a) Tính độ dãn của lò xo khi hệ cân bằng

• Khi hệ cân bằng, lực đàn hồi của lò xo cân bằng với trọng lực của vật.
• F(đh) = P
• kΔl(cân bằng) = mg
• Δl(cân bằng) = mg / k = (0,5 kg * 10 m/s²) / 100 N/m = 0,05 m = 5 cm

Vậy, độ dãn của lò xo khi hệ cân bằng là 5 cm.

b) Tính biên độ dao động của vật

• Biên độ dao động là độ lệch lớn nhất của vật so với vị trí cân bằng.
• A = Δl(max) - Δl(cân bằng) = 10 cm - 5 cm = 5 cm

Vậy, biên độ dao động của vật là 5 cm.

c) Tính độ lớn lực kéo F

• Lực kéo F làm lò xo dãn thêm 6 cm so với vị trí cân bằng.
• Độ dãn tổng cộng của lò xo: Δl(tổng) = Δl(cân bằng) + 6 cm = 5 cm + 6 cm = 11 cm = 0,11 m
• Lực kéo F cân bằng với lực đàn hồi của lò xo.
• F = F(đh) = kΔl(tổng) = 100 N/m * 0,11 m = 11 N

• Bán kính Trái Đất: R(Trái Đất) = 6400 km = 6400000 m
• Khoảng cách Trái Đất - Mặt Trời: r(Mặt Trời) = 150 triệu km = 150 * 10^9 m
• Chu kỳ quay quanh Mặt Trời: T(Mặt Trời) = 365,25 ngày = 365,25 * 24 * 3600 giây ≈ 31557600 giây
• Chu kỳ tự quay: T(Trái Đất) = 1 ngày = 24 * 3600 giây = 86400 giây

a) Tốc độ góc và tốc độ của tâm Trái Đất trong chuyển động tròn quanh Mặt Trời

• Tốc độ góc: ω(Mặt Trời) = 2π / T(Mặt Trời) ≈ 2π / 31557600 ≈ 1,99 * 10^-7 rad/s
• Tốc độ dài: v(Mặt Trời) = ω(Mặt Trời) * r(Mặt Trời) ≈ 1,99 * 10^-7 rad/s * 150 * 10^9 m ≈ 29850 m/s

b) Tốc độ góc và tốc độ của một điểm nằm trên đường xích đạo trong chuyển động tự quay quanh trục của Trái Đất

• Tốc độ góc: ω(Trái Đất) = 2π / T(Trái Đất) = 2π / 86400 ≈ 7,27 * 10^-5 rad/s
• Tốc độ dài: v(xích đạo) = ω(Trái Đất) * R(Trái Đất) ≈ 7,27 * 10^-5 rad/s * 6400000 m ≈ 465,3 m/s

c) Tốc độ góc và tốc độ của một điểm nằm trên vĩ tuyến 30 trong chuyển động tự quay quanh trục của Trái Đất

• Tốc độ góc: Tốc độ góc không đổi đối với mọi điểm trên Trái Đất: ω(vĩ tuyến 30) = ω(Trái Đất) ≈ 7,27 * 10^-5 rad/s
• Bán kính vĩ tuyến 30: r(vĩ tuyến 30) = R(Trái Đất) * cos(30°) ≈ 6400000 m * √3/2 ≈ 5542562,5 m
• Tốc độ dài: v(vĩ tuyến 30) = ω(vĩ tuyến 30) * r(vĩ tuyến 30) ≈ 7,27 * 10^-5 rad/s * 5542562,5 m ≈ 403 m/s

