S  = 3+ 3² + 3³ + 3⁴ +.....+ 3²⁰²²

Xét dãy số : 1; 2; 3; 4; .....;2022

Dãy số trên có số số hạng : ( 2022 -1) : 1 + 1 = 2022 ( số hạng)

mà 2022 ⋮ 3

Vậy nhóm ba số hạng liên tiếp của tổng S thành một nhóm ta được:

S =(3 + 3²+ 3³)+ ( 3⁴ + 3⁵ + 3⁶)+....+( 3²⁰²⁰+3²⁰²¹+3²⁰²²)

S = 3.( 1 + 3 + 3²)+ 3⁴.( 1+3+3²)+....+3²⁰²⁰.(1+3+3²)

S = 3.13 + 3⁴.13+ ^......+3²⁰²⁰.13

S = 13.( 3 + 3⁴+....+3²⁰²⁰)

13⋮ 13 ⇒ 13. ( 3+3⁴+....+3²⁰²⁰) ⋮ 13

 ⇒ S = 3+3²+3³+3⁴+...+3²⁰²²⋮13 (đpcm)

Ba thùng:  204 l dầu

Thùng A = \(\dfrac{1}{2}\) ba thùng - 4 l 

Số dầu thùng A : \(204\) x \(\dfrac{1}{2}\) - 4 = 98 (l)

Số dầu thùng B và thùng C : 204 - 98 = 106 (l)

Khi rót dầu từ thùng B sang thùng C thì tổng số dầu hai thùng lúc sau không đổi và bằng 106 l

Số dầu thùng C lúc sau :  106:(2+5)x5 = \(\dfrac{530}{7}\) (l)

Số dầu thùng C lúc sau so với lúc đầu chiếm số phần :

                   1 + \(\dfrac{1}{4}\) = \(\dfrac{5}{4}\) 

Số dầu thùng C lúc đầu : \(\dfrac{530}{7}\) : \(\dfrac{5}{4}\)= \(\dfrac{424}{7}\) (l)

Số dầu thùng B lúc đầu : 106 - \(\dfrac{424}{7}\) = \(\dfrac{318}{7}\) (l)

Đs...

(x+1) + (x+3) + (x+5) +.......+(x+55) = 784

Dãy số trên là dãy số cách đều khoảng cách :

x + 3 - x - 1 = 2

Dãy số trên có số số hạng :

( x +55 - x - 1) : 2 + 1 = 28

(x+ 55+ x +1). 28: 2 = 784

(2x + 56). 14 = 784

2x + 56 = 784 : 14

2x + 56 = 56

2x = 56- 56

2x = 0

x =  0

60 người cần: 5 x 60 = 300 (m³ không khí)

Thể tích ban đầu của căn phòng: 12 x 5 x 4 = 240 (m³)

thể tích cần tăng thêm : 300 - 240 = 60 

60 = 3 x 5 x 4

Vậy cần mở rộng chiểu dài thêm 3m, còn các chiều rộng, chiều cao giữ nguyên.

lúc đó căn phòng có kích thước : 

dài: 15m, rộng 5 m, cao 4m thể tích căn phòng khi đó:

  15 x 5 x 4 = 300 (m³)

Dài: 2,2 m

Rộng: 1,5m

Cao: 60% dài

Đựng đầy Cát: ?m2

                         Giải:

Chiều cao: 2,2 x 60 : 100 = 1,32 (m)

Thể tích : 2,2 x1,5 x 1,32  = 4,356 (m³)

Vậy cái hố đó có thể đựng: 4,356 m³

Dài: 2,2 m

Rộng: 1,5m

Cao: 60% dài

Đựng đầy Cát: ?m²

                         Giải:

Chiều cao: 2,2 x 60 : 100 = 1,32 (m)

Thể tích : (2,2 + 1,5) x 2 x 1,32 = 9,768 (m³)

Vậy hố có thể đựng 9,768 m³ cát

a, \(\dfrac{x-1}{21}\) = \(\dfrac{3}{x+1}\)

