• Độ cứng lò xo: k = 100\,\text{N/m}
• Chiều dài tự nhiên: l_0 = 25\,\text{cm} (chỉ để tham khảo, không cần dùng trong phần a, b, c)
• Khối lượng vật: m = 0{,}5\,\text{kg}
• Gia tốc trọng trường: g \approx 9{,}8\,\text{m/s}^2

a) Độ dãn của lò xo khi hệ cân bằng

Khi cân bằng, trọng lực cân bằng với lực đàn hồi:

F_{\text{đh}} = F_{\text{trọng}} \Rightarrow k\Delta l = mg

\Delta l = \frac{mg}{k} = \frac{0{,}5 \cdot 9{,}8}{100} = \frac{4{,}9}{100} = \boxed{0{,}049\,\text{m}} = \boxed{4{,}9\,\text{cm}}

b) Biên độ dao động của vật (lò xo dãn cực đại 10 cm)

Tại vị trí lò xo dãn cực đại, vật ở biên dưới của dao động.

Độ dãn cực đại: \Delta l_{\text{max}} = 10\,\text{cm} = 0{,}1\,\text{m}

Vị trí cân bằng: \Delta l_0 = 4{,}9\,\text{cm}

Biên độ dao động là độ lệch lớn nhất khỏi vị trí cân bằng:

A = \Delta l_{\text{max}} - \Delta l_0 = 0{,}1 - 0{,}049 = \boxed{0{,}051\,\text{m}} = \boxed{5{,}1\,\text{cm}}

c) Tính lực kéo F khi lò xo dãn thêm 6 cm so với vị trí cân bằng

Lò xo đã dãn sẵn \Delta l_0 = 4{,}9\,\text{cm}, nay dãn thêm \Delta l = 6\,\text{cm} = 0{,}06\,m

Vậy tổng độ dãn so với chiều dài tự nhiên là:

\Delta l_{\text{tổng}} = 0{,}049 + 0{,}06 = 0{,}109\,\text{m}

Lực đàn hồi tương ứng là:

F = k \cdot \Delta l_{\text{tổng}} = 100 \cdot 0{,}109 = \boxed{10{,}9\,\text{N}}

Tóm tắt kết quả:

• a) \boxed{4{,}9\,\text{cm}}
• b) \boxed{5{,}1\,\text{cm}}
• c) \boxed{10{,}9\,\text{N}}

• Độ cứng lò xo: k = 100\,\text{N/m}
• Chiều dài tự nhiên: l_0 = 25\,\text{cm} (chỉ để tham khảo, không cần dùng trong phần a, b, c)
• Khối lượng vật: m = 0{,}5\,\text{kg}
• Gia tốc trọng trường: g \approx 9{,}8\,\text{m/s}^2

a) Độ dãn của lò xo khi hệ cân bằng

Khi cân bằng, trọng lực cân bằng với lực đàn hồi:

F_{\text{đh}} = F_{\text{trọng}} \Rightarrow k\Delta l = mg

\Delta l = \frac{mg}{k} = \frac{0{,}5 \cdot 9{,}8}{100} = \frac{4{,}9}{100} = \boxed{0{,}049\,\text{m}} = \boxed{4{,}9\,\text{cm}}

b) Biên độ dao động của vật (lò xo dãn cực đại 10 cm)

Tại vị trí lò xo dãn cực đại, vật ở biên dưới của dao động.

Độ dãn cực đại: \Delta l_{\text{max}} = 10\,\text{cm} = 0{,}1\,\text{m}

Vị trí cân bằng: \Delta l_0 = 4{,}9\,\text{cm}

Biên độ dao động là độ lệch lớn nhất khỏi vị trí cân bằng:

A = \Delta l_{\text{max}} - \Delta l_0 = 0{,}1 - 0{,}049 = \boxed{0{,}051\,\text{m}} = \boxed{5{,}1\,\text{cm}}

c) Tính lực kéo F khi lò xo dãn thêm 6 cm so với vị trí cân bằng

Lò xo đã dãn sẵn \Delta l_0 = 4{,}9\,\text{cm}, nay dãn thêm \Delta l = 6\,\text{cm} = 0{,}06\,m

