a) Chứng minh ΔBHE là tam giác vuông cân

• Do ΔABC vuông cân tại A, nên AB = AC.

• Do đó, BE = BF (tính chất đường vuông góc với hai đường thẳng bằng nhau).

• Mặt khác, do BH = HG (giả thiết), nên BE = BF = BH (tính chất đường vuông góc với hai đường thẳng bằng nhau).

• Do đó, ΔBHE là tam giác vuông cân.

b) Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông

• Do ΔBHE là tam giác vuông cân, nên HE = BF (tính chất tam giác vuông cân).

• Do đó, HE = BF = FG (tính chất đường vuông góc với hai đường thẳng bằng nhau).

• Mặt khác, do HG = GC (giả thiết), nên FG = GH (tính chất đường vuông góc với hai đường thẳng bằng nhau).

• Do đó, tứ giác EFGH có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông.

• Do đó, tứ giác EFGH là hình vuông.

: Chứng minh OA = OB

• Do Om là tia phân giác của góc xOy, nên OA = OB (tính chất tia phân giác).

: Chứng minh AB = AC

• Do AB vuông góc với Ox và AC vuông góc với Oy, nên AB = AC (tính chất đường vuông góc với hai đường thẳng bằng nhau).

: Chứng minh OB = OC

• Do hình OBAC có hai cặp cạnh bằng nhau (OA = OB và AB = AC), nên hình OBAC là hình bình hành.

• Do đó, OB = OC (tính chất hình bình hành có hai cặp cạnh bằng nhau).

: Chứng minh hình OBAC là hình vuông

• Do hình OBAC có bốn cạnh bằng nhau (OA = OB = OC = AB) và bốn góc vuông, nên hình OBAC là hình vuông.

a) Chứng minh hình AEDF là hình vuông

• Do ΔABC vuông cân tại A, nên AB = AC.

• Do đó, AE = AF (tính chất đường vuông góc với hai đường thẳng bằng nhau).

• Mặt khác, do DE ⊥ AB và DF ⊥ AC, nên DE = DF (tính chất đường vuông góc với hai đường thẳng bằng nhau).

• Do đó, hình AEDF là hình vuông (tính chất hình vuông có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông).

b) Chứng minh EF // BC

• Do DE ⊥ AB và DF ⊥ AC, nên EF ⊥ AD (tính chất đường vuông góc với hai đường thẳng).

• Mặt khác, do BC ⊥ AD (tính chất đường vuông góc với hai đường thẳng), nên EF // BC (tính chất hai đường thẳng song song).

c) Chứng minh AND = 90°

• Do EN ⊥ MF (giả thiết), nên EN ⊥ BC (tính chất đường vuông góc với hai đường thẳng).

• Mặt khác, do AD ⊥ BC (tính chất đường vuông góc với hai đường thẳng), nên AN ⊥ EN (tính chất đường vuông góc với hai đường thẳng).

• Do đó, AND = 90° (tính chất góc vuông).

a) Chứng minh hình ADME là hình chữ nhật

• Do ΔABC vuông tại A, nên AM là trung tuyến và cũng là đường cao.

• Do đó, MD ⊥ AB và ME ⊥ AC.

• Do đó, hình ADME là hình chữ nhật (tính chất hình chữ nhật có bốn góc vuông).

b) Tứ giác AMBI là hình gì?

• Do D là trung điểm của IM, nên MD là đường trung bình của tam giác AMI.

• Do đó, hình AMBI là hình thang cân (tính chất hình thang cân có đường trung bình là đường phân giác của góc).

c) Điều kiện để tứ giác AMBI là hình vuông

• Để tứ giác AMBI là hình vuông, cần thêm điều kiện là góc AMB = 90° (tính chất hình vuông có bốn góc vuông).

• Do đó, điều kiện để tứ giác AMBI là hình vuông là góc AMB = 90°.

d) Chứng minh PQ ⊥ AM

• Do AH là đường cao của ΔABC, nên AH ⊥ BC.

• Do đó, HP ⊥ AB và HQ ⊥ AC.

• Do đó, PQ ⊥ AM (tính chất đường cao của tam giác).

a) Chứng minh hình ABCD là hình bình hành

• Do N là trung điểm của AC, nên AN = NC.

• Do BN = ND (giả thiết), nên BN = ND = AN = NC.

• Do đó, hình ABCD là hình bình hành (tính chất hình bình hành có hai cặp cạnh bằng nhau).

b) Chứng minh P, N, Q thẳng hàng

• Do AP ⊥ BC và CQ ⊥ AD, nên AP và CQ là hai đường cao của tam giác ABC.

• Do đó, AP và CQ cắt nhau tại điểm N (điểm chung của hai đường cao).

• Do đó, P, N, Q thẳng hàng.

c) Điều kiện để tứ giác ABCD là hình vuông

• Để tứ giác ABCD là hình vuông, cần thêm điều kiện là góc ABC = 90° (tính chất hình vuông có bốn góc vuông).

• Do đó, điều kiện để tứ giác ABCD là hình vuông là góc ABC = 90°.

a) Chứng minh hình MCDN là hình thoi

• Do M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AD, nên MN là đường trung bình của hình bình hành ABCD.

• Do đó, MN = AB (tính chất đường trung bình của hình bình hành).

• Mặt khác, do AD = 2AB (giả thiết), nên AD = 2MN.

• Do đó, hình MCDN là hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

• Do đó, hình MCDN là hình thoi.

b) Chứng minh hình ABMD là hình thang cân và AM = BD

• Do M là trung điểm của BC, nên BM = MC.

• Do đó, ABMD là hình thang cân (có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

• Mặt khác, do hình ABMD là hình thang cân, nên AM = BD.

c) Chứng minh AM, DB, KN đồng quy

• Do hình ABMD là hình thang cân, nên AM = BD.

• Do đó, tam giác AMK và tam giác BDK là hai tam giác bằng nhau (c.g.c).

• Do đó, góc AMK = góc BDK.

• Mặt khác, do hình MCDN là hình thoi, nên MN là đường chéo của hình thoi.

• Do đó, MN cắt DB tại trung điểm của DB.

• Do đó, AM, DB, KN đồng quy tại điểm M.

a) Chứng minh ΔAOP = ΔBOR

• Do hai đường chéo của hình vuông cắt nhau tại O và OA = OB (tính chất hình vuông), nên ΔAOP = ΔBOR (c.g.c).

b) Chứng minh OP = OR = OS = OQ

• Do ΔAOP = ΔBOR (chứng minh ở trên), nên OP = OR (c.g.c).

• Tương tự, ΔAOS = ΔDOR, nên OS = OR (c.g.c).

• Do đó, OP = OR = OS.

• Tương tự, ta chứng minh được OQ = OP.

c) Chứng minh hình PRQS là hình vuông

• Do OP = OR = OS = OQ (chứng minh ở trên), nên PR = QS (hai đường thẳng cắt nhau và có hai cặp đoạn thẳng bằng nhau).

• Tương tự, ta chứng minh được PQ = RS.

• Do đó, hình PRQS là hình bình hành.

• Mặt khác, do PQRS là hình bình hành và có hai đường chéo cắt nhau tại O, nên hình PRQS là hình vuông (tính chất hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).