   ( x-1)(x+1) = 21.3

    x² + x - x -1 = 63

     x²                = 63 + 1

     x²               = 64

    x = + - 8

b, 2\(\dfrac{1}{2}\)x + x = 2\(\dfrac{1}{17}\)

        x( \(\dfrac{5}{2}\) + 1) = \(\dfrac{35}{17}\)

       x              = \(\dfrac{35}{17}\) : ( \(\dfrac{5}{2}\)+1)

       x             = \(\dfrac{35}{17}\) x \(\dfrac{2}{7}\)

       x            = \(\dfrac{10}{17}\)

c, (x + \(\dfrac{1}{4}\) - \(\dfrac{2}{3}\) ) : ( 2 + \(\dfrac{1}{6}\) - \(\dfrac{1}{4}\)) = \(\dfrac{7}{46}\)

   (x  - \(\dfrac{5}{12}\)):  \(\dfrac{23}{12}\)                     =   \(\dfrac{7}{46}\)

  (x - \(\dfrac{5}{12}\))                               =   \(\dfrac{7}{46}\) x \(\dfrac{23}{12}\)

  x   - \(\dfrac{5}{12}\)                                =    \(\dfrac{7}{12}\)

 x                                            =    \(\dfrac{7}{12}\) + \(\dfrac{5}{12}\)

x                                             =     1

d, 2\(\dfrac{1}{3}\)x - 1\(\dfrac{3}{4}\)x + \(2\dfrac{2}{3}\)  = 3\(\dfrac{3}{5}\)

   x( \(\dfrac{7}{3}\) - \(\dfrac{7}{4}\)) + \(\dfrac{8}{3}\)      =  \(\dfrac{18}{5}\)

   x\(\dfrac{7}{12}\)                    = \(\dfrac{18}{5}\) - \(\dfrac{8}{3}\)

   x\(\dfrac{7}{12}\)                   = \(\dfrac{14}{15}\)

  x                         = \(\dfrac{14}{15}\) : \(\dfrac{7}{12}\)

 x                          = \(\dfrac{8}{5}\)

     21,8

^x      3,4 

____________

      872

    654

____________

    74,12

24,36         |__6

     36              4,06

       0

1, khi cạnh hình vuông gấp lên hai lần thì diện tích hình vuông gấp lên số lần là:

                       2 x 2 = 4 lần.

Diện tích hình vuông ban đầu : 

                      64 : 4 = 16 (cm²)

                       16 = 4 x 4

 Cạnh hình vuông ban đầu là 4cm

Chi vi hình vuông ban đầu 4 x 4 = 16 (cm)

2, Chiều rộng 12 x \(\dfrac{1}{3}\) = 4 (cm)

   Chu vi hình chữ nhật : ( 12 + 4) x 2 = 32 (cm)

Chu vi hình vuông bằng chu vi hình chữ nhật và bằng 32cm

Cạnh hình vuông : 32: 4 = 8 (cm)

Diện tích hình vuông : 8 x 8 = 64 (cm²)

3, Cạnh hình vuông : 24 : 4 = 6 (cm)

    Chiều dài hình chữ nhật : 6 + 4 = 10 (cm)

   Chiều rộng hình chữ nhật : 6 - 1 = 5 (cm)

   Diện tích hình chữ nhật : 10 x 5 = 50 (cm²)

  Đs....

đt△  x + 4y - 2 = 0 => y = -\(\dfrac{1}{4}\)x + \(\dfrac{1}{2}\)

Đt d có dạng y = ax + b vì (d) //Δ nên a =  -\(\dfrac{1}{4}\); b # \(\dfrac{1}{2}\)

đt (d) có dạng y = \(-\dfrac{1}{4}\) x + b ⇒x+ 4y - 4b = 0

Khoảng cách từ A(-2;3) đến đường thẳng (d) là :

d(A;d) = \(\dfrac{|-2+4.3-4b|}{\sqrt{1^2+4^2}}\) = 3 

              | 10 - 4b| = 3\(\sqrt{17}\)

              10-  4b = 3\(\sqrt{17}\)

               b =  \(\dfrac{10-3\sqrt{17}}{4}\)

               4b - 10 = 3\(\sqrt{17}\)

                b = \(\dfrac{10+3\sqrt{17}}{4}\)

pt đt d thỏa mãn đề bài là:

     y = - \(\dfrac{1}{4}\) x + \(\dfrac{10-3\sqrt{17}}{4}\)    hoặc  y = \(-\dfrac{1}{4}\) x + \(\dfrac{10+3\sqrt{17}}{4}\)