Vậy tổng độ dãn so với chiều dài tự nhiên là:

\Delta l_{\text{tổng}} = 0{,}049 + 0{,}06 = 0{,}109\,\text{m}

Lực đàn hồi tương ứng là:

F = k \cdot \Delta l_{\text{tổng}} = 100 \cdot 0{,}109 = \boxed{10{,}9\,\text{N}}

Tóm tắt kết quả:

• a) \boxed{4{,}9\,\text{cm}}
• b) \boxed{5{,}1\,\text{cm}}
• c) \boxed{10{,}9\,\text{N}}

• Độ cứng lò xo: k = 100\,\text{N/m}
• Chiều dài tự nhiên: l_0 = 25\,\text{cm} (chỉ để tham khảo, không cần dùng trong phần a, b, c)
• Khối lượng vật: m = 0{,}5\,\text{kg}
• Gia tốc trọng trường: g \approx 9{,}8\,\text{m/s}^2

a) Độ dãn của lò xo khi hệ cân bằng

Khi cân bằng, trọng lực cân bằng với lực đàn hồi:

F_{\text{đh}} = F_{\text{trọng}} \Rightarrow k\Delta l = mg

\Delta l = \frac{mg}{k} = \frac{0{,}5 \cdot 9{,}8}{100} = \frac{4{,}9}{100} = \boxed{0{,}049\,\text{m}} = \boxed{4{,}9\,\text{cm}}

b) Biên độ dao động của vật (lò xo dãn cực đại 10 cm)

Tại vị trí lò xo dãn cực đại, vật ở biên dưới của dao động.

Độ dãn cực đại: \Delta l_{\text{max}} = 10\,\text{cm} = 0{,}1\,\text{m}

Vị trí cân bằng: \Delta l_0 = 4{,}9\,\text{cm}

Biên độ dao động là độ lệch lớn nhất khỏi vị trí cân bằng:

A = \Delta l_{\text{max}} - \Delta l_0 = 0{,}1 - 0{,}049 = \boxed{0{,}051\,\text{m}} = \boxed{5{,}1\,\text{cm}}

c) Tính lực kéo F khi lò xo dãn thêm 6 cm so với vị trí cân bằng

Lò xo đã dãn sẵn \Delta l_0 = 4{,}9\,\text{cm}, nay dãn thêm \Delta l = 6\,\text{cm} = 0{,}06\,m

Vậy tổng độ dãn so với chiều dài tự nhiên là:

\Delta l_{\text{tổng}} = 0{,}049 + 0{,}06 = 0{,}109\,\text{m}

Lực đàn hồi tương ứng là:

F = k \cdot \Delta l_{\text{tổng}} = 100 \cdot 0{,}109 = \boxed{10{,}9\,\text{N}}

Tóm tắt kết quả:

• a) \boxed{4{,}9\,\text{cm}}
• b) \boxed{5{,}1\,\text{cm}}
• c) \boxed{10{,}9\,\text{N}}

• Khối lượng của vật: m = 300 \, \text{g} = 0.3 \, \text{kg},
• Chiều dài của dây (bán kính quỹ đạo): r = 50 \, \text{cm} = 0.5 \, \text{m},
• Tốc độ góc: \omega = 8 \, \text{rad/s},
• Gia tốc trọng trường: g = 10 \, \text{m/s}^2.

1. Tính vận tốc tuyến tính của vật:

Vận tốc tuyến tính v tại mọi điểm trên quỹ đạo được tính theo công thức:

v = r \cdot \omega

Thay vào giá trị:

v = 0.5 \times 8 = 4 \, \text{m/s}

2. Lực căng ở điểm cao nhất và điểm thấp nhất:

• Lực căng tại điểm cao nhất:
  Tại điểm cao nhất, có hai lực tác dụng lên vật:
  
