S₄ = 1² + 2² + 3² +...+ 100²

S₄ = 1 + 2.2 + 3.3+...+100.100

S₄ = 1 + 2.(1+1) + 3.( 2+1) +...+ 100.(99+1)

S₄ = 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 +...+ 99.100 + 100 

S₄ = (1 + 2 + 3 +...+ 100) + ( 1.2 + 2.3 + ...+ 99.100)

Đặt A = 1 + 2 + 3 +...+ 100; B = 1.2 + 2.3 +...+ 99.100

A = 1 + 2 + 3 +...+ 100

Xét dãy số 1; 2; 3; ...; 100, dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là:

2 - 1 = 1

Số số hạng của dãy số trên là: (100 - 1):1 + 1 = 100

Tổng A là: A = (100 +1).100 : 2 = 5050

B = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ 99.100

3B = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 +...+ 99.100.3

1.2.3                  = 1.2.3

2.3.3 = 2.3.(4-1) =  2.3.4 - 1.2.3

3.4.3 = 3.4.(5-2) = 3.4.5 - 2.3.4

...................................................

99.100.3 = 99.100.(101 - 98) = 99.100.101- 98.99.100

Cộng vế với vế ta có:

3B = 99.100.101

B = 99.100.101: 3

B = 333300

S₄ = 5050 + 333300 = 338350

1 + 2 + 3 +...+ \(x\) = \(\overline{aaa}\)

Đặt 1 + 2 + 3 +...+ \(x\) = B 

xét dãy số 

1; 2; 3; ...; \(x\)

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 2 - 1 = 1

Dãy số trên có số số hạng là: (\(x\) - 1): 1 + 1 = \(x\)

Tổng B =  ( \(x\) + 1) \(\times\) \(x\) : 2 = \(\overline{aaa}\) 

                 (\(x\) + 1) \(\times\) \(x\) = \(\overline{aaa}\) \(\times\) 2 

                 (\(x\) + 1) \(\times\) \(x\) = 2 \(\times\) 111 \(\times\) a 

                (\(x\) + 1) \(\times\) \(x\) = 2 \(\times\) 3 \(\times\) 37 \(\times\) a

                (\(x\) + 1)\(\times\) \(x\) = 37\(\times\)6\(\times\)a = 74\(\times\)3\(\times\)a = 111 \(\times\) 2 \(\times\) a 

   ⇒  6 \(\times\) a = 36;  38;   3  \(\times\) a = 73; 75;     2 \(\times\) a  = 110; 112 

Lập bảng ta có: 

Vậy a = 6 ⇒ (\(x\) + 1) \(\times\) \(x\) = 37 \(\times\) 36 ⇒ \(x\) = 36

Đáp số \(x\) = 36; a = 6 

      -1 + 0,35

= -( 0,65 + 0,35) + 0,35

= - 0,65 - 0,35 + 0,35 

= - 0,65 - (0,35 - 0,35)

= - 0,65 - 0

= -0,65 (đpcm)

Đpcm

M = 2050 \(\times\) 2052 = (2051 -1)\(\times\) 2052 = 2051 \(\times\) 2052 - 2052

N = 2051 \(\times\) 2051 = 2051 \(\times\) (2052 - 1) = 2051 \(\times\) 2052 - 2051 

Vì 2052 > 2051 nên 2051\(\times\) 2052 - 2052 < 2051 \(\times\)2052 - 2051 

vậy M < N 

\(\dfrac{1}{4}\) + \(\dfrac{1}{12}\) + \(\dfrac{1}{24}\) + \(\dfrac{1}{40}\) + \(\dfrac{1}{60}\) + \(\dfrac{1}{84}\) + \(x\) = 1

\(\dfrac{1}{2.2}\) + \(\dfrac{1}{2.6}\)+\(\dfrac{1}{2.12}\)+\(\dfrac{1}{2.20}\) + \(\dfrac{1}{2.30}\) + \(\dfrac{1}{2.42}\) +  \(x\) =1

