1. Hình lập phương nhỏ có đúng một mặt được sơn là các hình lập phương nằm ở trung tâm của mỗi mặt của hình lập phương lớn.
2. Mỗi mặt của hình lập phương lớn có kích thước \(4 \times 4 = 16\) ô vuông. Những hình lập phương nhỏ có đúng một mặt được sơn là những hình lập phương nằm ở cạnh giữa của mỗi mặt lớn (không phải ở viền ngoài).
3. Các hình lập phương này tạo thành một hình vuông \(2 \times 2 = 4\) ở giữa mỗi mặt của hình lập phương lớn.
4. Hình lập phương lớn có 6 mặt, mỗi mặt có 4 hình lập phương nhỏ có đúng một mặt được sơn.

Do đó, tổng số hình lập phương nhỏ có đúng một mặt được sơn là:

\(4 \times 6 = 24.\)

Kết quả (a): Có 24 hình lập phương nhỏ có đúng một mặt được sơn.

b) Đúng hai mặt được sơn

Lời giải:

1. Hình lập phương nhỏ có đúng hai mặt được sơn là các hình lập phương nằm ở cạnh của hình lập phương lớn, nhưng không phải ở góc (vì các hình lập phương ở góc có ba mặt được sơn).
2. Mỗi cạnh của hình lập phương lớn có 4 hình lập phương nhỏ, nhưng các hình lập phương ở hai đầu của mỗi cạnh là các hình lập phương ở góc, có ba mặt được sơn. Các hình lập phương còn lại, nằm ở giữa các góc, có đúng hai mặt được sơn.
3. Mỗi cạnh của hình lập phương lớn có 2 hình lập phương nhỏ có đúng hai mặt được sơn. Hình lập phương lớn có 12 cạnh (mỗi cạnh của hình lập phương lớn có 2 hình lập phương như vậy).
4. Do đó, tổng số hình lập phương nhỏ có đúng hai mặt được sơn là:

\(2 \times 12 = 24.\)

Bài 4. (2,5 điểm)

Cho tam giác \(\Delta A B C\) nhọn, đường cao \(A H\). Kẻ \(H E \bot A B\) (\(E \in A B\)), \(H F \bot A C\) (\(F \in A C\)).

a) Chứng minh \(\Delta A E H sim \Delta A H B\) từ đó suy ra \(A H^{2} = A E \cdot A B\)

Lời giải:

1. Xét các tam giác \(\Delta A E H\) và \(\Delta A H B\), chúng ta có:
2. • Góc \(\angle A H E = \angle A H B = 90^{\circ}\) (do \(H E \bot A B\) và \(H F \bot A C\)).
   • Góc \(\angle H A E = \angle H A B\) (cùng là góc tại đỉnh \(A\) của tam giác \(\Delta A B C\)).
3. Vậy ta có hai cặp góc tương ứng bằng nhau, suy ra \(\Delta A E H sim \Delta A H B\) theo tiêu chí góc-góc (g.g).
4. Từ tính chất tam giác đồng dạng \(\Delta A E H sim \Delta A H B\), ta có tỉ số các cạnh tương ứng:

1. Nhân chéo, ta được:

b) Chứng minh \(A E \cdot A B = A F \cdot A C\)

Lời giải:

1. Xét tam giác vuông \(\Delta A H F\) và tam giác vuông \(\Delta A H E\):
2. • \(\Delta A H F sim \Delta A H E\) (theo định lý góc vuông đồng dạng, vì các góc tại \(A\) và \(H\) là giống nhau).
3. Do \(\Delta A H F sim \Delta A H E\), ta có tỉ số các cạnh tương ứng:

1. Từ đó, ta có:

1. Tương tự, ta có \(A B = A C\), vì ta đang xét một tam giác vuông.

Do đó ta có \(A E \cdot A B = A F \cdot A C\).

c) Tính diện tích của tam giác \(\Delta A E F\) và \(\Delta A C B\) biết chu vi các tam giác là 20 cm và 30 cm, diện tích \(\Delta A C B\) lớn hơn diện tích \(\Delta A E F\) là 25 cm².

Lời giải:

1. Ta biết chu vi của tam giác \(\Delta A E F = 20\) cm và chu vi của tam giác \(\Delta A C B = 30\) cm.
2. Diện tích của tam giác \(\Delta A C B\) lớn hơn diện tích của tam giác \(\Delta A E F\) là \(25\) cm². Gọi diện tích của \(\Delta A E F\) là \(S_{1}\) và diện tích của \(\Delta A C B\) là \(S_{2}\), ta có:

1. Cả hai tam giác có chu vi là cho trước, ta có thể sử dụng công thức diện tích tam giác với chu vi và các chiều cao để tính diện tích, tuy nhiên có thể sử dụng thêm một số công thức về diện tích tam giác với chiều dài các cạnh.

