Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo các bước sau:

Bước 1: Phân tích phương trình bậc 2

Phương trình bậc 2 đã cho là:

\(x^{2} - m x + m^{2} - m - 3 = 0\)

Theo định lý Vi-et, đối với phương trình bậc 2 có dạng \(a x^{2} + b x + c = 0\), ta có các hệ thức:

• Tổng hai nghiệm: \(x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}\)
• Tích hai nghiệm: \(x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}\)

Áp dụng vào phương trình của chúng ta \(x^{2} - m x + \left(\right. m^{2} - m - 3 \left.\right) = 0\), ta có:

• Tổng nghiệm \(x_{1} + x_{2} = m\)
• Tích nghiệm \(x_{1} x_{2} = m^{2} - m - 3\)

Bước 2: Sử dụng thông tin về tam giác vuông

Bài toán cho biết \(x_{1}\) và \(x_{2}\) là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông \(A B C\), với cạnh huyền \(B C = 2\).

Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông \(A B C\), ta có:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = B C^{2} = 2^{2} = 4\)

Vậy ta có điều kiện:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 4\)

Bước 3: Sử dụng các hệ thức Vi-et

Ta đã có hai điều kiện:

1. \(x_{1} + x_{2} = m\)
2. \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 4\)

Ta có thể tính \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}\) từ công thức:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2}\)

Thay vào các giá trị từ Vi-et:

\(4 = m^{2} - 2 \left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)\)

Từ Vi-et, ta có \(x_{1} x_{2} = m^{2} - m - 3\). Thay vào:

\(4 = m^{2} - 2 \left(\right. m^{2} - m - 3 \left.\right)\)

Bước 4: Giải phương trình bậc 2

Giải phương trình:

\(4 = m^{2} - 2 \left(\right. m^{2} - m - 3 \left.\right)\) \(4 = m^{2} - 2 m^{2} + 2 m + 6\) \(4 = - m^{2} + 2 m + 6\)

Chuyển vế:

\(m^{2} - 2 m - 2 = 0\)

Giải phương trình bậc 2:

\(m = \frac{- \left(\right. - 2 \left.\right) \pm \sqrt{\left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. - 2 \left.\right)}}{2 \left(\right. 1 \left.\right)}\) \(m = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2}\) \(m = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2}\) \(m = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}\) \(m = 1 \pm \sqrt{3}\)

Kết luận

Các giá trị của \(m\) thỏa mãn điều kiện bài toán là:

\(m = 1 + \sqrt{3} \text{ho}ặ\text{c} m = 1 - \sqrt{3}\)

Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo các bước sau:

Bước 1: Phân tích phương trình bậc 2

Phương trình bậc 2 đã cho là:

\(x^{2} - 2 x + \left(\right. m - 1 \left.\right) = 0\)

Theo định lý Vi-et, đối với phương trình bậc 2 có dạng \(a x^{2} + b x + c = 0\), ta có các hệ thức:

• Tổng hai nghiệm: \(x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}\)
• Tích hai nghiệm: \(x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}\)

Áp dụng vào phương trình của chúng ta \(x^{2} - 2 x + \left(\right. m - 1 \left.\right) = 0\), ta có:

• Tổng nghiệm \(x_{1} + x_{2} = \frac{2}{1} = 2\)
• Tích nghiệm \(x_{1} x_{2} = \frac{m - 1}{1} = m - 1\)

Bước 2: Sử dụng hệ thức đã cho trong đề bài

Đề bài cho rằng các nghiệm \(x_{1}\) và \(x_{2}\) thỏa mãn hệ thức:

\(x_{1}^{4} - x_{1}^{3} = x_{2}^{4} - x_{2}^{3}\)

Ta có thể viết lại hệ thức này:

\(x_{1}^{4} - x_{1}^{3} - x_{2}^{4} + x_{2}^{3} = 0\) \(\left(\right. x_{1}^{4} - x_{2}^{4} \left.\right) = \left(\right. x_{1}^{3} - x_{2}^{3} \left.\right)\)

