Xét tam giác ABC có BN là tia pg, ta có:

AM/MB=AC/CB=AB/BC=AN/NC (=a/b)

suy ra MN//BC ( Định lí thales đảo)

suy ra MN/BC = AM/AB = b/b+a ( định lí thales)

Vậy MN = ab/a+b

a) Xét tam giác ABC có CD là tia phân giác nên ta có

AD/AB = AC/CB = 12/6 = 2

Suy ra  AD/AB = 2/3

Suy ra  AD = 2/3 x 12 = 8 (cm)

vậy,DB =12-8 =4

b) vì CE vuông góc với CD nên CE là phân giác ngoài tại đỉnh C 

vậy EB/EA =BC/AC

(=) EB/EB+BA = BC/AC

Gọi độ dài EB là x thì x/x+12 =6/12

Vậy x = 12 (cm)

 I là trung điểm của AC=>IA=IC

D đối xứng với H qua I=>ID=IH

=>AC cắt HD=I là trung điểm của ACvà HD

=>AHCD LÀ HÌNH BÌNH HÀNH

lại có H^=90*

=>AHCD LÀ HÌNH CHỮ NHẬT

Xét tam giác ABC có 

M là trung điểm của AC 

nên BM là dg trung tuyến của tam giác ABC

mà BM = 1/2 BC 

suy ra tam giác ABC vuông tại B

Xét hình thang ABCD có

góc ADC = góc BAD = góc ABC (=90 độ)

nên gíc BCD =90 độ

tứ giác ABCD có 4 góc vuông nên tứ giác ABCD là hcn

a ) Vì Ax ⊥ AC ⇒ AM ⊥ AC

mà BM // AC

⇒ AM ⊥ BM

Chứng minh tương tự ⇒ AQ // BM và BM // AQ (cmt)

Suy ra AMBQ là hình bình hành.

Mà $\widehat{AMB}=\widehat{MBQ}=\widehat{ABQ}=\widehat{MAQ}={90}^o$.

Vậy AMBQ là hcn

b)Tam giác ABI vuông tại I có đường trung tuyến IP nên IP=1/2AB

Do AMBQ là hình chữ nhật nên PQ=1/2MQ=1/2AB

Suy ra IP=PQ

Hay tam giác IPQ cân tại P