a) Chứng minh bốn điểm \(O\), \(I\), \(E\), \(D\) cùng thuộc một đường tròn.

Gọi \(J\) là trung điểm của \(I D\)

Xét tam giác \(D O I\) vuông tại \(O\) (do \(A B\) vuông \(C D\)) có \(O J\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền, suy ra \(J O = J I = J D = \frac{1}{2} I D\) (1)

Ta có \(\hat{I E D} = 9 0^{\circ}\) (do là góc nội tiếp chắn cung \(C D\)) suy ra \(\Delta I E D\) vuông tại \(E\).

Xét tam giác \(I E D\) vuông tại \(E\) có \(E I\) là trung tuyến ứng với canh huyền, suy ra \(J I = J E = J D = \frac{1}{2} I D\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(O , I , E , D\) cùng thuộc một đường tròn tâm \(J\) đường kính \(I D\)

b) Chứng minh: \(A H . A E = 2 R^{2}\) và \(O A = 3. O H\).

Xét \(\Delta A H O\) và \(\Delta A B E\) có:

\(\hat{A O H} = \hat{A E B} = 9 0^{\circ}\)

\(\hat{O A H}\): góc chung

Suy ra \(\Delta A H O sim \Delta A B E\) (g.g)

Suy ra: \(\frac{O A}{O H} = \frac{A E}{B E}\)

Suy ra: \(A H . A E = A O . A B = R . 2 R = 2 R^{2}\)

Ta có \(A B\) và \(C D\) là hai đường kính vuông góc với nhau nên \(= = =\).

Mặt khác \(\hat{C E B} = \frac{1}{2} \&\text{nbsp};\); \(\hat{A E C} = \frac{1}{2} \&\text{nbsp};\).

Suy ra \(\hat{C E B} = \hat{A E C}\).

Vậy \(E I\) là tia phân giác của góc \(A E B\).

Khi đó, ta có:

\(\frac{A E}{B E} = \frac{A I}{I B} = \frac{\frac{3}{2} R}{\frac{1}{2} R} = 3\)

Suy ra: \(\frac{O A}{O H} = 3\), do đó \(O A = 3. O H\)

c) Gọi \(K\) là hình chiếu của \(O\) trên \(B D\), \(Q\) là giao điểm của \(A D\) và \(B E\). Chứng minh: \(Q , K , I\) thẳng hàng.

Theo ý b) \(O A = 3. O H\) mà \(O A = O D\) nên \(O D = 3 O H\) suy ra \(H D = \frac{2}{3} O D\)

Suy ra \(H\) là trọng tâm \(\Delta A B D\) (1)

⚡Xét tam giác \(O B D\) cân tại \(O\) có \(O K ⊥ B D\) nên \(K\) cũng là trung điểm của \(B D\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(A , H , K , E\) thẳng hàng

⚡Xét tam giác \(A B Q\) có \(B D\) và \(A E\) là các đường cao và \(K \in B D\), \(K \in A E\). Suy ra \(K\) là trực tâm của \(\Delta A B Q\).

Suy ra: \(K Q\) vuông góc \(A B\) (*)

⚡Xét tam giác \(O B D\) có \(I K\) là đường trung bình của tam giác nên \(I K / / O D\), suy ra \(I K ⊥ A B\) (góc đồng vị) (**)

Từ (*) và (**) suy ra: \(Q , K , I\) thẳng hàng

a) Không gian mẫu của phép thử là:

Ω={(1,2);(1,3);(1,4);(2,1);(2,3);(2,4);(3,1);(3,2);(3,4);(4,1);(4,2);(4,3)}

b) Xác suất để lấy được \(2\) viên bi mà tổng hai số trên hai viên bi đó là số lẻ.

Số các kết quả có thể xảy ra (số phần tử của không gian mẫu) là \(n \left(\right. \Omega \left.\right) = 12\).

Gọi \(A\) là biến cố “Lấy được \(2\) viên bi mà tổng hai số trên hai viên bi đó là số lẻ”.

Số kết quả thuận lợi của biến cố \(A\) là \(n \left(\right. A \left.\right) = 8\).

Xác suất của biến cố \(A\) là \(P \left(\right. A \left.\right) = \frac{n \left(\right. A \left.\right)}{n \left(\right. \Omega \left.\right)} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\).

a) Tần số tương đối của các nhóm \(\left[\right. 10 ; 20 \left.\right)\), \(\left[\right. 20 ; 30 \left.\right)\), \(\left[\right. 30 ; 40 \left.\right)\), \(\left[\right. 40 ; 50 \left.\right)\) lần lượt là:

\(f_{1} = \frac{8.100}{60} \% \approx 13 , 33 \%\);

\(f_{2} = \frac{18.100}{60} \% = 30 \%\);

\(f_{3} = \frac{24.100}{60} \% = 40 \%\);

\(f_{4} = \frac{10.100}{60} \% \approx 16 , 67 \% .\)

b) Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm.

c) Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm ở dạng biểu đồ cột của mẫu số liệu ghép nhóm.

a) Cỡ mẫu là 40.

Bảng tần số và tần số tương đối:

b)

Tần số tương đối phân theo cỡ giày

c) Cửa hàng trên nhập về để bán cỡ giày 40; 41 nhiều nhất, cỡ giày 44 ít nhất vì cỡ giày 40; 41 có nhiều người mua nhất, cỡ giày 44 có ít người mua nhất.

a) Bảng tần số và tần số tương đối: 

b)

 Tần số tương đối phân theo số bàn thắng

Số liệu không chính xác ở đây là $15\%$. Sửa lại thành $12\%$ vì \(\dfrac{6}{24+16+6+4}\).100

a) Có 6 giá trị khác nhau.

b) Trong số 40 số liệu thống kê, có: 5 lần quay vào số 1, 6 lần quay vào số 6, 8 lần quay vào số 3, 7 lần quay vào số 4, 7 lần quay vào số 5 và 7 lần quay vào số 6.

Bảng tần số của mẫu số liệu thống kê:

Biểu đồ dạng cột của tần số mẫu số liệu có dạng:

c) Các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6 có tần số tương đối lần lượt là:

Bảng tần số tương đối:

Biểu đồ dạng cột của tần số tương đối mẫu số liệu có dạng:

Biểu đồ dạng quạt tròn của tần số tương đối mẫu số liệu có dạng: