a) Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên ABCD là hình bình hành.
Do đó AD//BC
Ta có AP vuông góc với BC
AD//BC
 suy ra AP vuông góc với AD
 hay góc PAQ=90 độ
Vì AP vuông góc với BC
CQ vuông góc với AD
 nên góc APC=90 độ
góc AQC=90 độ
Tứ giác APCQ có 
góc PAQ=90 độ
góc APC=90 độ
góc AQC=90 độ
nên là hình chữ nhật.
Khi đó hai đường chéo AC, PQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà N là trung điểm của AC nên N là trung điểm của PQ.
b) Ta có ABCD là hình bình hành, nên để ABCD là hình vuông thì ta cần thêm điều kiện 
AB vuông góc với BC, AB=BC
 hay tam giác ABC vuông cân tại B

a ΔABC vuông cân tại A

mà AM là trung tuyến

nên AM là phân giác của góc BAC

Xét tứ giác AEDF có

góc AED=góc AFD=góc FAE=90 độ

AD là phân giác của góc FAE

suy ra AEDF là hình vuông

b AEDF là hình vuông

suy ragóc AEF=45 độ

suy ra góc AEF=góc ABC

nên EF//BC

c gọi O là giao điểm của AD với EF

suy ra OE=OD=OF=OA

tam giác ÈN vuông tại N có NO là trung tuyến nên NO=EO=FO

tam giác AND có NO là trung tuyến mà NO=AD/2

suy ra tam giác AND vuông tại N(=90 độ)

a)ta có

góc BOR + góc BOP = 90 độ ( m,n vuông góc tại O )

góc ACP + góc BCP = 90 độ

suy ra góc BOR = góc AOP

xét tam giác AOP và tam giác BCR có góc AOP = BCR 

BA = CB (tính chất hình vuông )

góc PAC = GÓC PBO (tính chất hình vuông )

suy ra tam giác AOP = tam giác BOR (g.cg)

b) Ta có m,n vuông tại O(gt ) 

mà O là giao điểm của 2 đường chéo

suy ra O là trung điểm của m,n 

suy raOR = OP = OS = OQ

c) ta có

OR + OS = RS ( O là trung điểm )

OP + OQ = PQ ( O là trung điểm )

mà OR + OS = OP = OQ ( chứng minh trên )

suy ra RS = PQ

xét hình vuông PRQS có RS = PQ ( chứng minh trên )

RS vuông PQ tại O (m,n vuông góc tại o lần lượt là R, S, P, Q)

suy ra PRQS là hình vuông ( dhnb)

Do ABCD là hình vuông nên AB=BC=CD=DA

mà AM=BN=CP=DQ

suy ra AB-AM=BC-BN=CD-CP=DA-DQ

hay MB=NC=PD=QA

xét tam giác QAM và tam giác NCP có

góc QAM= góc NCP

CP=AM

CN=AQ

do đó tam giác QAM = tam giác NCP

SUY RA GÓC AMQ= GÓC NM( 2 GÓC TƯƠNG ỨNG)

xét tam giác AMQ và tam giác MBN có

góc QAM= góc MBN

QA=MB

AM=BM

do đó tam giác QAM = tam giác NCP

SUY RA QM=MN( 2 CẠNH TƯƠNG ỨNG)

xét tam giác NCP và tam giác MBN có

góc NCP= góc MBN

NC=MB

BN=CP

do đó tam giác MBN = tam giác NCP

SUY RA MN=NP( 2 CẠNH TƯƠNG ỨNG)

xét tam giác NCP và tam giác PDQ có

góc NCP= góc PDQ

NC=PD

DQ=CP

do đó tam giác PDQ = tam giác NCP

SUY RA PQ=NP( 2 CẠNH TƯƠNG ỨNG)

xét tam giác QAM và tam giác PDQ có

góc QAM= góc PDQ

QA=DP

AM=DQ

do đó tam giác QAM = tam giác PDQ

SUY RA PQ=QM( 2 CẠNH TƯƠNG ỨNG)

