Ta có biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất:

H(x, y) = x^2 + y^2 - xy - x + y + 1

Đây là hàm hai biến và , nên ta cần xác định giá trị nhỏ nhất của H(x, y) với .

Cách giải: Dùng đạo hàm để tìm điểm cực tiểu

Tính các đạo hàm riêng:

\frac{\partial H}{\partial x} = 2x - y - 1  
\quad ; \quad 
\frac{\partial H}{\partial y} = 2y - x + 1

Cho hai đạo hàm riêng bằng 0:

Thế vào phương trình (2):

2(2x - 1) - x + 1 = 0 \Rightarrow 4x - 2 - x + 1 = 0 \Rightarrow 3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}
\Rightarrow y = 2 \cdot \frac{1}{3} - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}

Tính giá trị nhỏ nhất:

Thay vào :

H\left(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}\right) 
= \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 
- \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) - \frac{1}{3} + \left(-\frac{1}{3}\right) + 1

Tính từng phần:

= \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + 1
= \frac{3}{9} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}

Kết luận:

Giá trị nhỏ nhất của là , đạt được tại .

Ta sẽ giải bài toán hình học từng bước, dựa trên các giả thiết sau:

• Tam giác cân ABC với AB = AC = 15 cm, BC = 10 cm
• BD là phân giác góc B, cắt cạnh AC tại D

a) Tính AD và DC

Áp dụng định lý phân giác:

Trong tam giác, phân giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỷ lệ với hai cạnh kề.

\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

Gọi ,

AD + DC = AC = 15 \Rightarrow 3x + 2x = 15 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3

Vậy:

b) Đường vuông góc với BD tại B cắt AC kéo dài tại E. Tính EC

Ta làm rõ:

• Gọi là giao điểm của đường vuông góc với BD tại B, cắt đường thẳng AC kéo dài (về phía C)
• Cần tính độ dài đoạn EC

Ta sẽ dùng tọa độ để giải hình học:

Đặt hệ trục tọa độ:

• Gọi , , , với điều kiện AB = AC = 15
• Vì tam giác ABC cân tại A → A nằm trên phép đối xứng qua trục trung trực của BC

Giữa AB và AC có cùng độ dài:

AB = AC = 15 \Rightarrow AB^2 = AC^2

Ta chọn A đối xứng hợp lý: đặt

A = (5, h)
\Rightarrow AB^2 = (5 - 0)^2 + h^2 = 25 + h^2  

AC^2 = (5 - 10)^2 + h^2 = 25 + h^2
\Rightarrow \text{OK, AB = AC = 15} ]

Kiểm tra:

AB^2 = AC^2 = 25 + h^2 = 15^2 = 225 \Rightarrow h^2 = 200 \Rightarrow h = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}

Tọa độ các điểm:

Tìm tọa độ D:

• D nằm trên AC, chia AC theo tỉ lệ
• Dùng công thức chia đoạn theo tỉ lệ:

D = \frac{2A + 3C}{2 + 3} = \frac{2(5, 10\sqrt{2}) + 3(10, 0)}{5}
= \frac{(10 + 30, 20\sqrt{2} + 0)}{5}
= (8, 4\sqrt{2})

Tìm đường thẳng BD:

• B: , D:
• Vector

a) Có bao nhiêu cách viết ngẫu nhiên một số như vậy?

Hai chữ số: Từ 10 đến 99 → có số.

Ba chữ số: Từ 100 đến 999 → có số.

Tổng số cách viết:

90 + 900 = 990\ \text{cách}

b) Tính xác suất của các biến cố:

Biến cố 1: "Số chia hết cho 2 và 5"

→ Chia hết cho 10.

Các số từ 10 đến 999 chia hết cho 10 là:
10, 20, 30, ..., 990.

Dãy này là cấp số cộng với:

• Số đầu: 10
• Công sai: 10
• Số cuối: 990

Số lượng phần tử:

\frac{990 - 10}{10} + 1 = \frac{980}{10} + 1 = 98 + 1 = 99\ \text{số}

Xác suất:

P = \frac{99}{990} = \frac{1}{10}

Biến cố 2: "Số là bình phương của một số tự nhiên"

Tìm các số có bình phương nằm trong khoảng [10, 999]:

• → lấy từ
• → đến

Vậy các số tự nhiên từ 4 đến 31 → có bình phương.

Xác suất:

P = \frac{28}{990}
\approx 0.0283\ (\text{hoặc } 2,83\%)

Tóm tắt kết quả:

a) Thị trường cung cấp nhiều nhất và ít nhất:

• Nhiều nhất: Thái Lan với 218.155 tấn
• Ít nhất: Trung Quốc với 483 tấn

b) Tính phần trăm tăng của Indonexia so với Lào:

Công thức:

\text{Tỷ lệ tăng} = \left(\frac{\text{Indonexia} - \text{Lào}}{\text{Lào}}\right) \times 100\%
= \left(\frac{3447 - 2983}{2983}\right) \times 100\%
= \left(\frac{464}{2983}\right) \times 100\% \approx 15,6\%

Đáp án: Indonexia cung cấp nhiều hơn Lào khoảng 15,6%

c) Kiểm tra nhận định của bài báo:

1. "Việt Nam là thị trường cung cấp lớn thứ hai"
   → Đúng, vì thứ tự về lượng là: Thái Lan > Việt Nam > Indonexia > Lào > Trung Quốc.
2. "Lào cung cấp khoảng 1,2% so với tổng lượng nhập khẩu"
   → Tính tổng lượng:

\text{Tổng} = 218.155 + 24.859 + 3.447 + 2.983 + 483 = 249.927\ \text{tấn}

\text{Tỷ lệ của Lào} = \frac{2.983}{249.927} \times 100\% \approx 1,2\%

→ Đúng.

Kết luận: Nhận định của bài báo là chính xác.

Bạn cần mình trình bày lại kết quả dưới dạng bảng hay sơ đồ không?