Áp dụng công thức hiệu bậc 4 và bậc 3:

\(\left(\right. x_{1}^{4} - x_{2}^{4} \left.\right) = \left(\right. x_{1}^{2} - x_{2}^{2} \left.\right) \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right)\) \(\left(\right. x_{1}^{3} - x_{2}^{3} \left.\right) = \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} \left.\right)\)

Ta có hệ thức sau:

\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} \left.\right) = \left(\right. x_{1}^{2} - x_{2}^{2} \left.\right) \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right)\)

Chia cả hai vế cho \(x_{1} - x_{2}\) (giả sử \(x_{1} \neq x_{2}\)):

\(x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right)\)

Thay vào các giá trị từ định lý Vi-et:

• \(x_{1} + x_{2} = 2\)
• \(x_{1} x_{2} = m - 1\)

Ta có:

\(x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = 2 \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right)\)

Giải phương trình này.

Bước 3: Tính các giá trị cần thiết

Ta tính \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}\) từ công thức:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2}\)

Thay \(x_{1} + x_{2} = 2\) và \(x_{1} x_{2} = m - 1\):

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 2^{2} - 2 \left(\right. m - 1 \left.\right)\) \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 4 - 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) = 4 - 2 m + 2 = 6 - 2 m\)

Vậy:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 6 - 2 m\)

Bước 4: Thay vào phương trình đã có

Từ hệ thức \(x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = 2 \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right)\), ta thay \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 6 - 2 m\) vào:

\(\left(\right. 6 - 2 m \left.\right) + \left(\right. m - 1 \left.\right) = 2 \left(\right. 6 - 2 m \left.\right)\)

Giải phương trình này:

\(6 - 2 m + m - 1 = 12 - 4 m\) \(5 - m = 12 - 4 m\) \(3 m = 7\) \(m = \frac{7}{3}\)

Kết luận:

Giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m = \frac{7}{3}\).

.Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo các bước sau:

Bước 1: Phân tích phương trình bậc 2

Phương trình bậc 2 đã cho là:

\(x^{2} - 2 m x + \left(\right. 4 m - 4 \left.\right) = 0\)

Theo định lý Vi-et, đối với phương trình bậc 2 có dạng \(a x^{2} + b x + c = 0\), ta có các hệ thức:

• Tổng hai nghiệm: \(x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}\)
• Tích hai nghiệm: \(x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}\)

Áp dụng vào phương trình của chúng ta \(x^{2} - 2 m x + \left(\right. 4 m - 4 \left.\right) = 0\), ta có:

• Tổng nghiệm \(x_{1} + x_{2} = \frac{2 m}{1} = 2 m\)
• Tích nghiệm \(x_{1} x_{2} = \frac{4 m - 4}{1} = 4 m - 4\)

Bước 2: Sử dụng điều kiện về tổng bình phương nghiệm

Phương trình còn có điều kiện là:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 8 = 0\)

Ta biết rằng \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}\) có thể tính theo công thức:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2}\)

Thay vào các giá trị đã biết từ định lý Vi-et, ta có:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. 2 m \left.\right)^{2} - 2 \left(\right. 4 m - 4 \left.\right)\)

Tính toán:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 4 m^{2} - 2 \left(\right. 4 m - 4 \left.\right)\) \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 4 m^{2} - 8 m + 8\)

Vì \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 8 = 0\), ta có:

\(4 m^{2} - 8 m + 8 - 8 = 0\) \(4 m^{2} - 8 m = 0\)

Bước 3: Giải phương trình bậc 2

Ta rút gọn phương trình:

\(4 m \left(\right. m - 2 \left.\right) = 0\)

Phương trình này có hai nghiệm:

\(m = 0 \text{ho}ặ\text{c} m = 2\)

Bước 4: Kiểm tra các giá trị của \(m\)

