Trong mặt phẳng với hệ truc tọa độ Oth , quỹ đạo của quả bóng là một cung Parabol được xác định bởi hàm số bậc hai \(h=\)\(at^2\)\(+bt+c;\) \(\left(a\ne0\right)\)

Từ giả thiết ta có : 

\(\left\{{}\begin{matrix}h\left(0\right)=1\\h\left(1\right)=8,5\\h\left(2\right)=6\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}c=1\\a+b+c=8,5\\4a+2b+c=6\end{matrix}\right.\)

Từ đó suy ra \(h=-5t^2\)\(+12,5t+1\)

Parabol có tọa độ đỉnh là \(I\left(1,25;8,8125\right)\)

Độ cao cao nhất của quả bóng đạt được tại đỉnh của cung Parabol

Vậy \(Max\) \(h=8,8125\)

Xét \(f\left(x\right)=x^2\)\(-2x-1\)

Có \(a=1>0\); \(\Delta^'\)\(=2>0\)

Suy ra \(f\left(x\right)=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1\)\(=1-\sqrt{2}\); \(x_2\)\(=1+\sqrt{2}\)

\(f\left(x\right)< 0\)

⇔ \(x\in\left(1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right)\)

Vậy tập nghiệm là : \(S=\)\(\left(1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right)\)

Vi đường tròn \(\left(C\right)\) có tâm \(I\left(7;2\right)\) và một tiếp tuyến của nó là đường thẳng Δ có phương trình là \(3x+4y-9=0\) nên bán kính của đường tròn là \(R=d\left(I,\Delta\right)\)\(=\dfrac{\left|3.7+4.2-9\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}\)\(=4\)

vậy phương trình đường tròn là : \(\left(x-7\right)^2\)\(+\left(y-2\right)^2\)\(=16\)

Gọi chiều dài đoạn dây điện kéo từ A đến B là \(AB=x\) (km)

khi đó đoạn dây kéo điện từ \(B\)  đến \(C\) là \(BC=\)\(\sqrt{1+\left(5-x\right)^2}\)\(=\sqrt{x^2-10x+26}\) (km)

Tổng tiền công là \(3\sqrt{x^2-10x+26}\)\(+2x=13\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x^2-10x+26}=13-2x\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}13-2x\ge0\\9\left(x^2-10x+26\right)=169-52x+4x^2\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{13}{2}\\5x^2-38x+65=0\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{13}{2}\\\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=\dfrac{13}{5}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

⇔\(x=\dfrac{13}{5}\)

khi đó \(AB=x=\dfrac{13}{5}\)⇒\(BC=\dfrac{13}{5}\)(km)

Khi đó tổng chiều dài dây điện đã kéo từ A đến C là \(AB+BC=\dfrac{26}{5}\left(km\right)\)

a) VTPT đường thẳng \(\Delta\) và \(\Delta_1\) là \(\overrightarrow{n_{\Delta}}\)\(=\left(3;-4\right)\) và \(\overrightarrow{n_{\Delta_1}}\)\(=\left(12;-5\right)\)

ta có \(\cos\alpha=\left|\cos\left(\overrightarrow{n_{\Delta},}\overrightarrow{n_{\Delta_1}}\right)\right|=\dfrac{\left|12.3+4.5\right|}{5.13}=\dfrac{56}{65}\)

b) \(\left(C\right)\) có tâm \(I\left(-3;2\right)\) bán kính \(R=6\)

đường thẳng \(d\) có dạng \(3x-4y+m=0\) (m khác 7)

\(d\) tiếp xúc \(\left(C\right)\) khi và chỉ khi \(d\left(I,d\right)\) \(=R\)\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|-9-8+m\right|}{5}=6\)

tìm được \(m=47\)\(\left(tm\right)\), \(m=-13\left(tm\right)\)

vậy có 2 đường thẳng \(d\) thỏa mãn \(3x-4y+47=0\) và \(3x-4y-13=0\)

a) \(-2x^2\)\(+18x+20\ge0\)

Phương trình \(-2x^2\)\(+18x+20=0\) có 2 nghiệm \(x_1\)\(=-1,x_2\)\(=10\)

lập bảng xét dấu \(f\left(x\right)\)\(=-2x^2\)\(+18x+20\)

vậy \(S=\left[-1,10\right]\)

b) \(\sqrt{2x^2-8x+4}=x-2\)

Bình phương hai vế ta được phương trình \(2x^2\)\(-8x+4=\left(x-2\right)^2\)

Rút gọn được phương trình \(x^2\)\(-4x=0\) có hai nghiệm \(x_1\)\(=0\) , \(x_2\)\(=4\)

thử lại nghiệm được \(x=4\) thỏa mãn phương trình vậy \(S=4\)

Gọi \(P=\)\(SC\cap\left(AMN\right);O=AC\cap BD\)

