinh thần vô giá, có thể mang đến cho con người niềm vui, hạnh phúc, tạo động lực và sức mạnh giúp con người vượt qua những thử thách để chiến thắng cái ác, cái xấu. Con người dù có vĩ đại đến đâu cũng trở nên nhỏ bé, yếu đuối, bất lực trước sự cuồng nộ của thiên nhiên, sức mạnh hủy diệt của bom hạt nhân,… Chỉ có tình yêu mới khiến cho loài người biết sống thân thiện với môi trường và xích lại gần nhau, nắm tay nhau để cùng tạo dựng nên những giá trị trường tồn, bất tử. Vì tình yêu là sức mạnh vĩ đại nhất nhân loại có trong tay nên mỗi người cần phải biết chia sẻ, có lòng
vị tha, mọi người cần biết chung tay ngăn chặn và đẩy
lùi chiến tranh, xung đột sắc tộc, dịch bệnh, bảo vệ môi trường sống,… Nếu loài
người muốn tồn tại, nếu ta muốn tìm ý nghĩa của sự sống, nếu ta muốn bảo vệ thế
giới và tất cả những giống loài khác, tình yêu chính là câu trả lời đầu tiên và
duy nhất. Những ai biết chia sẻ, yêu thương sẽ được nhận lại yêu thương. Những
ai thờ ơ, lạnh lùng, vô cảm sẽ nhận
về mình sự cô đơn và ghét bỏ. Để có được tình yêu và phát huy sức mạnh của nó,
mỗi người cần phải biết chăm sóc đời sống tinh thần, quan tâm đến cuộc sống
xung quanh, quan tâm người thân. Có lối sống tích cực, hãy sống yêu thương, vị
tha, vượt thắng sự ích kỷ của bản thân. Tình yêu không tự nó tìm đến, chúng ta
phải sẵn sàng những điều kiện để nó đên, phát triển và tạo ra sức mạnh cho bản
than mình.