• Với \(m = 0\), phương trình trở thành \(x^{2} = 0\), tức là nghiệm duy nhất là \(x = 0\). Trong trường hợp này, không có hai nghiệm khác nhau, vì vậy \(m = 0\) không thỏa mãn điều kiện bài toán.
• Với \(m = 2\), phương trình trở thành \(x^{2} - 4 x + 4 = 0\), hay \(\left(\right. x - 2 \left.\right)^{2} = 0\), tức là nghiệm kép \(x_{1} = x_{2} = 2\). Ta kiểm tra điều kiện \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 8 = 0\):

\(2^{2} + 2^{2} - 8 = 4 + 4 - 8 = 0\)

Điều kiện này thỏa mãn, vì vậy \(m = 2\) là giá trị đúng.

Kết luận:

Giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m = 2\).

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị của tham số \(m\) sao cho phương trình bậc 2 sau đây có hai nghiệm phân biệt \(x_{1}\) và \(x_{2}\), thỏa mãn điều kiện \(\mid x_{1} \mid = 3 \mid x_{2} \mid\) và \(x_{1} < x_{2}\):

\(x^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x + m^{2} + 2 m = 0\)

Bước 1: Điều kiện nghiệm phân biệt

Để phương trình bậc 2 có hai nghiệm phân biệt, biệt thức \(\Delta\) phải thỏa mãn:

\(\Delta = b^{2} - 4 a c > 0\)

Với phương trình \(a x^{2} + b x + c = 0\), ta có \(a = 1\), \(b = - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\), và \(c = m^{2} + 2 m\). Do đó, biệt thức là:

\(\Delta = \left[\right. - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left]\right.^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. m^{2} + 2 m \left.\right)\)

Tính toán:

\(\Delta = 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m^{2} + 2 m \left.\right)\) \(\Delta = 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 \left.\right) - 4 \left(\right. m^{2} + 2 m \left.\right)\) \(\Delta = 4 m^{2} + 8 m + 4 - 4 m^{2} - 8 m\) \(\Delta = 4\)

Vì \(\Delta = 4 > 0\), phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Bước 2: Sử dụng điều kiện \(\mid x_{1} \mid = 3 \mid x_{2} \mid\)

Theo định lý Vi-et, với phương trình \(x^{2} + b x + c = 0\), tổng và tích của các nghiệm \(x_{1}\) và \(x_{2}\) được cho bởi:

• Tổng nghiệm: \(x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\)
• Tích nghiệm: \(x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = m^{2} + 2 m\)

Giả sử \(\mid x_{1} \mid = 3 \mid x_{2} \mid\), tức là \(x_{1} = 3 x_{2}\) hoặc \(x_{1} = - 3 x_{2}\).

Trường hợp 1: \(x_{1} = 3 x_{2}\)

Từ Vi-et, ta có:

\(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} x_{1} x_{2} = m^{2} + 2 m\)

Thay \(x_{1} = 3 x_{2}\) vào tổng nghiệm:

\(3 x_{2} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\) \(4 x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\) \(x_{2} = \frac{m + 1}{2}\)

Thay \(x_{1} = 3 x_{2} = \frac{3 \left(\right. m + 1 \left.\right)}{2}\) vào tích nghiệm:

\(x_{1} x_{2} = \frac{3 \left(\right. m + 1 \left.\right)}{2} \cdot \frac{m + 1}{2} = \frac{3 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2}}{4}\)

Vì \(x_{1} x_{2} = m^{2} + 2 m\), ta có phương trình:

\(\frac{3 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2}}{4} = m^{2} + 2 m\)

Nhân cả hai vế với 4 để loại mẫu:

\(3 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} = 4 \left(\right. m^{2} + 2 m \left.\right)\)

Tính bình phương:

\(3 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 \left.\right) = 4 m^{2} + 8 m\) \(3 m^{2} + 6 m + 3 = 4 m^{2} + 8 m\)

