ta có
BM/AB = BC/AC=a/b (tính chất phân giác)
CN/AN = BC/AB=a/b (tính chất phân giác)
=>BM/AM = CN/AN
=>BM/CN = AM/AN
=>MN//BC (Định lí thales đảo)
=>AM/AB = MN/BC
=>AM/b = MN/a       (1)
Ta có:
AM/BM = AC/BC = b/a(tính chất phân giác)
=>AM/b = BM/a = AM+BM/b+a = AB/a+b = b/a+b
=>AM = b^2/a+b     (2)
Từ (1) và (2)
=>b^2/a+b/b = MN/a
=>b/a+b = MN/a
=>MN = ab/a+b

Ta có tam giác ABC cân tại A => AC=AB=12 ( cm )

Do DC là tia phân giác của góc C, ta có;

AD/BD = AC/CB hay AD/BD = 12/6

=>AD/12 = BD/6 = (AD+BD)/(12+6)= AB/18 = 12/18= 2/3

=>AD = 12x2/3 = 8; BD = 6x2/3 = 4 (cm)

b) Ta có: DC là tia phân giác trong của góc C mà CE vuông góc với DC => CE là tia phân giác ngoài của tam giác, ta có:

BE/AC = BD/CB hay BE/12 = 4/6 => BE = (12x4):6=8 (cm)

a) Tứ giác $ADME$ có $\widehat{DAE}=\hat{D}=\hat{E}={90}^{\circ }$ nên $ADME$ là hình chữ nhật.

b) Vì $DM\perp AB$ và $AC\perp AB$ nên $DM$ // $AC$ suy ra $\hat{C}=\widehat{BMD}$ (so le trong).

Xét $\Delta DMB$ và $\Delta ECM$ có:

     $\hat{D}=\hat{E}={90}^{\circ }$

     $BM=CM$ (giả thiết)

     $\widehat{DMB}=\hat{C}$ (so le trong)

Vậy $\Delta DMB=\Delta ECM$ (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra $ME=BD$ (hai cạnh tương ứng) mà $ME=AD$ nên $AD=BD$.

Tứ giác $AMBI$ có hai đường chéo $AB,MI$ cắt nhau tại $D$ là trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

Mà $MI\perp AB$ suy ra $AMBI$ là hình thoi.

c) Để $AMBI$ là hình vuông thì $AM\perp BM$ hay $AM$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên $\Delta ABC$ vuông cân tại $A.$

d) Giả sử $AM$ cắt $PQ$ tại $F$ và $PQ$ cắt $AH$ tại $O$.

Khi đó $\Delta OAQ$ có $OA=OQ$ nên $\Delta OAQ$ cân tại $O$ suy ra $\widehat{Q^1}=\widehat{OAQ}$

$\Delta AMC$ cân tại $M$ suy ra $\widehat{A^1}=\hat{C}$

Do đó, $\widehat{A^1}+\widehat{Q^1}=\hat{C}+\widehat{OAQ}={90}^{\circ }$

Suy ra $\Delta FAQ$ vuông tại $F$ hay $AM\perp PQ.$

a) Tứ giác $AEDF$ có $\widehat{EAF}=\widehat{AED}=\widehat{AFD}={90}^{\circ }$ nên là hình chữ nhật.

$\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ có $AM$ là trung tuyến nên $AM$ cũng là đường phân giác $\widehat{EAF}$.

Hình chữ nhật $AEDF$ có đường chéo $AD$ là tia phân giác $\widehat{EAF}$ nên là hình vuông.

b) $\Delta AEF$ vuông tại $A$ có $AE=AF$ nên vuông cân tại $A$

Suy ra $\widehat{F^1}={45}^{\circ }=\hat{C}$ mà $\widehat{F^1},\hat{C}$ đồng vị nên $EF$ // $BC.$

c) Gọi $O$ là giao của $AD$ với $EF$ suy ra $OE=OD=OF=OA$

$\Delta ENF$ vuông tại $N$ có $NO$ là đường trung tuyến nên $NO=EO=FO$

$\Delta AND$ có $NO$ là đường trung tuyến mà $NO=\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{2}$ suy ra $\Delta AND$ vuông tại $N.$

a) Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC,BD$ cắt nhau tại trung điểm $N$ của mỗi đường nên là hình bình hành.

b) Ta có $AP\perp BC$; $AQ$ // $BC$ suy ra $AP\perp AQ$.

Tứ giác $APCQ$ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo $AC,PQ$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà $NA=NC$ nên $N$ là trung điểm của $PQ$.

Suy ra $P,N,Q$ thẳng hàng.

c) Để tứ giác $ABCD$ là hình vuông thì ta cần $AB\perp BC,AB=BC$ hay $\Delta ABC$ vuông cân tại $B.$

ΔMBKBK và ΔMCD có:

     $\widehat{{}^1}$

a) Ta có $AD=BC$ suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{2}$ nên $MC=ND$ và $MC$ // $ND$

Do đó, $MCDN$ là hình bình hành.

Lại có $CD=AB=\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{2}=ND$ nên $MCDN$ là hình thoi

b) $BM$ // $AD$ suy ra $ABMD$ là hình thang.

Mà $\widehat{ADC}={120}^{\circ }$ mà $DM$ là phân giác $\widehat{ADC}$ nên $\widehat{ADM}={60}^{\circ }=\widehat{BAD}$.

Vậy $ABMD$ là hình thang cân.

c) $\Delta KAD$ có $\widehat{KAD}=\widehat{KDA}$ nên là tam giác cân.