• • Trọng lực F_{\text{trọng}} = m \cdot g = 0.3 \cdot 10 = 3 \, \text{N} hướng xuống dưới,
  • Lực căng dây T_{\text{cao}} hướng lên trên.
• 
  Lực cung cấp lực hướng tâm là lực căng dây và trọng lực tại điểm cao nhất, do đó:
  T_{\text{cao}} + F_{\text{trọng}} = \frac{m v^2}{r}
  Tính lực hướng tâm:
  \frac{m v^2}{r} = \frac{0.3 \cdot 4^2}{0.5} = \frac{0.3 \cdot 16}{0.5} = 9.6 \, \text{N}
  Thay vào phương trình:
  T_{\text{cao}} + 3 = 9.6
  T_{\text{cao}} = 9.6 - 3 = 6.6 \, \text{N}
• Lực căng tại điểm thấp nhất:
  Tại điểm thấp nhất, có hai lực tác dụng lên vật:
  
• • Trọng lực F_{\text{trọng}} = 3 \, \text{N} hướng xuống dưới,
  • Lực căng dây T_{\text{thấp}} hướng lên trên.
• 
  Lực cung cấp lực hướng tâm là lực căng dây và trọng lực tại điểm thấp nhất, do đó:
  T_{\text{thấp}} - F_{\text{trọng}} = \frac{m v^2}{r}
  Tính lực hướng tâm:
  \frac{m v^2}{r} = 9.6 \, \text{N}
  Thay vào phương trình:
  T_{\text{thấp}} - 3 = 9.6
  T_{\text{thấp}} = 9.6 + 3 = 12.6 \, \text{N}

Kết quả:

• Lực căng tại điểm cao nhất: T_{\text{cao}} = 6.6 \, \text{N},
• Lực căng tại điểm thấp nhất: T_{\text{thấp}} = 12.6 \, \text{N}.

• Khối lượng của vật: m = 300 \, \text{g} = 0.3 \, \text{kg},
• Chiều dài của dây (bán kính quỹ đạo): r = 50 \, \text{cm} = 0.5 \, \text{m},
• Tốc độ góc: \omega = 8 \, \text{rad/s},
• Gia tốc trọng trường: g = 10 \, \text{m/s}^2.

1. Tính vận tốc tuyến tính của vật:

Vận tốc tuyến tính v tại mọi điểm trên quỹ đạo được tính theo công thức:

v = r \cdot \omega

Thay vào giá trị:

v = 0.5 \times 8 = 4 \, \text{m/s}

2. Lực căng ở điểm cao nhất và điểm thấp nhất:

• Lực căng tại điểm cao nhất:
  Tại điểm cao nhất, có hai lực tác dụng lên vật:
  
• • Trọng lực F_{\text{trọng}} = m \cdot g = 0.3 \cdot 10 = 3 \, \text{N} hướng xuống dưới,
  • Lực căng dây T_{\text{cao}} hướng lên trên.
• 
  Lực cung cấp lực hướng tâm là lực căng dây và trọng lực tại điểm cao nhất, do đó:
  T_{\text{cao}} + F_{\text{trọng}} = \frac{m v^2}{r}
  Tính lực hướng tâm:
  \frac{m v^2}{r} = \frac{0.3 \cdot 4^2}{0.5} = \frac{0.3 \cdot 16}{0.5} = 9.6 \, \text{N}
  Thay vào phương trình:
  T_{\text{cao}} + 3 = 9.6
  T_{\text{cao}} = 9.6 - 3 = 6.6 \, \text{N}
• Lực căng tại điểm thấp nhất:
  Tại điểm thấp nhất, có hai lực tác dụng lên vật:
  
• • Trọng lực F_{\text{trọng}} = 3 \, \text{N} hướng xuống dưới,
  • Lực căng dây T_{\text{thấp}} hướng lên trên.
• 
  Lực cung cấp lực hướng tâm là lực căng dây và trọng lực tại điểm thấp nhất, do đó:
  T_{\text{thấp}} - F_{\text{trọng}} = \frac{m v^2}{r}
  Tính lực hướng tâm:
  \frac{m v^2}{r} = 9.6 \, \text{N}
  Thay vào phương trình:
  T_{\text{thấp}} - 3 = 9.6
  T_{\text{thấp}} = 9.6 + 3 = 12.6 \, \text{N}

Kết quả:

• Lực căng tại điểm cao nhất: T_{\text{cao}} = 6.6 \, \text{N},
• Lực căng tại điểm thấp nhất: T_{\text{thấp}} = 12.6 \, \text{N}.