Chuyển các hạng tử về một phía:

\(3 m^{2} + 6 m + 3 - 4 m^{2} - 8 m = 0\) \(- m^{2} - 2 m + 3 = 0\)

Nhân cả phương trình với -1:

\(m^{2} + 2 m - 3 = 0\)

Giải phương trình bậc 2:

\(m = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. - 3 \left.\right)}}{2 \left(\right. 1 \left.\right)} = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}\) \(m = \frac{- 2 \pm 4}{2}\)

Ta có hai nghiệm:

\(m = \frac{- 2 + 4}{2} = 1 \text{ho}ặ\text{c} m = \frac{- 2 - 4}{2} = - 3\)

Bước 3: Kiểm tra điều kiện \(x_{1} < x_{2}\)

Với \(m = 1\), ta có:

\(x_{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1 \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} x_{1} = \frac{3 \left(\right. 1 + 1 \left.\right)}{2} = 3\)

Vậy \(x_{1} = 3\) và \(x_{2} = 1\), thỏa mãn \(x_{1} > x_{2}\). Do đó, loại giá trị \(m = 1\).

Với \(m = - 3\), ta có:

\(x_{2} = \frac{- 3 + 1}{2} = - 1 \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} x_{1} = \frac{3 \left(\right. - 3 + 1 \left.\right)}{2} = - 3\)

Vậy \(x_{1} = - 3\) và \(x_{2} = - 1\), thỏa mãn \(x_{1} < x_{2}\).

Kết luận:

Giá trị duy nhất của \(m\) thỏa mãn điều kiện là \(m = - 3\).

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của tham số \(m\) sao cho phương trình bậc 2

\(x^{2} - m x + m - 2 = 0\)

có hai nghiệm phân biệt \(x_{1}\) và \(x_{2}\), đồng thời thỏa mãn điều kiện \(x_{1} - x_{2} = \frac{2}{5}\).

Bước 1: Xác định điều kiện để có nghiệm phân biệt

Phương trình bậc 2 có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi định thức của phương trình bậc 2 (hay còn gọi là biệt thức) lớn hơn 0. Định thức của phương trình

\(a x^{2} + b x + c = 0\)

là \(\Delta = b^{2} - 4 a c\).

Áp dụng vào phương trình \(x^{2} - m x + m - 2 = 0\) với \(a = 1\), \(b = - m\), và \(c = m - 2\), ta có:

\(\Delta = \left(\right. - m \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. m - 2 \left.\right) = m^{2} - 4 \left(\right. m - 2 \left.\right)\)

Giải phương trình này:

\(\Delta = m^{2} - 4 m + 8\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta yêu cầu \(\Delta > 0\):

\(m^{2} - 4 m + 8 > 0\)

Giải bất phương trình này, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:

\(\Delta^{'} = \left(\right. - 4 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. 8 \left.\right) = 16 - 32 = - 16\)

Vì \(\Delta^{'} < 0\), phương trình \(m^{2} - 4 m + 8 = 0\) không có nghiệm thực, tức là bất phương trình \(m^{2} - 4 m + 8 > 0\) luôn đúng với mọi giá trị của \(m\). Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Bước 2: Sử dụng điều kiện \(x_{1} - x_{2} = \frac{2}{5}\)

Theo lý thuyết phương trình bậc 2, tổng và tích của hai nghiệm \(x_{1}\) và \(x_{2}\) có thể tính được qua các hệ thức:

• Tổng nghiệm: \(x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = m\)
• Tích nghiệm: \(x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = m - 2\)

Ta đã biết từ bài toán rằng \(x_{1} - x_{2} = \frac{2}{5}\). Để tìm \(m\), ta sử dụng công thức hiệu của hai nghiệm trong phương trình bậc 2:

\(x_{1} - x_{2} = \sqrt{\Delta} / a\)

