* Phương trình elip:

* Giả sử phương trình elip là x²/a² + y²/b² = 1.

* M thuộc elip:

* Thay x = 2, y = 2/√6 vào phương trình elip:

* 4/a² + 4/(6b²) = 1

* 4/a² + 2/(3b²) = 1

* N thuộc elip:

* Thay x = 4, y = -√15 vào phương trình elip:

* 16/a² + 15/b² = 1

* Giải hệ phương trình:

* Giải hệ phương trình 4/a² + 2/(3b²) = 1 và 16/a² + 15/b² = 1 để tìm a² và b².

* Tìm tiêu điểm:

* Tính c² = a² - b².

* Tiêu điểm F1(-c; 0), F2(c; 0).

* Tính tâm sai:

* Tâm sai e = c/a.

Giải hệ phương trình:

* Đặt u = 1/a², v = 1/b².

* Hệ phương trình trở thành:

* 4u + 2v/3 = 1

* 16u + 15v = 1

Chắc chắn rồi, tôi có thể giúp bạn giải

* Xác định a và b:

* a² = 9 => a = 3

* b² = 4 => b = 2

* Xác định c (tiêu cự):

* c² = a² - b² = 9 - 4 = 5

* c = √5

* Tiêu điểm:

* F1(-√5; 0)

* F2(√5; 0)

* Gọi M(x; y) là điểm thuộc elip:

* Vì góc F1MF2 bằng 90°, tam giác MF1F2 vuông tại M.

* Áp dụng định lý Pythagoras: MF1² + MF2² = F1F2² = (2c)² = 20.

* Tính MF1² và MF2²:

* MF1² = (x + √5)² + y²

* MF2² = (x - √5)² + y²

* Thay vào phương trình và giải hệ:

* Thay MF1² và MF2² vào phương trình MF1² + MF2² = 20:

* (x + √5)² + y² + (x - √5)² + y² = 20

* 2x² + 2y² + 10 = 20

* x² + y² = 5

* Kết hợp với phương trình elip:

* x²/9 + y²/4 = 1

* Giải hệ phương trình x² + y² = 5 và x²/9 + y²/4 = 1 để tìm x và y.

Giải hệ phương trình:

* Từ x² + y² = 5, ta có y² = 5 - x².

* Thay vào phương trình elip: x²/9 + (5 - x²)/4 = 1

Chắc chắn rồi, tôi có thể giúp bạn giải

* Xác định a và b:

* a² = 9 => a = 3

* b² = 4 => b = 2

* Xác định c (tiêu cự):

* c² = a² - b² = 9 - 4 = 5

* c = √5

* Tiêu điểm:

* F1(-√5; 0)

* F2(√5; 0)

* Gọi M(x; y) là điểm thuộc elip:

* Vì góc F1MF2 bằng 90°, tam giác MF1F2 vuông tại M.

* Áp dụng định lý Pythagoras: MF1² + MF2² = F1F2² = (2c)² = 20.

* Tính MF1² và MF2²:

* MF1² = (x + √5)² + y²

* MF2² = (x - √5)² + y²

* Thay vào phương trình và giải hệ:

* Thay MF1² và MF2² vào phương trình MF1² + MF2² = 20:

* (x + √5)² + y² + (x - √5)² + y² = 20

* 2x² + 2y² + 10 = 20

* x² + y² = 5

* Kết hợp với phương trình elip:

* x²/9 + y²/4 = 1

* Giải hệ phương trình x² + y² = 5 và x²/9 + y²/4 = 1 để tìm x và y.

Giải hệ phương trình:

* Từ x² + y² = 5, ta có y² = 5 - x².