• Khối lượng của vật: m = 300 \, \text{g} = 0.3 \, \text{kg},
• Chiều dài của dây (bán kính quỹ đạo): r = 50 \, \text{cm} = 0.5 \, \text{m},
• Tốc độ góc: \omega = 8 \, \text{rad/s},
• Gia tốc trọng trường: g = 10 \, \text{m/s}^2.

1. Tính vận tốc tuyến tính của vật:

Vận tốc tuyến tính v tại mọi điểm trên quỹ đạo được tính theo công thức:

v = r \cdot \omega

Thay vào giá trị:

v = 0.5 \times 8 = 4 \, \text{m/s}

2. Lực căng ở điểm cao nhất và điểm thấp nhất:

• Lực căng tại điểm cao nhất:
  Tại điểm cao nhất, có hai lực tác dụng lên vật:
  
• • Trọng lực F_{\text{trọng}} = m \cdot g = 0.3 \cdot 10 = 3 \, \text{N} hướng xuống dưới,
  • Lực căng dây T_{\text{cao}} hướng lên trên.
• 
  Lực cung cấp lực hướng tâm là lực căng dây và trọng lực tại điểm cao nhất, do đó:
  T_{\text{cao}} + F_{\text{trọng}} = \frac{m v^2}{r}
  Tính lực hướng tâm:
  \frac{m v^2}{r} = \frac{0.3 \cdot 4^2}{0.5} = \frac{0.3 \cdot 16}{0.5} = 9.6 \, \text{N}
  Thay vào phương trình:
  T_{\text{cao}} + 3 = 9.6
  T_{\text{cao}} = 9.6 - 3 = 6.6 \, \text{N}
• Lực căng tại điểm thấp nhất:
  Tại điểm thấp nhất, có hai lực tác dụng lên vật:
  
• • Trọng lực F_{\text{trọng}} = 3 \, \text{N} hướng xuống dưới,
  • Lực căng dây T_{\text{thấp}} hướng lên trên.
• 
  Lực cung cấp lực hướng tâm là lực căng dây và trọng lực tại điểm thấp nhất, do đó:
  T_{\text{thấp}} - F_{\text{trọng}} = \frac{m v^2}{r}
  Tính lực hướng tâm:
  \frac{m v^2}{r} = 9.6 \, \text{N}
  Thay vào phương trình:
  T_{\text{thấp}} - 3 = 9.6
  T_{\text{thấp}} = 9.6 + 3 = 12.6 \, \text{N}

Kết quả:

• Lực căng tại điểm cao nhất: T_{\text{cao}} = 6.6 \, \text{N},
• Lực căng tại điểm thấp nhất: T_{\text{thấp}} = 12.6 \, \text{N}.

• m là khối lượng của vật treo,
• g là gia tốc trọng trường,
• k là độ cứng của lò xo.

a. 

Treo vật có khối lượng 500 g:

Để tính chiều dài của lò xo khi treo vật có khối lượng 500 g, ta cần tính độ giãn của lò xo:

\Delta L = \frac{0.5 \times 10}{100} = 0.05 \, \text{m}

Vậy chiều dài của lò xo là:

L = L_0 + \Delta L = 0.4 \, \text{m} + 0.05 \, \text{m} = 0.45 \, \text{m}

Chiều dài của lò xo là 45 cm.

b. 

Lò xo có chiều dài là 48 cm:

Khi chiều dài của lò xo là 48 cm, ta cần tìm khối lượng vật treo. Ta biết chiều dài của lò xo khi không có vật treo là 40 cm, vậy độ giãn cần có là:

\Delta L = 48 \, \text{cm} - 40 \, \text{cm} = 8 \, \text{cm} = 0.08 \, \text{m}

Áp dụng công thức độ giãn của lò xo:

\Delta L = \frac{mg}{k}

Từ đó tìm khối lượng m:

m = \frac{\Delta L \cdot k}{g} = \frac{0.08 \times 100}{10} = 0.8 \, \text{kg}

Khối lượng cần treo là 0.8 kg.

