Để tính công của lực kéo, ta cần tìm thành phần của lực kéo theo phương ngang, vì chỉ có thành phần này mới thực hiện công.

Lực kéo hợp với phương ngang một góc 60o, nên thành phần của lực kéo theo phương ngang là:

F_ngang = F x cos(60o)
= 200 N x 0,5
= 100 N

Công của lực kéo là:

A = F_ngang x s
= 100 N x 10 m
= 1000 J

Công suất của người đó là:

P = A / t
= 1000 J / 5 s
= 200 W

Vậy, công của lực kéo là 1000 J và công suất của người đó là 200 W.

Ta có: W_d = \frac{2}{3} W_t

Mà W_d + W_t = E = 37,5 J

Nên W_t = 37,5 - W_d = 37,5 - \frac{2}{3} W_t

Hay W_t = 22,5 J

Vậy W_d = 37,5 - 22,5 = 15 J

Ta có: W_d = \frac{1}{2} m v^2

Vậy v = \sqrt{\frac{2 W_d}{m}}

Ta có: W_t = m g h

Vậy m = \frac{W_t}{g h} = \frac{22,5}{10 \times 3} = 0,75 kg

Vậy v = \sqrt{\frac{2 \times 15}{0,75}} = 6,12 m/s

Vậy khối lượng của vật là 0,75 kg và vận tốc của vật ở độ cao đó là 6,12 m/s.

Để tính hiệu suất của hệ thống, ta cần tính công thực tế cần thiết để nâng vật lên và công thực tế được thực hiện bởi lực kéo F1.

Công thực tế cần thiết để nâng vật lên là:

A = m x g x h
= 200 kg x 10 m/s^2 x 10 m
= 20 000 J

Công thực tế được thực hiện bởi lực kéo F1 là:

A1 = F1 x s
= 1500 N x s

Để tìm s, ta cần tìm độ dài dây kéo cần thiết để nâng vật lên 10 m. Vì có 2 ròng rọc, nên độ dài dây kéo cần thiết là:

s = 2 x h
= 2 x 10 m
= 20 m

Vậy công thực tế được thực hiện bởi lực kéo F1 là:

A1 = 1500 N x 20 m
= 30 000 J

Hiệu suất của hệ thống là:

η = (A / A1) x 100%
= (20 000 J / 30 000 J) x 100%
= 66,67%

Vậy hiệu suất của hệ thống là 66,67%.

Lời giải:

a) Để tam thức bậc hai f(x) = x² + (m - 1)x + m + 5 dương với mọi x ∈ R, ta cần có:

Δ = (m - 1)² - 4(m + 5) < 0

(m - 1)² - 4m - 20 < 0

m² - 2m + 1 - 4m - 20 < 0

m² - 6m - 19 < 0

(m - 1)(m + 5) < 0

Vậy, để tam thức bậc hai f(x) dương với mọi x ∈ R, ta cần có:

-5 < m < 1

b) Để giải phương trình 2x² - 8x + 4 = x - 2, ta cần chuyển tất cả các hạng tử về một phía của phương trình:

2x² - 8x + 4 - x + 2 = 0

2x² - 9x + 6 = 0

Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức quadratic:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

trong đó a = 2, b = -9, c = 6.

x = (9 ± √((-9)² - 4(2)(6))) / (2(2))

x = (9 ± √(81 - 48)) / 4

x = (9 ± √33) / 4

Vậy, có hai nghiệm cho phương trình này:

x = (9 + √33) / 4 và x = (9 - √33) / 4.

Lời giải:

a) Để tính cos⁡α, ta cần tìm vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng Δ và Δ₁.

Vectơ pháp tuyến của Δ là: nΔ = (3, 4)

Vectơ pháp tuyến của Δ₁ là: nΔ₁ = (5, -12)

Ta có:

cos⁡α = (nΔ . nΔ₁) / (|nΔ| . |nΔ₁|)

= (3 . 5 + 4 . (-12)) / (√(3² + 4²) . √(5² + (-12)²))

= (15 - 48) / (√(9 + 16) . √(25 + 144))

= -33 / (√25 . √169)

= -33 / (5 . 13)

= -33 / 65

Vậy cos⁡α = -33/65.

b) Để viết phương trình đường thẳng vuông góc với Δ và tiếp xúc (C), ta cần tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng cần tìm.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng cần tìm là: n = (-4, 3)

Đường thẳng cần tìm có dạng: -4x + 3y + c = 0

Để đường thẳng này tiếp xúc (C), ta cần tìm c.

Ta có:

(-4(x - 3) + 3(y + 2)) / √((-4)² + 3²) = 6

(-4x + 12 + 3y + 6) / 5 = 6

-4x + 3y + 18 = 30

-4x + 3y - 12 = 0

Vậy phương trình đường thẳng vuông góc với Δ và tiếp xúc (C) là: -4x + 3y - 12 = 0.

Lời giải:

Gọi độ rộng viền khung ảnh là x (cm).

Kích thước của khung ảnh hình chữ nhật là: (17 + 2x) cm x (25 + 2x) cm

Diện tích của cả khung ảnh là: A = (17 + 2x)(25 + 2x) = 425 + 84x + 4x²

Để diện tích của cả khung ảnh lớn nhất là 513 (cm²), ta cần tìm giá trị lớn nhất của x sao cho:

425 + 84x + 4x² ≤ 513

4x² + 84x - 88 ≤ 0

x² + 21x - 22 ≤ 0

(x + 22)(x - 1) ≤ 0

Vậy, để diện tích của cả khung ảnh lớn nhất là 513 (cm²), độ rộng viền khung ảnh tối đa là x = 1 (cm).