• Bán kính Trái Đất: R(Trái Đất) = 6400 km = 6400000 m
• Khoảng cách Trái Đất - Mặt Trời: r(Mặt Trời) = 150 triệu km = 150 * 10^9 m
• Chu kỳ quay quanh Mặt Trời: T(Mặt Trời) = 365,25 ngày = 365,25 * 24 * 3600 giây ≈ 31557600 giây
• Chu kỳ tự quay: T(Trái Đất) = 1 ngày = 24 * 3600 giây = 86400 giây

a) Tốc độ góc và tốc độ của tâm Trái Đất trong chuyển động tròn quanh Mặt Trời

• Tốc độ góc: ω(Mặt Trời) = 2π / T(Mặt Trời) ≈ 2π / 31557600 ≈ 1,99 * 10^-7 rad/s
• Tốc độ dài: v(Mặt Trời) = ω(Mặt Trời) * r(Mặt Trời) ≈ 1,99 * 10^-7 rad/s * 150 * 10^9 m ≈ 29850 m/s

b) Tốc độ góc và tốc độ của một điểm nằm trên đường xích đạo trong chuyển động tự quay quanh trục của Trái Đất

• Tốc độ góc: ω(Trái Đất) = 2π / T(Trái Đất) = 2π / 86400 ≈ 7,27 * 10^-5 rad/s
• Tốc độ dài: v(xích đạo) = ω(Trái Đất) * R(Trái Đất) ≈ 7,27 * 10^-5 rad/s * 6400000 m ≈ 465,3 m/s

c) Tốc độ góc và tốc độ của một điểm nằm trên vĩ tuyến 30 trong chuyển động tự quay quanh trục của Trái Đất

• Tốc độ góc: Tốc độ góc không đổi đối với mọi điểm trên Trái Đất: ω(vĩ tuyến 30) = ω(Trái Đất) ≈ 7,27 * 10^-5 rad/s
• Bán kính vĩ tuyến 30: r(vĩ tuyến 30) = R(Trái Đất) * cos(30°) ≈ 6400000 m * √3/2 ≈ 5542562,5 m
• Tốc độ dài: v(vĩ tuyến 30) = ω(vĩ tuyến 30) * r(vĩ tuyến 30) ≈ 7,27 * 10^-5 rad/s * 5542562,5 m ≈ 403 m/s

• m1 = 500 g = 0,5 kg
• m2 = 300 g = 0,3 kg

a/ Hai viên bi chuyển động cùng chiều và sau va chạm dính vào nhau, chuyển động với vận tốc v = 3 m/s theo hướng chuyển động ban đầu của viên bi 1.

• Chọn chiều dương là chiều chuyển động của viên bi 1.
• Động lượng của viên bi 1 trước va chạm: p1 = m1v1 = 0,5 kg * 4 m/s = 2 kg.m/s
• Động lượng của viên bi 2 trước va chạm: p2 = m2v2 = 0,3 kg * v2
• Tổng động lượng trước va chạm: p(trước) = p1 + p2 = 2 + 0,3v2
• Tổng động lượng sau va chạm: p(sau) = (m1 + m2)v = (0,5 + 0,3) * 3 = 2,4 kg.m/s
• Áp dụng định luật bảo toàn động lượng: p(trước) = p(sau)
• • 2 + 0,3v2 = 2,4
  • 0,3v2 = 0,4
  • v2 = 0,4 / 0,3 ≈ 1,33 m/s

Vậy, vận tốc v2 của viên bi 2 là khoảng 1,33 m/s.

b/ Sau va chạm chúng dính vào nhau và chuyển động động với vận tốc v = 3 m/s theo hướng vuông góc với hướng chuyển động ban đầu của viên bi 1.