Kết quả:

• a. Khi treo vật có khối lượng 500 g, chiều dài của lò xo là 45 cm.
• b. Để lò xo có chiều dài là 48 cm, khối lượng cần treo là 0.8 kg.

• m1 = 60 kg là khối lượng người,
• v1 = 4 m/s là vận tốc người,
• m2 = 100 kg là khối lượng xe,
• v2 = 3 m/s là vận tốc xe,
• v‘ là vận tốc của hệ (người và xe) sau khi người nhảy lên.

a. 

Cùng chiều:

Khi người và xe chạy cùng chiều, ta có:

60 x 4 + 100 x 3 = (60 + 100) v’

Tính toán:

240 + 300 = 160 v’

540 = 160 v’

v‘= 540 : 160 = 3.375 m/s

b. 

Ngược chiều:

Khi người và xe chạy ngược chiều, ta lấy vận tốc của người và xe có dấu khác nhau, tức là:

60 x 4 + 100 x (-3) = (60 + 100) v’

Tính toán:

240 - 300 = 160 v’

-60 = 160 v’

v‘ = -60 : 160 = -0.375 m/s

Vận tốc âm nghĩa là hệ chuyển động ngược lại hướng ban đầu của xe và người.

Kết luận:

• a. Cùng chiều: Vận tốc của xe sau khi người nhảy lên là 3.375 m/s.
• b. Ngược chiều: Vận tốc của xe sau khi người nhảy lên là -0.375 m/s (nghĩa là xe và người sẽ di chuyển ngược hướng với vận tốc 0.375 m/s).

1) Công nâng vật trực tiếp lên 10m là :

Aci=P.h=10m.h=10.200.10=20000(J)Aci​=P.h=10m.h=10.200.10=20000(J)

Công nâng vật bằng hệ thống ròng rọc là: 

Atp=Aci.100%H=20000.100%80%=25000(J)Atp​=HAci​.100%​=80%20000.100%​=25000(J)

Dùng ròng rọc động lợi bao nhiêu lần về lực thì thiệt bấy nhiêu lần về đường đi nên : $s=2h$

Do đó, lực kéo là :

Fk=Atp2h=250002.10=1250(N)Fk​=2hAtp​​=2.1025000​=1250(N)

Công hao phí là :

Ahp=Atp−Aci=25000−20000=5000(J)Ahp​=Atp​−Aci​=25000−20000=5000(J)

Gọi ArAr​ là công hao phí do nâng ròng rọc, AmsAms​ là công thắng ma sát :

Theo đề ra ta có : Ar=14Ams⇒Ams=4ArAr​=41​Ams​⇒Ams​=4Ar​

Mà : Ams+Ar=4000Ams​+Ar​=4000

⇒5Ar=5000⇒5Ar​=5000

⇒Ar=50005=1000(J)⇒Ar​=55000​=1000(J)

2) Công toàn phần để kéo vật :

Atp1=F2.l=1900.12=22800(J)Atp1​​=F2​.l=1900.12=22800(J)

Công hao phí do ma sát :

Ahp1=Atp1−Aci=22800−20000=2800(J)Ahp1​​=Atp1​​−Aci​=22800−20000=2800(J)

Lực ma sát sinh ra là :

Fms=Ahp1l=280012=233,33(N)Fms​=lAhp1​​​=122800​=233,33(N)

Hiệu suất mặt phẳng nghiêng là :

H=AciAtp1.100%=2000022800.100%≈87,72%H=Atp1​​Aci​​.100%=2280020000​.100%≈87,72%

Chọn mốc thế năng ở mặt đất 

Ta có : {W=Wđ+WtWđ=1,5.Wt{W=Wđ​+Wt​Wđ​=1,5.Wt​​ ⇔W=2,5Wt=2,5.m.g.z⇔W=2,5Wt​=2,5.m.g.z

⇔m=W2,5.g.z=37,52,5.10.3=0,5(kg)⇔m=2,5.g.zW​=2,5.10.337,5​=0,5(kg)

tương tự W=53Wđ=53.12.m.v02W=35​Wđ​=35​.21​.m.v02​

Vận tốc vật là : v0=±W56m=±310v0​=±65​mW​​=±310​