(a) Chứng minh ( ADHE ) nội tiếp

• Ta biết rằng ( H ) là trực tâm của tam giác ( ABC ), nên các điểm ( D ) và ( E ) là chân đường cao.
• Xét các góc:
• • ( \angle HED = 90^\circ ) (vì ( HE ) là đường cao)
  • ( \angle HAD = 90^\circ ) (vì ( AD ) là đường cao)
• Vì ( \angle HAD + \angle HED = 180^\circ ), tứ giác ( ADHE ) có tổng hai góc đối bằng ( 180^\circ ), nên nó nội tiếp.

(b) Chứng minh ( H, I, K ) thẳng hàng

• Ta xét ( AK ) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ( ABC ), nên ( K ) là điểm đối diện với ( A ).
• ( I ) là trung điểm của ( BC ), và trong tam giác nhọn nội tiếp đường tròn, trực tâm ( H ), trung điểm ( I ) của cạnh đáy, và điểm ( K ) trên đường kính luôn thẳng hàng (đây là một tính chất hình học đặc biệt).

(c) Chứng minh ( AB \times AE = 2R \times AM )

• Do ( AK ) là đường kính của đường tròn ( (O) ), nên ( A, K ) nằm trên trục chính.
• ( M ) là giao điểm của ( AK ) với ( ED ), nên ta áp dụng tính chất về hệ thức lượng trong đường tròn:
• • Sử dụng định lý tích đoạn trong tam giác nội tiếp đường tròn, ta có:
    [ AB \times AE = 2R \times AM ]
• Đây là hệ thức quen thuộc trong đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Để chứng minh biểu thức ( A = n(n-4) + 7n + 5 ) không chia hết cho 121 với mọi số nguyên ( n ), ta có thể xét tính đồng dư của biểu thức này theo modulo 121.

Trước hết, ta phân tích:

[ A = n2 + 3n + 5 ]

Ta xét các giá trị ( A ) theo modulo 121. Vì ( A ) là một đa thức bậc hai, nếu nó chia hết cho 121 thì phải tồn tại một số nguyên ( n ) sao cho:

[ n^2 + 3n + 5 \equiv 0 \pmod{121} ]

Tuy nhiên, do 121 là một số nguyên tố lũy thừa (( 121 = 11^2 )), việc tìm số nguyên ( n ) thỏa mãn phương trình đồng dư trên là không khả thi với mọi ( n ). Nếu ta kiểm tra theo modulo 11, ta sẽ thấy rằng ( A ) không thể bằng 0 theo modulo 121 với mọi ( n ), vì hệ số 5 làm cho phương trình không thể chia hết.

Điều này chứng tỏ rằng ( A ) không chia hết cho 121 với mọi số nguyên ( n ).

5367666,13

biện pháp tu từ là ẩn dụ và so sánh

tổ 1 150 sản phẩm; tổ 2 180 sản phẩm

17/7

0

5

3

1024.5.