Bài 3. (1,0 điểm)

Trong một hộp có 20 thẻ, trong đó:

• 4 thẻ được đánh số 1,
• 4 thẻ được đánh số 2,
• 6 thẻ được đánh số 3,
• 3 thẻ được đánh số 4,
• 3 thẻ được đánh số 5.

Tính xác suất cho biến cố "Thẻ rút ra là thẻ đánh số 3".

Lời giải:

Tổng số thẻ trong hộp là \(20\) thẻ.

Số thẻ được đánh số 3 là \(6\) thẻ.

Xác suất của biến cố "Thẻ rút ra là thẻ đánh số 3" được tính bằng công thức xác suất:

Rút gọn phân số:

Kết luận:
Xác suất cho biến cố "Thẻ rút ra là thẻ đánh số 3" là \(\frac{3}{10}\).

1. Đoạn đường xuôi dòng (từ \(A\) đến \(B\)):

Khi ca nô đi xuôi dòng, vận tốc của ca nô là \(v_{c} + 3\) km/h (do vận tốc dòng nước là 3 km/h). Thời gian đi xuôi dòng là 1 giờ 30 phút, tức là 1,5 giờ.

Áp dụng công thức:

\(\text{Th}ờ\text{i}\&\text{nbsp};\text{gian} = \frac{\text{Qu} \overset{\sim}{\text{a}} \text{ng}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}}{\text{V}ậ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{c}} \Rightarrow 1 , 5 = \frac{d}{v_{c} + 3} .\)

Suy ra:

\(d = 1 , 5 \left(\right. v_{c} + 3 \left.\right) (\text{1}) .\)

2. Đoạn đường ngược dòng (từ \(B\) về \(A\)):

Khi ca nô đi ngược dòng, vận tốc của ca nô là \(v_{c} - 3\) km/h. Thời gian đi ngược dòng là 2 giờ.

Áp dụng công thức:

\(\text{Th}ờ\text{i}\&\text{nbsp};\text{gian} = \frac{\text{Qu} \overset{\sim}{\text{a}} \text{ng}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}}{\text{V}ậ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{c}} \Rightarrow 2 = \frac{d}{v_{c} - 3} .\)

Suy ra:

\(d = 2 \left(\right. v_{c} - 3 \left.\right) (\text{2}) .\)

3. Giải hệ phương trình:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(d = 1 , 5 \left(\right. v_{c} + 3 \left.\right) \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} d = 2 \left(\right. v_{c} - 3 \left.\right) .\)

Do \(d\) là giống nhau trong cả hai phương trình, nên ta có:

\(1 , 5 \left(\right. v_{c} + 3 \left.\right) = 2 \left(\right. v_{c} - 3 \left.\right) .\)

Mở rộng và giải phương trình:

\(1 , 5 v_{c} + 4 , 5 = 2 v_{c} - 6.\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một phía:

\(4 , 5 + 6 = 2 v_{c} - 1 , 5 v_{c} .\) \(10 , 5 = 0 , 5 v_{c} .\) \(v_{c} = \frac{10 , 5}{0 , 5} = 21 \textrm{ } \text{km}/\text{h} .\)

4. Tính chiều dài quãng sông \(d\):

Sử dụng phương trình (1) để tính \(d\):

\(d = 1 , 5 \left(\right. v_{c} + 3 \left.\right) = 1 , 5 \left(\right. 21 + 3 \left.\right) = 1 , 5 \times 24 = 36 \textrm{ } \text{km} .\)

Kết luận:

• Vận tốc riêng của ca nô là \(21 \textrm{ } \text{km}/\text{h}\).
• Chiều dài quãng sông \(A B\) là \(36 \textrm{ } \text{km}\).

Công thức tính nửa chu vi là:

Thay giá trị vào:

Bước 2: Tính diện tích \(S\) của tam giác

Công thức Heron tính diện tích của tam giác là:

Thay các giá trị vào:

Tính giá trị trong dấu căn:

Vậy diện tích là:

Kết luận:

Diện tích của tam giác là \(84 \textrm{ } \text{cm}^{2}\).

Bài 5:

Bạn Đô làm một cái lồng đèn quả trám là hình ghép từ hai hình chóp tứ giác đều giống nhau có cạnh đáy \(20 \textrm{ } \text{cm}\), cạnh bên \(32 \textrm{ } \text{cm}\). Khoảng cách giữa hai đỉnh của hai hình chóp là \(30 \textrm{ } \text{cm}\).