• Trong trường hợp này, động lượng của hệ được bảo toàn theo cả hai phương x và y.
• Chọn trục x là hướng chuyển động ban đầu của viên bi 1, và trục y vuông góc với trục x.
• Động lượng theo trục x trước va chạm: p(x, trước) = m1v1 = 2 kg.m/s
• Động lượng theo trục y trước va chạm: p(y, trước) = m2v2
• Động lượng theo trục x sau va chạm: p(x, sau) = 0 (vì v vuông góc với v1)
• Động lượng theo trục y sau va chạm: p(y, sau) = (m1 + m2)v = 0,8 * 3 = 2,4 kg.m/s
• Áp dụng định luật bảo toàn động lượng theo trục x: p(x, trước) = p(x, sau)
• • 2 = 0 (điều này cho thấy có sự nhầm lẫn trong đề bài vì không thể nào 2=0)
• Áp dụng định luật bảo toàn động lượng theo trục y: p(y, trước) = p(y, sau)
• • 0,3v2 = 2,4
  • v2 = 2,4 / 0,3 = 8 m/s

• Khối lượng: m = 300 g = 0,3 kg
• Chiều dài dây (bán kính): r = 50 cm = 0,5 m
• v = ωr = 8 rad/s * 0,5 m = 4 m/s

- lực căng tại điểm cao nhất

• Tại điểm cao nhất, lực căng (T(cao)) và trọng lực (P) cùng hướng xuống, đóng vai trò là lực hướng tâm.
• Phương trình lực: T(cao) + P = mv²/r
• T(cao) = mv²/r - P = mv²/r - mg
• T(cao) = 0,3 kg * (4 m/s)² / 0,5 m - 0,3 kg * 10 m/s²
• T(cao) = 9,6 N - 3 N = 6,6 N

- lực căng tại điểm thấp nhất

• Tại điểm thấp nhất, lực căng (T(thấp)) hướng lên, trọng lực (P) hướng xuống.
• Phương trình lực: T(thấp) - P = mv²/r
• T(thấp) = mv²/r + P = mv²/r + mg
• T(thấp) = 0,3 kg * (4 m/s)² / 0,5 m + 0,3 kg * 10 m/s²
• T(thấp) = 9,6 N + 3 N = 12,6 N

a/ Tính áp suất của xe tăng lên mặt đường

• Tính trọng lượng của xe tăng:
• • Trọng lượng (P) = khối lượng (m) * gia tốc trọng trường (g)
  • P = 2600 kg * 10 m/s² = 26000 N
• Tính áp suất:
• • Áp suất (p) = lực ép (F) / diện tích tiếp xúc (S)
  • Trong trường hợp này, lực ép chính là trọng lượng của xe tăng.
  • p = 26000 N / 1,3 m² = 20000 N/m² = 20000 Pa

Vậy, áp suất của xe tăng lên mặt đường là 20000 Pa.

b/ So sánh áp suất của xe tăng và người

• Tính áp suất của người:
• • Diện tích tiếp xúc của 2 bàn chân: 200 cm² = 0,02 m²
  • Trọng lượng của người: P(người) = 45 kg * 10 m/s² = 450 N
  • Áp suất của người: p(người) = 450 N / 0,02 m² = 22500 N/m² = 22500 Pa
• So sánh:
• • Áp suất của người (22500 Pa) lớn hơn áp suất của xe tăng (20000 Pa).

a/ Hòn đá bay theo phương ngang, ngược chiều xe với vận tốc v2 = 12 m/s

• Chọn chiều dương là chiều chuyển động của xe cát.
• Động lượng của xe cát trước va chạm: p1 = m1v1 = 300 * 10 = 3000 kg.m/s
• Động lượng của hòn đá trước va chạm: p2 = m2v2 = 0,5 * (-12) = -6 kg.m/s (dấu âm vì ngược chiều)
• Tổng động lượng trước va chạm: p(trước) = p1 + p2 = 3000 - 6 = 2994 kg.m/s
• Gọi v là vận tốc của xe cát sau khi hòn đá rơi vào.
• Tổng động lượng sau va chạm: p(sau) = (m1 + m2)v = (300 + 0,5)v = 300,5v
• Áp dụng định luật bảo toàn động lượng: p(trước) = p(sau)
• • 2994 = 300,5v
  • v = 2994 / 300,5 ≈ 9,96 m/s

Vậy, vận tốc của xe sau khi hòn đá rơi vào cát là khoảng 9,96 m/s.