Với \(a = 1\) và \(\Delta = m^{2} - 4 m + 8\), ta có:

\(x_{1} - x_{2} = \sqrt{m^{2} - 4 m + 8}\)

Từ giả thiết \(x_{1} - x_{2} = \frac{2}{5}\), ta có:

\(\sqrt{m^{2} - 4 m + 8} = \frac{2}{5}\)

Bình phương hai vế:

\(m^{2} - 4 m + 8 = \left(\left(\right. \frac{2}{5} \left.\right)\right)^{2} = \frac{4}{25}\)

Giải phương trình:

\(m^{2} - 4 m + 8 = \frac{4}{25}\)

Nhân cả hai vế với 25 để loại mẫu:

\(25 \left(\right. m^{2} - 4 m + 8 \left.\right) = 4\) \(25 m^{2} - 100 m + 200 = 4\) \(25 m^{2} - 100 m + 196 = 0\)

Chia cả phương trình cho 25:

\(m^{2} - 4 m + \frac{196}{25} = 0\)

Đây là phương trình bậc 2 với nghiệm \(m\) cần tìm.

Để giải bài toán, ta cần tìm giá trị của \(m\) sao cho phương trình \(x^{2} - 2 x + m - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_{1}\) và \(x_{2}\), đồng thời thỏa mãn điều kiện:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} - 14 = 0.\)

Bước 1: Phân tích phương trình bậc 2

Phương trình ban đầu là:

\(x^{2} - 2 x + m - 1 = 0.\)

Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc 2 \(a x^{2} + b x + c = 0\), ta có:

\(x_{1} , x_{2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .\)

Ở đây \(a = 1\), \(b = - 2\), và \(c = m - 1\), do đó:

\(x_{1} , x_{2} = \frac{2 \pm \sqrt{\left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. m - 1 \left.\right)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \left(\right. m - 1 \left.\right)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 m + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8 - 4 m}}{2} .\)

Vậy hai nghiệm là:

\(x_{1} , x_{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8 - 4 m}}{2} .\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần là biệt thức \(\Delta\) phải dương, tức là:

\(\Delta = 8 - 4 m > 0 \Rightarrow m < 2.\)

Bước 2: Thay \(x_{1}\) và \(x_{2}\) vào điều kiện cho trước

Điều kiện bài toán là:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} - 14 = 0.\)

Ta sẽ sử dụng các công thức cơ bản của tổng và tích của các nghiệm phương trình bậc 2:

• Tổng các nghiệm: \(x_{1} + x_{2} = 2\) (do hệ số \(x\) trong phương trình là \(- 2\)).
• Tích các nghiệm: \(x_{1} x_{2} = m - 1\) (do hệ số tự do trong phương trình là \(m - 1\)).

Áp dụng các công thức này vào biểu thức cần tìm:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 2^{2} - 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) = 4 - 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) = 4 - 2 m + 2 = 6 - 2 m .\)

Vậy \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 6 - 2 m\).

Bây giờ, ta tính \(x_{1}^{2} x_{2}^{2}\):

\(x_{1}^{2} x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)^{2} = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} .\)

Do đó, biểu thức cần thỏa mãn trở thành:

\(\left(\right. 6 - 2 m \left.\right) - \left(\right. m - 1 \left.\right) + \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - 14 = 0.\)

Bước 3: Giải phương trình

Đưa về phương trình bậc 2 theo \(m\):

\(6 - 2 m - m + 1 + \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - 14 = 0.\)

Simplify biểu thức:

\(6 - 2 m - m + 1 + \left(\right. m^{2} - 2 m + 1 \left.\right) - 14 = 0.\) \(6 - 2 m - m + 1 + m^{2} - 2 m + 1 - 14 = 0.\) \(m^{2} - 5 m - 6 = 0.\)

Giải phương trình bậc 2 này bằng công thức nghiệm:

\(m = \frac{- \left(\right. - 5 \left.\right) \pm \sqrt{\left(\right. - 5 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. - 6 \left.\right)}}{2 \left(\right. 1 \left.\right)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2} .\)

Vậy:

\(m = \frac{5 + 7}{2} = 6 \text{ho}ặ\text{c} m = \frac{5 - 7}{2} = - 1.\)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện \(m < 2\)

Chỉ có \(m = - 1\) thỏa mãn điều kiện \(m < 2\).