* Thay vào phương trình elip: x²/9 + (5 - x²)/4 = 1

Giải:

* Điểm A(2; 0) thuộc elip:

* Thay x = 2, y = 0 vào phương trình elip:

* 2²/a² + 0²/b² = 1

* 4/a² = 1

* a² = 4

* a = 2 (vì a > 0)

* Điểm B(1; √3/2) thuộc elip:

* Thay x = 1, y = √3/2 và a = 2 vào phương trình elip:

* 1²/2² + (√3/2)²/b² = 1

* 1/4 + 3/(4b²) = 1

* 3/(4b²) = 3/4

* 4b² = 4

* b² = 1

* b = 1 (vì b > 0)

Kết luận: a = 2, b = 1

a) Phương trình đường tròn (C) đường kính MN:

* Tìm trung điểm I của MN:

* I((2 - 2)/2; (-2 + 2)/2) = I(0; 0)

* Tìm bán kính R của đường tròn:

* R = IM = IN = √((2 - 0)² + (-2 - 0)²) = √(4 + 4) = √8

* Phương trình đường tròn (C):

* (x - 0)² + (y - 0)² = (√8)²

* x² + y² = 8

b) Phương trình chính tắc của elip (E):

* Độ dài trục lớn:

* 2a = 8 => a = 4 => a² = 16

* Tìm hai tiêu điểm của elip:

* Hai tiêu điểm là giao điểm của đường tròn (C) và trục Ox.

* Giao điểm của đường tròn x² + y² = 8 và trục Ox (y = 0) là:

* x² + 0² = 8

* x² = 8

* x = ±√8 = ±2√2

* Vậy hai tiêu điểm là F1(-2√2; 0) và F2(2√2; 0).

* Tìm c:

* c = 2√2 => c² = 8

* Tìm b:

* c² = a² - b²

* 8 = 16 - b²

* b² = 16 - 8 = 8

* Phương trình chính tắc của elip (E):

* x²/a² + y²/b² = 1

* x²/16 + y²/8 = 1

a) (E) đi qua điểm M(3/√5; 4/√5) và M nhìn hai tiêu điểm F1, F2 dưới một góc vuông.

* Phương trình elip:

* Giả sử phương trình elip là x²/a² + y²/b² = 1.

* M thuộc elip:

* Vì M(3/√5; 4/√5) thuộc elip, ta có:

* (3/√5)²/a² + (4/√5)²/b² = 1

* 9/(5a²) + 16/(5b²) = 1

* M nhìn F1, F2 dưới góc vuông:

* Suy ra tam giác MF1F2 vuông tại M.

* MF1² + MF2² = F1F2² = (2c)² = 4c² = 4(a² - b²)

* Tính MF1² và MF2²:

* F1(-c, 0), F2(c, 0).

* MF1² = (3/√5 + c)² + (4/√5)²

* MF2² = (3/√5 - c)² + (4/√5)²

* Thay vào phương trình và giải hệ:

* Thay MF1² và MF2² vào phương trình MF1² + MF2² = 4(a² - b²).

* Kết hợp với phương trình 9/(5a²) + 16/(5b²) = 1 để giải hệ tìm a² và b².

b) (E) có độ dài trục lớn bằng 4√2, các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của (E) cùng nằm trên một đường tròn.

* Độ dài trục lớn:

* 2a = 4√2 => a = 2√2 => a² = 8.

* Đỉnh trên trục nhỏ và tiêu điểm cùng nằm trên đường tròn:

* Suy ra b = c (bán kính đường tròn).

* Tìm b:

* c² = a² - b² = b²

* 2b² = 8

* b² = 4 => b = 2

* Phương trình elip:

* x²/a² + y²/b² = 1

* x²/8 + y²/4 = 1

Tiêu điểm: F1(-√3, 0), F2(√3, 0)

* Tính MF1² + MF2²: 12

* Tính diện tích ΔMF1F2:

* Gọi MF1 = m, MF2 = n.

* Ta có: m² + n² = 12

* Diện tích ΔMF1F2 = (1/2) * MF1 * MF2 = (1/2) * m * n

Tiêu điểm là F1(-√11, 0), F2(√11, 0)

Tiêu cự là 2√11

Trục lớn là 12

Trục bé là 10

Tâm sai là √11 / 6