\(\dfrac{1}{2}\).(\(\dfrac{1}{2}\) + \(\dfrac{1}{6}\)+\(\dfrac{1}{12}\)+\(\dfrac{1}{20}\) + \(\dfrac{1}{30}\)+ \(\dfrac{1}{42}\)) + \(x\) = 1

\(\dfrac{1}{2}\).( \(\dfrac{1}{1.2}\) + \(\dfrac{1}{2.3}\) + \(\dfrac{1}{3.4}\)  + \(\dfrac{1}{4.5}\)+ \(\dfrac{1}{5.6}\) + \(\dfrac{1}{6.7}\)) + \(x\) = 1

\(\dfrac{1}{2}\).( \(\dfrac{1}{1}\) - \(\dfrac{1}{2}\) + \(\dfrac{1}{2}\) - \(\dfrac{1}{3}\) + \(\dfrac{1}{3}\) - \(\dfrac{1}{4}\) + \(\dfrac{1}{4}\) - \(\dfrac{1}{5}\) + \(\dfrac{1}{5}\) - \(\dfrac{1}{6}\) + \(\dfrac{1}{6}\) - \(\dfrac{1}{7}\)) + \(x\) = 1

\(\dfrac{1}{2}\).( \(\dfrac{1}{1}\) - \(\dfrac{1}{7}\)) + \(x\) = 1

\(\dfrac{1}{2}\).\(\dfrac{6}{7}\) + \(x\) = 1

       \(\dfrac{3}{7}\) + \(x\) = 1 

              \(x\) = 1 -  \(\dfrac{3}{7}\)

               \(x\) = \(\dfrac{4}{7}\) 

M = 2050 \(\times\) 2052  = 2050 \(\times\) (2051+ 1)  = 2050 \(\times\) 2051 + 2050 

N = 2051\(\times\) 2051   = (2050 + 1)\(\times\) 2051   = 2050 \(\times\) 2051 + 2051

Vì 2050 < 2051  nên 2050 \(\times\) 2051 + 2050 < 2050 \(\times\) 2051 + 2051

Vậy M    <  N  

Trong phạm vi tiểu học thì em sẽ được học:

Phân số gồm tử số và mẫu số trong đó tử số và mẫu số là các số tự nhiên  và mẫu số khác không, tử số được viết trên dấu gạch ngang và mẫu số được viết dưới dấu gạch ngang

Kiến thức cần nhớ: Trung bình cộng của ba số tự nhiên liên tiếp bằng số thứ hai 

              Giải

Số thứ hai là: 444 : 3 = 148

Số thứ nhất là: 148 - 1 = 147

Số thứ ba là: 148 + 1 = 149

Trong ba số tự nhiên liên tiếp có tổng bằng 444 thì có 2 số là số lẻ và 1 số là số chẵn. Ba số đó lần lượt là: 147; 148; 149

Bài 1: Ta có sơ đồ

Theo sơ đồ ta có: Tuổi con hiện nay là: 56:(1+3) = 14 (tuổi)

                             Tuổi mẹ hiện nay là: 56 - 14 = 42 (tuổi)

Hiện nay, Mẹ hơn con: 42 - 14 = 28 (tuổi)

Hiệu số tuổi luôn không thay đổi theo thời gian, nên khi mẹ gấp hai lần tuổi con thì mẹ vẫn hơn con 28 tuổi

Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ ta có:

Tuổi con khi mẹ gấp 2 lần tuổi con là: 28:(2-1) = 28 (tuổi)

Mẹ sẽ gấp 2 lần tuổi con sau: 28 - 14 = 14(năm)

Đáp số: tuổi con hiện nay là 14 tuổi

             tuổi mẹ hiện nay là 42 tuổi

             mẹ gấp 2 lần tuổi con sau 14 năm nữa.

Bài 2: Tổng của hai số là: 120 \(\times\) 2 = 240 

           Tỉ số của số thứ nhất và số thứ hai là: \(\dfrac{1}{7}\) : \(\dfrac{1}{3}\) = \(\dfrac{3}{7}\)

Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ ta có: Số thứ nhất là: 240 : (3 + 7)\(\times\) 3 = 72

                             Số thứ hai là: 240 - 72 = 168

 Đáp số: Số thứ nhất 72; số thứ hai 168