trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oth, quỹ đạo của quả bóng là môt cung parabol được xác định bởi hàm số bậc hai: h=at²+bt+c(a≠0)

từ giả thiết ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}h\left(0\right)=1\\h\left(1\right)=8,5\\h\left(2\right)=6\end{matrix}\right.\) ⇔\(\left\{{}\begin{matrix}c=1\\a+b+c=8,5\\4a+2b+c=6\end{matrix}\right.\) ⇔\(\left\{{}\begin{matrix}a=-5\\b=12,5\\c=1\end{matrix}\right.\)

⇒h=-5t²+12,5t+1

trục đối xứng x=\(\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-12,5}{2.\left(-5\right)}=1,25\) ⇒ đỉnh I(1,25; 8,8125)

độ cao cao nhất của quả bóng đạt được tại đỉnh của cung parabol

⇒Max(h)=8,8125(m)

vì đường tròn (C) có tâm I(7;2)  và một tiếp tuyến của nó là đường thẳng △ có phương trình là 3x+4y-9=0

⇒R=d(I;Δ)=\(\dfrac{\left|3.7+4.2-9\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}\)=4

phương trình đường tròn (C) là:

(x-7)² + (y-2)² = 16

x²-2x-1<0

xét f(x)=x²-2x-1 có a=-1; △'=2>0

⇒f(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt khi x₁=1-\(\sqrt{2}\); x₂=1+\(\sqrt{2}\)

f(x)<0⇔xϵ(1\(-\sqrt{2};\) 1+\(\sqrt{2}\) )

vậy tập nghiệm là: s=(1-\(\sqrt{2}\); 1+\(\sqrt{2}\))

a)đường thẳng △ có VTPT \(\overrightarrow{n}\)=(3;-4)

   đường thẳng △₁ có VTPT \(\overrightarrow{n_1}\)=(12;-5)

cos(△;△₁)=|cos(\(\overrightarrow{n};\overrightarrow{n_1}\))|=\(\dfrac{\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n_1}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{n_1}\right|}\)=\(\dfrac{\left|3.12+\left(-4\right).\left(-5\right)\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}.\sqrt{12^2+\left(-5\right)^2}}\)=\(\dfrac{56}{65}\)

⇒(△;△₁)=30

b)d//△⇒d:3x-4y+c=0(c ≠7)

(C) có tâm I(-3;2), bán kính R=6

d tiếp xúc (C)⇔d(I,d)=R⇔\(\dfrac{\left|3.\left(-3\right)+\left(-4\right).2+c\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}\)=6

                                      ⇔\(\dfrac{\left|-17+c\right|}{5}\)=6

                                      ⇔|-17+c|=30

TH1: -17+c=30                           TH2: -17+c=-30

         ⇒c=47                                       ⇒c=-13

vậy phương trình đường thẳng d là: d: 3x-4y+47=0

                                                      và d:3x-4y-13=0

a)-2x²+18x+20≥0

 ⇔x²-9x-10≤0

 ⇔-1≤x≤10

b)\(\sqrt{2x^2-8x+4}\)=x-2

⇔2x²-8x+4=x-2

⇔x²-4x+2=x-2

⇔x²-5x+4=0

⇔x=1 hoặc x=4

thay hai giá trị trên ta thấy x=4 thỏa mãn phương trình trên

vậy nghiệm của phương trình là x=4

gọi chân tháp là H, đoạn dậy điện AB là: x (km)(x<5)

BH=5-x

BC=\(\sqrt{CH^2+BH^2}\)=\(\sqrt{1^2+\left(5-x\right)^2}\)=\(\sqrt{1+25-10x+x^2}=\sqrt{x^2-10x+26}\) (km)

tổng tiền công: 3\(\sqrt{x^2-10x+26}\)+2x=13

                      ⇔3\(\sqrt{x^2-10x+26}\)=13-2x

                      ⇔9x²-90x+234=169-52x+4x²

                      ⇔5x²-38x-13=0

                      ⇔x=5( loại) hoặc x=\(\dfrac{13}{5}\)(thỏa mãn)

khi đó ta có AB=\(\dfrac{13}{5}\)(km)

                   BC=\(\sqrt{\left(\dfrac{13}{5}\right)^2-10.\dfrac{13}{5}+26}\)=\(\dfrac{13}{5}\)  

vậy tổng dây điện kéo từ A đến C là: AB+BC=\(\dfrac{13}{5}\)+\(\dfrac{13}{5}\)=\(\dfrac{26}{5}\)(km)

a)△: 3x+4y+7=0 có VTPT \(\overrightarrow{n}\)=(1;3)

   △_1: 5x-12y+7=0 có VTPT \(\overrightarrow{n_1}\)=(5;-12)

cos(△;△₁)= \(|c\text{os}\left(\overrightarrow{n};\overrightarrow{n_1}\right)|\)= \(\dfrac{|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n_1}|}{|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{n_1|}}\)= \(\dfrac{|1.5+3.\left(-12\right)|}{\sqrt{1^2+3^2}.\sqrt{5^2+\left(-12\right)^2}}\)=0,754

⇒(△;△₁)=41

b) gọi phương trình đường thẳng vuông góc với△ là d

d\(\perp\Delta\)⇔\(n_d\perp n\)⇔n_d.n=0⇒\(\overrightarrow{n_d}\)=(3;-1)

d: 3x-y=0

độ rộng của viền là x(x>0)

kích thước lớn nhất của khung ảnh là:

(17+x)(25+x)=513

⇔425+17x+25x+x²=513

⇔x²+42x-88=0

⇔x₁=2(thỏa mãn); x₂=-44(loại)

vậy độ rộng của viền là 2(cm)

a)f(x)=x²+(m-1)x+m+5>0 với mọi x thuộc R

a=1>0(luôn đúng)

b²-4ac<0

⇔ (m-1)²-4(m+5)<0

⇔ m²-2m+1-4m-20<0

⇔ m²-6m-19<0

⇔m+2\(\sqrt{7}\)<m<m-2\(\sqrt{7}\)

b)⇔2x²-8x+4=(x-2)²

   ⇔2x²-8x+4=x²-4x+4

   ⇔x²-4x=0

   ⇔x(x-4)=0

   ⇔x=0 hoặc x=4

thay x=0 và x=4 vào phương trình ta thấy x=4 thỏa mãn

vậy nghiệm của phương trình là x=4