.

.

.

..

.

.

.

.

.

a) Do $MA$, $MB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên $MA\perp OA;MB\perp OB$

Suy ra MAO^=MBO^=90∘MAO=MBO=90∘.

Gọi $I$ là trung điểm của $OM$ (học sinh tự vẽ thêm trên hình).

Xét tam giác $MAO$ vuông tại $A$, $AI$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền, ta có:

AI=MI=IO=12OMAI=MI=IO=21​OM (1)

Xét tam giác $MBO$ vuông tại $B$, $BI$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền, ta có:

BI=MI=IO=12OMBI=MI=IO=21​OM (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AI=MI=IO=BI$

Vậy tứ giác $MAOB$ nội tiếp đường tròn tâm $I$, đường kính $OM$.

b) Do $MA$, $MB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên $MA=MB$;

Mà $OA=OB=R$ nên $MO$ là trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Suy ra $MO\perp AB$ tại $D$.

$H$ là hình chiếu của $O$ trên đường thẳng $d$ nên $HO\perp MH$.

Xét tam giác $\Delta ODC$ và $\Delta OHM$ có:

MOH^MOH chung;

ODC^=OHM^=90∘ODC=OHM=90∘

Suy ra $\Delta ODC\backsim \Delta OHM$ (g.g) suy ra ODOH=OCOMOHOD​=OMOC​

Hay $OC.OH=OD.OM$.

Tương tự, chứng minh $\Delta ODA\backsim \Delta OAM$ suy ra OD.OM=OA2=R2OD.OM=OA2=R2

Hay OC.OH=R2OC.OH=R2

c) Vì điểm $O$ và đường thẳng $d$ cố định nên $H$ cố định do đó $OH$ cố định và có độ dài không đổi suy ra $C\in OH$ cố định (3)

 Từ OC.OH=R2OC.OH=R2 ta có OC=R2OHOC=OHR2​ không đổi (4)

Từ (3) và (4) suy ra điểm $C$ cố định suy ra dây $AB$ luôn đi qua điểm $C$ cố định.

Vậy khi điểm $M$ di chuyển trên đường thẳng $d$ thì dây $AB$ luôn đi qua một điểm cố định.