Xét $\Delta MBK$ và $\Delta MCD$ có:

     $MB=MC$ (giả thiết)

     $\widehat{M^1}=\widehat{M^2}$ (đối đỉnh)

     $\widehat{B^1}=\hat{C}$ (so le trong)

Vậy $\Delta MBK=\Delta MCD$ (g.c.g) suy ra $MK=MD$ (hai cạnh tương ứng).

Khi đó $AM$ là đường trung tuyến và $BK=CD$ (hai cạnh tương ứng)

Mà $CD=AB$ suy ra $AB=BK$ hay $DB$ là đường trung tuyến.

Khi đó, $\Delta KAD$ có ba đường trung tuyến $AM,BD,KN$ đồng quy.

MCDMK=MDKhi đó AMBK=CDMà CD=ABAB=BKDBKhi đó, ΔKADAM,BD,

a) Ta có $\widehat{O^1}+\widehat{O^3}={90}^{\circ }$ và $\widehat{O^2}+\widehat{O^3}={90}^{\circ }$ suy ra $\widehat{O^1}=\widehat{O^2}$.

Mặt khác $\widehat{A^1}=\widehat{B^1}={45}^{\circ }$.

Xét $\Delta AOP$ và $\Delta BOR$ có

    $OA=OB$ ( giả thiết)

    $\widehat{A^1}=\widehat{B^1}=45^{\circ }$

    $\widehat{O^1}=\widehat{O^2}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\Delta AOP=\Delta BOR$ (g.c.g)

b) Từ $\Delta AOP=\Delta BOR$ suy ra $OP=OR$ (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự cho $\Delta OBR=\Delta OCQ$ và $\Delta OCQ=\Delta ODS$

Suy ra $OR=OQ$ và $OQ=OS$.

Khi đó $OP=OR=OS=OQ.$

c) Tứ giác $PRQS$ là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau.

Mà $\Delta OPR$ có $OP=OR$ và $\widehat{POR}={90}^{\circ }$ nên $\Delta OPR$ là tam giác vuông cân tại $O$

Suy ra $\widehat{P^1}={45}^{\circ }$.

Tương tự $\widehat{P^2}={45}^{\circ }$ nên $\widehat{RPS}=\widehat{P^1}+\widehat{P^2}={90}^{\circ }$.

Hình thoi $PRQS$ có $\widehat{RPS}={90}^{\circ }$ nên nó là hình vuông.

Tứ giác DKMN có 3 góc D=K=N= 90 độ

=> Tg DKMN là hình chữ nhật

Vậy tg DKMN là hình chữ nhật

b) Vì DKMN là hình chữ nhật nên DF//MH 

Xét 2 tam giác KFM và NME có:

góc K= góc N = 90 độ

FM=ME(gt)

góc KMF = góc E( đồng vị)

=> Tam giác KFM = tam giác NME (cạnh huyền-góc nhọn)

=>KF=MN( hai cạnh tương ứng) mà MN=DK nên DF=2DK và MH=2MN

Do đó DF=MH

Tứ gáic DFMH có DF//MH, DF=MH nên là hình bình hành

Do đó hai đường chéo DM,FH cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường hay F,O,H thẳng hàng

Vậy 3 điểm F,O,H thẳng hàng

c) Để hình chữ nhật DKMN là hình vuông thì DK=DN(1)

Mà DK=1/2DF và DN=KM=NE nên DN=1/2DE(2)

Từ (1),(2) suy ra DF=DE

Vậy tam giác DFE cần thêm điều kiện cân tại D

Vì $AB=2BC$ suy ra ��=��2=��BC= AB/2=AD

ABCD là hình chữ nhật nên AB=DC suy ra 1/2AB=1/2DC do đó AI=DK=AD

Tứ giác AIKD có AI//DK, AI=DK nên tứ giác AIKD là hình bình hành 

Lại có AD=AI nên AIKD là hình thoi

Mà góc IAD= 90 độ do đó AIKD là hình vuông

Vậy tứ giác AIKD là hình vuông

Chứng minh tương tự cho tứ giác BIKC

Vậy tứ gáic BIKC là hình vuông

b) VÌ AIKD là hình vuông nên DI là tia phân giác góc ADK nên góc IDK = 45 độ

Tương tự góc ICK = 45 độ

Tam giác IDC cân có góc DIC = 90 độ nên là tam gaic vuông cân 

Vậy tam giác IDC là tam gáic  vuông cân

c) Vì AIKD, BCKI là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt  nhau tại trung điểm mỗi đường nên SI=SK=DI/2 và IR=RK=IC/2

 =>ISKR là hình thoi

Lại có góc DIC= 90 độ nên ISKR là hình vuông

Vậy ISKR là hình vuông

a) Ta có: ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA, 
Mà AM = BN = CP = DQ 
Suy ra MB = NC = PD = QA
b) Xét ΔQAM và ΔNCP có:
AM = CP
góc PDQ = góc NCP = 90 độ
NC = PD
nên ΔQAM = ΔNCP ( c.g.c)
c)Ta có:
AM = BN = CP = DQ 
góc ABC = góc ABC = góc BCD = góc CDA  = 90 độ
MB = NC = PD = QA
Suy ra ΔDQP = ΔNCP = ΔMAQ = ΔMBN ( c.g.c )
Suy ra QM = MN = NP = PQ (cặp cạnh tương ứng)
Do tứ giác MNPQ có QM = MN = NP = PQ nê MNPQ là hình thoi
Ta có : ΔMAQ = ΔMBN (cmt)
nên góc AMQ = góc BNM ( 2 góc tương ứng )
Mà góc BNM + góc BMN = 90 độ ( ΔMBN vuông tại B )
nên góc AMQ + góc BMN = 90 độ
Suy ra góc NMQ = 180 độ - 90 độ = 90 độ
Do hình thoi MNPQ có góc NMQ = 90 độ nên MNPQ là hình vuông