Kết luận:

Giá trị của \(m\) sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện là \(m = - 1\).

Cho phương trình bậc hai:

\(x^{2} - 4 x + m - 1 = 0\)

Cần tìm giá trị \(m\) sao cho phương trình này có hai nghiệm \(x_{1}\) và \(x_{2}\) thỏa mãn điều kiện:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 14\)

Bước 1: Sử dụng các công thức về tổng và tích của nghiệm phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai có dạng tổng quát là \(a x^{2} + b x + c = 0\), với nghiệm \(x_{1}\) và \(x_{2}\), ta có các công thức sau:

• Tổng các nghiệm: \(x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}\)
• Tích các nghiệm: \(x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}\)

Áp dụng vào phương trình \(x^{2} - 4 x + m - 1 = 0\), ta có:

• \(a = 1\)
• \(b = - 4\)
• \(c = m - 1\)

Do đó:

• Tổng các nghiệm: \(x_{1} + x_{2} = - \frac{- 4}{1} = 4\)
• Tích các nghiệm: \(x_{1} \cdot x_{2} = \frac{m - 1}{1} = m - 1\)

Bước 2: Biểu thức \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}\)

Chúng ta có công thức sau cho \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}\):

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2}\)

Thay giá trị vào:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. 4 \left.\right)^{2} - 2 \left(\right. m - 1 \left.\right)\) \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 16 - 2 \left(\right. m - 1 \left.\right)\) \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 16 - 2 m + 2\) \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 18 - 2 m\)

Bước 3: Giải phương trình với điều kiện \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 14\)

Ta có:

\(18 - 2 m = 14\)

Giải phương trình này:

\(18 - 14 = 2 m\) \(4 = 2 m\) \(m = 2\)

Kết luận

Giá trị của \(m\) là \(\boxed{2}\).

Phương trình a. sinx+ b=0 hoặc a.cosx+ b=0 ( với a ≠ 0) có nghiệm nếu:

- 1 ≤ sinx( hoặc cosx) ≤ 1.

+Xét phương trình a.sin² x + bsinx+ c= 0 hoặc a.cos² x+ b. cosx+ c= 0 ( với a ≠ 0) :

Đặt sinx= t ( hoặc cosx = t) phương trình đã cho trở thành:

at² + bt + c= 0 (*)

để phương trình đã cho có nghiệm nếu phương trình (*) có nghiệm t₀ và -1 ≤ t₀ ≤ 1

a) Do MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên MO là tia phân giác của 

ˆ

A

M

B

  hay 

ˆ

A

M

O

=

1

2

ˆ

A

M

B

=

20

0

  . Tam giác AMO vuông tại A, tính được 

ˆ

A

O

M

=

70

0

.

OM là tia phân giác của 

ˆ

A

O

B

  nên  

ˆ

A

O

B

=

2.

ˆ

A

O

M

=

140

0

Gọi AC là chiều cao của cây, AB là bóng của cây trên mặt đất

Do đó, ta có: AB

⊥

⊥AC tại A, AB=16m; 

B

^

=

2

8

0

B

 =28 

0

Xét ΔABC vuông tại A có 

t

a

n

B

=

A

C

A

B

tanB= 

AB

AC

=>

A

C

=

A

B

⋅

t

a

n

B

=

16

⋅

t

a

n

28

≃

8

,

5

(

m

)

AC=AB⋅tanB=16⋅tan28≃8,5(m)

vậy: Chiều cao của cây vào khoảng 8,5m