a) Vì $AB=2BC$ suy ra ��=��2=��BC= AB/2=AD

ABCD là hình chữ nhật nên AB=DC suy ra 1/2AB=1/2DC do đó AI=DK=AD

Tứ giác AIKD có AI//DK, AI=DK nên tứ giác AIKD là hình bình hành 

Lại có AD=AI nên AIKD là hình thoi

Mà góc IAD= 90 độ do đó AIKD là hình vuông

Vậy tứ giác AIKD là hình vuông

Chứng minh tương tự cho tứ giác BIKC

Vậy tứ gáic BIKC là hình vuông

b) VÌ AIKD là hình vuông nên DI là tia phân giác góc ADK nên góc IDK = 45 độ

Tương tự góc ICK = 45 độ

Tam giác IDC cân có góc DIC = 90 độ nên là tam gaic vuông cân 

Vậy tam giác IDC là tam gáic  vuông cân

c) Vì AIKD, BCKI là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt  nhau tại trung điểm mỗi đường nên SI=SK=DI/2 và IR=RK=IC/2

 =>ISKR là hình thoi

Lại có góc DIC= 90 độ nên ISKR là hình vuông

Vậy ISKR là hình vuông

a) Do ABCD là hình vuôn nên: 

$AB=BC=CD=AD$ 

Mà: $\{\begin{array}{c}AB=AM+MB\\ BC=BN+NC\\ CD=CP+PD\\ AD=DQ+QA\end{array}$ 

Lại có: $AM=BN=CP=DQ$

$\Rightarrow MB=NC=PD=QA\left(dpcm\right)$ 

b) Xét $\Delta QAM$ và $\Delta NCP$ có:

$\hat{A}=\hat{C}=90^o\left(gt\right)$

$AM=CP\left(gt\right)$

$QA=NC\left(cmt\right)$

$\Rightarrow \Delta QAM=\Delta NCP\left(c.g.c\right)$ 

c) Xét các tam giác: $\Delta QAM,\Delta NCP,\Delta PDQ,\Delta MBN$ ta có:

$\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}=90^o\left(gt\right)$

$AM=BN=CP=DQ\left(gt\right)$

$MB=NC=PD=QA\left(cmt\right)$

$\Rightarrow \Delta QAM=\Delta NCP=\Delta PDQ=\Delta MBN\left(c.g.c\right)$ 

$\Rightarrow MQ=QP=PN=NM$ (các cạnh tương ứng) 

$\Rightarrow MNPQ$ là hình thoi (1)

Xét tam giác QAM ta có:

$\widehat{QMA}+\widehat{AQM}=180^o-90^o=90^o$ 

Mà: $\Delta QAM=\Delta MBN\left(cmt\right)$

$\Rightarrow \widehat{BMN}=\widehat{AQM}$ (hai góc tương ứng) 

$\Rightarrow \widehat{BMN}+\widehat{QMA}=90^o$

Lại có: $\widehat{BMN}+\widehat{QMA}+\widehat{NMQ}=180^o$

$\Rightarrow \widehat{NMQ}=180^o-90^o=90^o$ (2) 

Từ (1) và (2) ta có MNPQ là hình vuông 

Ta có

IA=IC (gt); IM=IK (gt) => AMCK là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

Ta có

MB=MC (gt); IA=IC (gt) => MI là đường trung bình của tg ABC => MI//AB

Mà $AB\perp AC$ 

$\Rightarrow MI\perp AC\Rightarrow MK\perp AC$

=> AMCK là hình thoi (Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi)

b/

Ta có

MI//AB (cmt) => MK//AB

AK//MC (cạnh đối hbh AMCK) => AK//MB

=> AKMB là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

c/

Để AMCK là hình vuông $\Rightarrow AM\perp BC$ => AM là đường cao của tg ABC

Mà AM là trung tuyến của tg ABC (gt)

=> ABC cân tại A (Tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến là tg cân)

=> Để AMCK là hình vuông thì tg ABC vuông cân tại A

$Tam\; giácABC$ vuông cân nên góc B= góc C = 45 độ

Tam giácBHE vuông tại H có góc BEH + góc B = 90 độ

Suy ra góc BEH = 90 độ - 45 độ = 45 độ nên góc B= góc BEH = 45 độ

Vậy tam giác BEH vuông tại H

b) Chứng minh tương tự như câu a ta được tam giác CFG vuông tại G nên GF=GC và HB=HE

Lại có BH=HG=GC suy ra EH=HG=GF và EH//FG ( cùng vuông góc với BC)

Tứ giác EFGH có EH//FG, EH=FG

=>tứ giác EFGH là hình bình hành 

Xét hình bình hành có một góc vuông là góc H nên là hình chữ nhật

Mà hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là EH=HG nên là hình vuông

Vậy EFGH là hình vuông

a: ΔABC vuông cân tại A

mà AM là trung tuyến

nên AM là phân giác của góc BAC

Xét tứ giác AEDF có

góc AED=góc AFD=góc FAE=90 độ

AD là phân giác của góc FAE

=>AEDF là hình vuông

b: AEDF là hình vuông

=>góc AEF=45 độ

=>góc AEF=góc ABC

=>EF//BC

c) Gọi $O$ là giao của $AD$ với $EF$ suy ra $OE=OD=OF=OA$

$\Delta ENF$ vuông tại $N$ có $NO$ là đường trung tuyến nên $NO=EO=FO$

$\Delta AND$ có $NO$ là đường trung tuyến mà $NO=\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{2}$ suy ra $\Delta AND$ vuông tại $N.$

a) Tứ giác $ADME$ có $\widehat{DAE}=\hat{D}=\hat{E}={90}^{\circ }$ nên $ADME$ là hình chữ nhật.

b) Vì $DM\perp AB$ và $AC\perp AB$ nên $DM$ // $AC$ suy ra $\hat{C}=\widehat{BMD}$ (so le trong).