\(\Rightarrow MN;AP;SO\) đồng quy tại \(I\)

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp BC\\AB\perp BC\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow BC\perp AM\)

Mà \(AM\perp SB\) nên \(AM\perp\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow AM\perp SC\)

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp CD\\AD\perp CD\end{matrix}\right.\)

⇒ \(CD\perp\left(SAD\right)\)

\(\Rightarrow CD\perp AN\)

Mà \(AN\perp SD\) nên \(AN\perp\left(SAD\right)\)

⇒\(AN\perp SC\)

Do đó \(SC\perp\left(AMN\right)\)

⇒\(AP\perp SC\) và \(PM\) là hình chiếu của \(SM\) trên mặt phẳng \(\left(AMN\right)\) hay \(PM\) là hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left(AMN\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{\left(SB;\left(AMN\right)\right)}\)\(=\widehat{\left(SB;PM\right)}\)\(=\widehat{SMP}\) ( do tam giác \(SMP\) vuông tại P)

ta có \(\dfrac{SP}{SC}=\dfrac{SB^2}{SC^2}=\dfrac{3}{5}\)

\(\Rightarrow SP=\dfrac{3}{5}.a\sqrt{5}\)

\(\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SA^2}{SB^2}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow SM=\dfrac{3}{2}a\)

\(\tan\widehat{SMP}\)\(=\dfrac{SP}{PM}=\dfrac{3a\sqrt{5}}{5}:\dfrac{3}{2\sqrt{5}}a=2\)

a) \(\overrightarrow{n_{\Delta}}\)\(=\left(3;4\right);\)

\(\overrightarrow{n_{\Delta_1}}\)\(=\left(5;-12\right)\)

\(\cos\alpha=\left|\cos\left(\overrightarrow{n_{\Delta}};\overrightarrow{n_{\Delta_1}}\right)\right|\)\(=\left|\dfrac{3.5+4.\left(-12\right)}{5.13}\right|=\dfrac{33}{65}\)

b) \(\left(C\right)\) có tâm \(I\left(3;-2\right),\) bán kính \(R=6\)

Đường thẳng \(d\) có dạng \(4x-3y+m=0\) (\(m\) khác \(7)\)

\(d\) tiếp xúc \(\left(C\right)\) khi và chỉ khi \(d\left(I,d\right)=R\Leftrightarrow\dfrac{\left|12+6+m\right|}{5}=6\)

\(\Leftrightarrow m=-48\)(TM) , \(m=12\)(TM)

Vậy có hai đường thẳng \(d\) thỏa mãn là \(4x-3y-48=0\) và \(4x-3y+12=0\)

a) ta có f(x)=\(x^2\)\(+2\left(m-1\right)\)\(x+m+5\) có \(\Delta^'\) \(=\left(m-1\right)^2\)\(-\left(m+5\right)\)\(=m^2\)\(-3m-4\)

lại có a=1>0

để f(x) luôn dương (cùng dấu hệ số a) với mọi \(x\inℝ\) thì \(\Delta^'\) < 0⇔ \(m^2\)\(-3m-4< 0\)

xét tam thức \(h\left(m\right)\)\(=m^2\)\(-3m-4\) có \(\Delta_m\) = \(9\)\(-4\times\left(-4\right)\) \(=25\) >0 nên \(h\left(m\right)\) có hai nghiệm \(m_1\)\(=-1\) và \(m_2\)= 4

ta có bảng xét dấu của \(h\left(m\right)\)

do đó \(h\left(m\right)< 0\) với mọi \(x\in(-1,4)\)

hay \(\Delta^'\) <0 với mọi \(x\in(-1,4)\)

vậy \(x\in(-1,4)\) thì tam thức bậc hai f(x)=\(x^2\)\(+2\left(m-1\right)+m+5\) luôn dương với mọi \(x\inℝ\)

b) Bình phương hai vế ta được \(2x^2\)\(-8x+4=\)\(x^2\)\(-4x+4\)

⇔\(x^2\)\(-4x=0\)

suy ra x=0 và x=4

ta thấy x=4 thỏa mãn điều kiện của phương trình 

vậy tập nghiệm S=4

Kích thước của cả khung hình là \(\left(17+2x\right)\) cm \(\times\) \(\left(25+2x\right)\) cm ( Điều kiện x >0)

Diện tích cả khung hình là : S=\(\left(17+2x\right)\times\left(25+2x\right)\)=\(4x^2\)\(+84x+425\)

Để diện tích cả khung hình lớn nhất là \(513\) cm² thì \(S\)=\(4x^2\)\(+84x+425\) \(\le513\)

⇒ \(4x^2\)\(+84x-88\le0\)⇔\(-22\le x\)\(\le1\) Vì \(x>0\) nên \(x\in\)\((0,1]\)

Vậy cần phải làm độ rộng viền khung ảnh tối đa 1 (cm)