a) $ABCD$ là hình vuông nên $AB=BC=CD=DA$

Mà $AM=BN=CP=DQ$.

Trừ theo vế ta được $AB-AM=BC-BN=CD-CP=DA-DQ$

Suy ra $MB=NC=PD=QA$

b) Xét $\Delta QAM$ và $\Delta NCP$ có:

$\hat{A}=\hat{C}={90}^{\circ }$

$AQ=NC$ (chứng minh trên)

$AM=CP$ (giả thiết)

Suy ra $\Delta QAM=\Delta NCP$ (c.g.c)

c) Từ $\Delta QAM=\Delta NCP$ suy ra $NP=MQ$ (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự câu b ta có $\Delta QAM=\Delta PDQ$ và $\Delta QAM=\Delta MBN$.

Khi đó $\Rightarrow MQ=PQ,MN=MQ$ và $\widehat{AMQ}=\widehat{DQP}$.

Mà $\widehat{AMQ}+\widehat{AQM}={90}^{\circ }$ suy ra $\widehat{DQP}+\widehat{AQM}={90}^{\circ }$.

Do đó, $\widehat{MQP}={90}^{\circ }$.

Tứ giác $MNPQ$ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi, lại có $\widehat{MQP}={90}^{\circ }$ nên là hình vuông.

a) Tứ giác $AMCK$ có hai đường chéo $AC,MK$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến nên $AM=MC=MB$.

Vậy hình bình hành $AMCK$ có $AM=MC$ nên là hình thoi.

b) Vì $AMCK$ là hình thoi nên $AK$ // $BM$ và $AK=MC=BM$.

Tứ giác $AKMB$ có $AK$ // $BM,AK=BM$ nên là hình bình hành.

c) Để $AMCK$ là hình vuông thì cần có một góc vuông hay $AM\perp MC$.

Khi đó $\Delta ABC$ có $AM$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại $A$.

Vậy $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ thì $AMCK$ là hình vuông.

a) $\Delta ABC$ vuông cân nên $\hat{B}=\hat{C}={45}^{\circ }.$

$\Delta BHE$ vuông tại $H$ có $\widehat{BEH}+\hat{B}={90}^{\circ }$

Suy ra $\widehat{BEH}={90}^{\circ }-{45}^{\circ }={45}^{\circ }$ nên $\hat{B}=\widehat{BEH}={45}^{\circ }$.

Vậy $\Delta BEH$ vuông cân tại $H.$

b) Chứng minh tương tự câu a ta được $\Delta CFG$ vuông cân tại $G$ nên $GF=GC$ và $HB=HE$

Mặt khác $BH=HG=GC$ suy ra $EH=HG=GF$ và $EH$ // $FG$ (cùng vuông góc với $BC)$

Tứ giác $EFGH$ có $EH$ // $FG,EH=FG$ nên là hình bình hành.

Hình bình hành $EFGH$ có một góc vuông $\hat{H}$ nên là hình chữ nhật

Hình chữ nhật $EFGH$ có hai cạnh kề bằng nhau $EH=HG$ nên là hình vuông.

Tứ giác $OBAC$ có ba góc vuông �^=�^=���^=90∘=C=BOC=90∘

Nên $OBAC$ là hình chữ nhật.

Mà $A$ nằm trên tia phân giác $OM$ suy ra $AB=AC$.

Khi đó $OBAC$ là hình vuông.