b/ Hòn đá rơi theo phương thẳng đứng

• Vì hòn đá rơi theo phương thẳng đứng, nó không có động lượng theo phương ngang.
• Vậy nên động lượng của hệ chỉ có của xe cát.
• Động lượng của xe cát trước va chạm: p1 = m1v1 = 300 * 10 = 3000 kg.m/s
• Tổng động lượng trước va chạm: p(trước) = p1 = 3000 kg.m/s
• Gọi v' là vận tốc của xe cát sau khi hòn đá rơi vào.
• Tổng động lượng sau va chạm: p(sau) = (m1 + m2)v' = (300 + 0,5)v' = 300,5v'
• Áp dụng định luật bảo toàn động lượng: p(trước) = p(sau)
• • 3000 = 300,5v'
  • v' = 3000 / 300,5 ≈ 9,98 m/s

Phương trình định luật II Newton : 

\(\overset{\rightarrow}{P} + \overset{\rightarrow}{F_{đ\text{h}}} = \overset{\rightarrow}{0}\) (1)

Chiếu (1) lên hướng \(\overset{\rightarrow}{P}\)  

=> \(P = F_{đ\text{h}} \Leftrightarrow m g = k . \Delta l \Leftrightarrow \Delta l = \frac{m g}{k} = \frac{0 , 5.10}{100} = 0 , 05 \left(\right. m \left.\right)\)

=> Chiều dài lò xo \(l_{1} = l + \Delta l = 40 + 5 = 45\) (cm)

b) \(l_{2} = l + \Delta l = 48 \left(\right. c m \left.\right) \Leftrightarrow \Delta l = 8 \left(\right. c m \left.\right) = 0 , 08 \left(\right. m \left.\right)\)

Khi đó \(m = \frac{k . \Delta l}{g} = \frac{100.0 , 08}{10} = 0 , 8 \left(\right. k g \left.\right)\)

Phương trình định luật II Newton : 

\(\overset{\rightarrow}{P} + \overset{\rightarrow}{F_{đ\text{h}}} = \overset{\rightarrow}{0}\) (1)

Chiếu (1) lên hướng \(\overset{\rightarrow}{P}\)  

=> \(P = F_{đ\text{h}} \Leftrightarrow m g = k . \Delta l \Leftrightarrow \Delta l = \frac{m g}{k} = \frac{0 , 5.10}{100} = 0 , 05 \left(\right. m \left.\right)\)

=> Chiều dài lò xo \(l_{1} = l + \Delta l = 40 + 5 = 45\) (cm)

b) \(l_{2} = l + \Delta l = 48 \left(\right. c m \left.\right) \Leftrightarrow \Delta l = 8 \left(\right. c m \left.\right) = 0 , 08 \left(\right. m \left.\right)\)

Khi đó \(m = \frac{k . \Delta l}{g} = \frac{100.0 , 08}{10} = 0 , 8 \left(\right. k g \left.\right)\)

Phương trình định luật II Newton : 

\(\overset{\rightarrow}{P} + \overset{\rightarrow}{F_{đ\text{h}}} = \overset{\rightarrow}{0}\) (1)

Chiếu (1) lên hướng \(\overset{\rightarrow}{P}\)  

=> \(P = F_{đ\text{h}} \Leftrightarrow m g = k . \Delta l \Leftrightarrow \Delta l = \frac{m g}{k} = \frac{0 , 5.10}{100} = 0 , 05 \left(\right. m \left.\right)\)

=> Chiều dài lò xo \(l_{1} = l + \Delta l = 40 + 5 = 45\) (cm)

b) \(l_{2} = l + \Delta l = 48 \left(\right. c m \left.\right) \Leftrightarrow \Delta l = 8 \left(\right. c m \left.\right) = 0 , 08 \left(\right. m \left.\right)\)

Khi đó \(m = \frac{k . \Delta l}{g} = \frac{100.0 , 08}{10} = 0 , 8 \left(\right. k g \left.\right)\)