a) Ta có: $Ax\perp AC$ và $By$ // $AC$

Suy ra $Ax\perp By$ $\Rightarrow \widehat{AMB}=90^{\circ }$.

Xét $\Delta MAQ$ và $\Delta QBM$ có

$\widehat{MQA}=\widehat{BMQ}$ (so le trong);

$MQ$ là cạnh chung;

$\widehat{AMQ}=\widehat{BQM}$ ($Ax$ // $QB$).

Suy ra $\Delta MAQ=\Delta QBM$ (g-c-g)

Suy ra $\widehat{MBQ}=\widehat{MAQ}=90^{\circ }$ (2 góc tương ứng)

Xét tứ giác $AMBQ$ có: $\widehat{QAM}=\widehat{AMB}=\widehat{MBQ}=90^{\circ }$

Suy ra tứ giác $AMBQ$ là hình chữ nhật.

b) Do tứ giác $AMBQ$ là hình chữ nhật.

Mà $P$ là trung điểm AB$n\hat{e}n$PQ=\dfrac{1}{2}AB$ (1)

Xét $\Delta AIB$ vuông tại $I$ và có $IP$ là đường trung tuyến.

Suy ra $IP=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}AB$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow QP=IP\Rightarrow \Delta PQI$ cân tại $P$.

Xét $\Delta ABC$ có $BM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $AC$ mà $BM=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}AC$ suy ra $\Delta ABC$ vuông tại $B$.

Tứ giác $ABCD$ có $\hat{A}=\hat{D}=\hat{B}={90}^{\circ }$

Suy ra tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật. 

Ta có $IA=IC$ và $IH=ID$.

Suy  ra $AHCD$ là hình bình hành do có hai đường chéo $AC$ và $DH$ cắt nhau tại trung điểm $I$.

Mà $\widehat{AHC}=90^{\circ }$ suy ra $AHCD$ là hình chữ nhật.