Xét tam giác ABC có BC ⊥ AB' và B'C'⊥ AB' nên suy ra BC // B'C'.

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có:

A

B

A

B

′

=

B

C

B

C

′

⇒

x

x

+

h

=

a

a

′

⇒

a

′

x

=

a

(

x

+

h

)

⇒

a

′

x

−

a

x

=

a

h

⇒

x

(

a

′

−

a

)

=

a

h

⇒

x

=

a

h

a

′

−

a

 (đpcm)

Trong ΔADB, ta có: MN // AB (gt)

Suy ra: hệ quả định lí ta-lét) (1)

Trong ΔACB, ta có: PQ // AB (gt)

Suy ra: Hệ quá định lí Ta-lét) (2)

Lại có: NQ // AB (gt)

       AB // CD (gt)

Suy ra: NQ // CD

Trong ΔBDC, ta có: NQ // CD (chứng minh trên)

Suy ra: (Định lí Ta-lét) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra hay MN = PQ. 

 Lấy D là trung điểm của cạnh BC.

Khi đó, AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD.

Ta có 

A

G

A

D

=

2

3

 hay 

A

G

=

2

3

A

D

.

Vì MG // AB, theo định lí Thalès, ta suy ra: 

A

G

A

D

=

B

M

B

D

=

2

3

.

Ta có BD = CD (vì D là trung điểm của cạnh BC) nên 

B

M

B

C

=

B

M

2

B

D

=

2

2

.

3

=

1

3

.

Do đó 

B

M

=

1

3

B

C

 (đpcm).

Ta có: AB // CD (gt), áp dụng hệ quả của định lý Ta – lét ta có:

Suy ra (hệ quả định lí ta-lét)

Vậy OA.OD = OB.OC