Xét $\Delta DMB$ và $\Delta ECM$ có:

     $\hat{D}=\hat{E}={90}^{\circ }$

     $BM=CM$ (giả thiết)

     $\widehat{DMB}=\hat{C}$ (so le trong)

Vậy $\Delta DMB=\Delta ECM$ (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra $ME=BD$ (hai cạnh tương ứng) mà $ME=AD$ nên $AD=BD$.

Tứ giác $AMBI$ có hai đường chéo $AB,MI$ cắt nhau tại $D$ là trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

Mà $MI\perp AB$ suy ra $AMBI$ là hình thoi.

c) Để $AMBI$ là hình vuông thì $AM\perp BM$ hay $AM$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên $\Delta ABC$ vuông cân tại $A.$

d) Giả sử $AM$ cắt $PQ$ tại $F$ và $PQ$ cắt $AH$ tại $O$.

Khi đó $\Delta OAQ$ có $OA=OQ$ nên $\Delta OAQ$ cân tại $O$ suy ra $\widehat{Q^1}=\widehat{OAQ}$

$\Delta AMC$ cân tại $M$ suy ra $\widehat{A^1}=\hat{C}$

Do đó, $\widehat{A^1}+\widehat{Q^1}=\hat{C}+\widehat{OAQ}={90}^{\circ }$

Suy ra $\Delta FAQ$ vuông tại $F$ hay $AM\perp PQ.$

a: Xét tứ giác ABCD có

N là trung điểm chung của AC và BD

=>ABCD là hình bình hành

=>AD//BC và AB//CD

Ta có: AD//BC

AP$\perp$BC

Do đó: AP$\perp$AD

Ta có: AP$\perp$AD

CQ$\perp$AD

Do đó: AP//CQ

Ta có: AD//BC

Q$\in$AD

P$\in$BC

Do đó: AQ//CP

Xét tứ giác APCQ có

AQ//CP

AP//CQ

=>APCQ là hình bình hành

=>AC cắt PQ tại trung điểm của mỗi đường

mà N là trung điểm của AC

nên N là trung điểm của PQ

b: Để hình bình hành ABCD trở thành hình vuông thì ABCD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi

ABCD trở thành hình chữ nhật khi $\widehat{ABC}=90^0$

ABCD trở thành hình thoi khi BA=BC

Vậy: Để ABCD trở thành hình vuông thì BA=BC và $\widehat{ABC}=90^0$

 Ta có $\widehat{O^1}+\widehat{O^3}={90}^{\circ }$ và $\widehat{O^2}+\widehat{O^3}={90}^{\circ }$ suy ra $\widehat{O^1}=\widehat{O^2}$.

Mặt khác $\widehat{A^1}=\widehat{B^1}={45}^{\circ }$.

Xét $\Delta AOP$ và $\Delta BOR$ có

    $OA=OB$ ( giả thiết)

    $\widehat{A^1}=\widehat{B^1}=45^{\circ }$

    $\widehat{O^1}=\widehat{O^2}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\Delta AOP=\Delta BOR$ (g.c.g)

b) Từ $\Delta AOP=\Delta BOR$ suy ra $OP=OR$ (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự cho $\Delta OBR=\Delta OCQ$ và $\Delta OCQ=\Delta ODS$

Suy ra $OR=OQ$ và $OQ=OS$.

Khi đó $OP=OR=OS=OQ.$

c) Tứ giác $PRQS$ là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau.

Mà $\Delta OPR$ có $OP=OR$ và $\widehat{POR}={90}^{\circ }$ nên $\Delta OPR$ là tam giác vuông cân tại $O$

Suy ra $\widehat{P^1}={45}^{\circ }$.

Tương tự $\widehat{P^2}={45}^{\circ }$ nên $\widehat{RPS}=\widehat{P^1}+\widehat{P^2}={90}^{\circ }$.

Hình thoi $PRQS$ có $\widehat{RPS}={90}^{\circ }$ nên nó là hình vuông.

a: Xét tứ giác MCDN có

MC//DN

MC=DN

MC=CD

=>MCDN là hình thoi

b: Xét ΔCMD có CM=CD và góc C=60 độ(=góc BAD)

nên ΔCMD đều

=>góc CMD=60 độ

góc BMD+góc CMD=180 độ(kề bù)

=>góc BMD=180-60=120 độ

=>góc BMD=góc B

Xét tứ giác ABMD có

BM//AD

góc ABM=góc BMD

=>ABMD là hình thang cân

=>AM=BD

c: Xét ΔKAD có BM//AD

nên BM/AD=KM/KD=KB/KA

=>KM/KD=KB/KA=1/2

=>Mlà trung điểm của KD, B là trung điểm của KA

Xét ΔKAD có

AM,DB,KN là trung tuyến

=>AM,DB,KN đồng quy