MÀ GÓC BNM+ GÓC BMN= 90 ĐỘ

SUY RA GÓC AMQ+GÓC BMN=90 ĐỘ

LẠI CÓ GÓC AMQ+ GOC QMN+ GÓC BMN= 180 ĐỘ

SUY RA GÓC QMN =180 ĐỘ - ( GÓC AMQ+ GÓC BMN)= 180 ĐỘ - 90 ĐỘ =90 ĐỘ

SUY RA MNPQ LÀ HÌNH VUÔNG

a: Xét tứ giác AIKD có

AI//KD

AI=KD

AI=AD

=>AIKD là hình thoi

mà góc A=90 độ

nên AIKD là hình vuông

Xét tứ giác BIKC có

BI//KC

BI=KC

BI=BC

=>BIKC là hình thoi

mà góc B=90 độ

nên BIKC là hình vuông

b: Xét tam giác DIC có

IK vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

IK=1/2DC

Do đó: ΔDIC vuông cân tại I

c: AIKD là hình vuông

=>AK vuông góc ID tại trung điểm của mỗi đường  và AK=ID

=>AK=ID và AK vuông góc ID tại S

=>SI=SK

BIKC là hình vuông

=>CI vuông góc BK tại trung điểm của mỗi đường và CI=BK

=>CI vuông góc BK tại R

=>RI=RC=RK=RB

Xét tứ giác ISKR có

góc ISK=góc IRK=góc SIK=90 độ

Do đó: ISKR là hình chữ nhật

mà SI=SK

nên ISKR là hình vuông

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM=MB=MC=BC/2

Xét tứ giác AMCK có

I là trung điểm chung của AC và MK

nên AMCK là hình bình hành

Hình bình hành AMCK có MA=MC

nên AMCK là hình thoi

AMCK là hình thoi

=>AK//MC và AK=MC

AK//MC

M thuộc BC

Do đó: AK//MB

AK=MC

MC=MB

Do đó: AK=MB

Xét tứ giác AKMB có

AK//MB

AK=MB

Do đó: AKMB là hình bình hành

Để hình thoi AMCK trở thành hình vuông thì góc KCM=90 độ

AMCK là hình thoi

suy ra CA là phân giác của góc KCM

=>góc ACM=1/2. góc KCM=45 độ
=>ACB=45 độ
 

Vì ΔABC vuông cân tại A nên 

góc B=góc C=45 độ

Vì ΔBHE vuông tại H có góc B=45 độ

nên ΔBHE vuông cân tại H.

Suy ra HB = HE

Vì ΔCGF vuông tại G, có góc C=45 độ

nên ΔCGF vuông cân tại G

Suy ra GC = GF

Ta có: BH = HG = GC (gt)

Suy ra: HE = HG = GF

Vì EH // GF (hai đường thẳng cũng vuông góc với đường thắng thứ ba) nên tứ giác HEFG là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song bằng nhau);

Lại có góc EHG=90 độ nên HEFG là hình chữ nhật.

Mà EH = HG (chứng minh trên).

Vậy HEFG là hình vuông.

Tứ giác OBAC có góc B=góc C=góc BOC=90 độ(gt)

nên OBAC là hình chữ nhật

mà Om là tia phân giác của góc BOC

nên góc COA=góc BOA

Xét tam giác COA và tam giác BOA có

góc COA=góc BOA

OA chung

góc OCA=góc OBA =90 độ( vì AC vuông góc với Oy; AB vuông góc với Ox)

suy ra Tam giác COA= tam giác BOA (g-c-g)

suy ra CA=BA( hai góc tương ứng)

mà hình chữ nhật OBAC có góc B=góc C=góc BOC=90 độ và 2 góc kề bằng nhau

suy ra OBAC là hình vuông