Để chứng minh đẳng thức này, ta có thể sử dụng định lí Ceva.

Định lí Ceva cho ta:

AF/BF * BD/CD * CE/AE = 1

Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta cần sử dụng một dạng khác của định lí Ceva liên quan đến tỉ số đoạn thẳng khi có đường thẳng cắt ba cạnh của tam giác.

Ta có thể áp dụng công thức:

AM/A'M = (AB'/CB' + AC'/BC')

Công thức này được suy ra từ định lí Ceva và tính chất của tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác khi có đường thẳng cắt ba cạnh.

Vì AA', BB', CC' đồng quy tại M nên ta có thể áp dụng công thức trên để chứng minh đẳng thức.

AM/A'M = AB'/CB' + AC'/BC'

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.

a) Để chứng minh AE² = (không có liên kết), ta có thể sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng. Ta có ΔAED ~ ΔKEB và ΔAEG ~ ΔKEC (do các góc tương ứng bằng nhau). Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có thể suy ra các tỉ số về cạnh và sử dụng chúng để chứng minh AE² = (không có liên kết) b) Để chứng minh 1/AE = 1/AK + 1/AG, ta có thể sử dụng kết quả từ phần a và các tính chất của tỉ lệ đoạn thẳng. c) Để chứng minh tích BK.DG có giá trị không đổi khi đường thẳng a thay đổi, ta có thể sử dụng tính chất của hình bình hành và các tam giác đồng dạng. Ta có thể chứng minh ΔBKA ~ ΔDAG, từ đó suy ra BK/DG = AK/AG = AB/AD. Do AB và AD là các cạnh cố định của hình bình hành ABCD nên tích BK.DG sẽ có giá trị không đổi. Vậy cả ba khẳng định đều được chứng minh.

Để chứng minh góc DBF = góc EBC, ta có thể sử dụng tính chất của hình thang và các tam giác đồng dạng. Gọi H là trung điểm của CD, ta có thể chứng minh ΔBHC = ΔBHD (c.c.c) do BC = BD và BH chung. Từ đó, ta có góc CBH = góc DBH. Ta cũng có thể chứng minh ΔEHC ~ ΔEAB và ΔFHD ~ ΔFAB (do các góc tương ứng bằng nhau). Sử dụng tính chất của các tam giác đồng dạng và các góc tương ứng bằng nhau, ta có thể chứng minh góc DBF = góc EBC. Vậy góc DBF = góc EBC được chứng minh.

a) Để chứng minh AI = AK, ta có thể sử dụng tính chất của các tam giác đồng dạng và đường cao trong tam giác ABC. Ta có ΔAIE ~ ΔAFC và ΔAKB ~ ΔAEB (do các góc tương ứng bằng nhau). Từ tính chất của các tam giác đồng dạng và các hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có thể chứng minh AI = AK. b) Để tính diện tích tam giác AEF, ta có thể sử dụng công thức tính diện tích tam giác và tỉ số diện tích của các tam giác đồng dạng. Ta có ΔAEF ~ ΔABC (do các góc tương ứng bằng nhau). Tỉ số diện tích của ΔAEF và ΔABC là (AE/AB)² hoặc (AF/AC)². Ta cần tính AE/AB hoặc AF/AC dựa trên góc A = 60° và các tính chất của tam giác ABC. Sau khi tính được tỉ số diện tích, ta có thể tính diện tích tam giác AEF dựa trên diện tích tam giác ABC đã biết là 120 cm². Dựa trên góc A = 60°, ta có thể tính được tỉ số AE/AB hoặc AF/AC và từ đó tính diện tích tam giác AEF. S_AEF = S_ABC * (AE/AB)² hoặc S_AEF = S_ABC * (AF/AC)² Ta tính được AE/AB = AF/AC = cos(A) = cos(60°) = 1/2. Vậy S_AEF = 120 * (1/2)² = 120 * 1/4 = 30 cm². Diện tích tam giác AEF là 30 cm².