Vì AB và CD là hai đường kính vuông góc nên hình vuông ABCD có tâm là O.

Gọi M là trung điểm của CD.

Ta có:

- AM là đường chéo của hình vuông ABCD
- AI là đoạn thẳng trên bán kính AO, với AI = 2AO/3

Vì AI = 2AO/3 nên điểm I chia đoạn AO thành hai phần, với phần AI dài hơn phần IO.

Ta có:

- CI là tia cắt đường tròn (O) tại E
- CE là đoạn thẳng trên tia CI

Vì hình vuông ABCD có tâm là O nên điểm M là trung điểm của CD cũng là điểm đối xứng với điểm A qua tâm O.

Ta có:

- AM = MO (vì A và M đối xứng qua O)
- AI = 2AO/3
- CE = 2/3 CM (vì CE và CM tương ứng với AI và AM)

Vậy CE = 2/3 CM = 2/3 (AO + MO) = 2/3 (2AO) = 4/3 AO

=> CE = 4/3 AO

Vì ΔABC vuông tại A nên đường kính của đường tròn ngoại tiếp ΔABC chính là cạnh huyền BC của tam giác.

Ta có AB = 6 cm và AC = 8 cm, nên theo định lý Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC²
= 6² + 8²
= 36 + 64
= 100

BC = √100 = 10 cm

Vậy đường kính của đường tròn ngoại tiếp ΔABC là 10 cm, nên bán kính r là:

r = 10:2 = 5 cm

=> r = 5 cm

Vì ΔABC vuông tại A nên đường phân giác của góc A cũng là đường trung trực của cạnh BC.

Gọi H là chân đường phân giác của góc A.

Ta có:

- AH là đường phân giác của góc A
- AH là đường trung trực của cạnh BC

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp nên I nằm trên đường phân giác của góc A.

Vì G là trọng tâm của tam giác nên G cũng nằm trên đường phân giác của góc A.

Ta có:

IG = 2/3 IH

Vì IH là đường phân giác của góc A nên IH = (AB + AC):2 = (9 + 12):2 = 10,5 cm

Vậy IG = 2/3 x 10,5 = 7 cm

=> IG = 7 cm