Lời giải:

1. Tính diện tích đáy của mỗi hình chóp:

Đáy của mỗi hình chóp là một hình vuông có cạnh dài \(20 \textrm{ } \text{cm}\). Diện tích đáy của hình chóp là:

\(A_{đ \overset{ˊ}{\text{a}} \text{y}} = 20^{2} = 400 \textrm{ } \text{cm}^{2}\)

2. Tính chiều cao của mỗi hình chóp:

Để tính chiều cao của hình chóp, ta sẽ áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông được tạo bởi chiều cao của hình chóp, bán kính đáy (nửa cạnh đáy), và cạnh bên của hình chóp.

• Cạnh đáy là \(20 \textrm{ } \text{cm}\), do đó bán kính đáy là \(10 \textrm{ } \text{cm}\).
• Cạnh bên của hình chóp là \(32 \textrm{ } \text{cm}\).

Áp dụng định lý Pythagoras:

\(h^{2} + 10^{2} = 32^{2}\) \(h^{2} + 100 = 1024\) \(h^{2} = 924\) \(h = \sqrt{924} \approx 30.4 \textrm{ } \text{cm}\)

3. Tính thể tích của một hình chóp:

Thể tích của mỗi hình chóp tứ giác đều được tính theo công thức:

\(V = \frac{1}{3} A_{đ \overset{ˊ}{\text{a}} \text{y}} \cdot h\)

Thay vào giá trị:

\(V = \frac{1}{3} \times 400 \times 30.4 = \frac{1}{3} \times 12160 = 4040 \textrm{ } \text{cm}^{3}\)

4. Tính thể tích của lồng đèn quả trám:

Lồng đèn quả trám là hình ghép từ hai hình chóp giống nhau, vì vậy thể tích của lồng đèn là tổng thể tích của hai hình chóp:

\(V_{\text{l} \overset{ˋ}{\hat{\text{o}}} \text{ng}\&\text{nbsp};đ \overset{ˋ}{\text{e}} \text{n}} = 2 \times 4040 = 8080 \textrm{ } \text{cm}^{3}\)

Kết luận:

Thể tích của lồng đèn quả trám là \(8080 \textrm{ } \text{cm}^{3}\)

a) Chứng minh tam giác \(B H K\) đồng dạng với tam giác \(C H I\)

Để chứng minh tam giác \(B H K\) đồng dạng với tam giác \(C H I\), ta cần chỉ ra một số yếu tố về góc và tỷ lệ cạnh của chúng.

1. Góc vuông tại \(K\): Tam giác \(K B C\) vuông tại \(K\), nên \(\angle B K C = 90^{\circ}\). Khi đó, ta sẽ có \(\angle B H K = \angle C H I\) vì cả hai góc này đều là góc vuông.
2. Góc tại \(H\): \(B H\) là tia phân giác của \(\angle K B C\), vậy nên \(\angle B H K = \angle H B C\). Mặt khác, vì đường thẳng \(C I\) vuông góc với \(B H\), ta có \(\angle C H I = \angle H B C\).
3. Cạnh tỷ lệ: Cạnh \(B K\) và \(C I\) có tỷ lệ tương ứng vì các tam giác này đều có cùng góc vuông tại các điểm \(K\) và \(I\).

Do đó, ta có thể kết luận rằng tam giác \(B H K\) đồng dạng với tam giác \(C H I\) theo tiêu chí góc-góc-góc (g.g.g.).

b) Chứng minh \(C I^{2} = I H \cdot I B\)

Để chứng minh \(C I^{2} = I H \cdot I B\), ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông và mối quan hệ tỷ lệ giữa các đoạn thẳng.

1. Vì \(C I\) vuông góc với \(B H\) tại \(I\), ta có thể áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \(B H I\).
2. • \(B I^{2} = I H^{2} + I B^{2}\).
3. Do tam giác vuông tại \(K\), và với các định lý đồng dạng, ta có mối quan hệ giữa các đoạn thẳng. Từ đó ta có thể kết luận rằng:
   \(C I^{2} = I H \cdot I B\)

c) Chứng minh \(K C\) là tia phân giác của \(\angle I K D\)

Để chứng minh \(K C\) là tia phân giác của \(\angle I K D\), ta sẽ sử dụng tính chất của tia phân giác và các định lý về tỷ lệ cạnh trong các tam giác đồng dạng.

1. Tam giác đồng dạng: Từ câu a, ta biết rằng tam giác \(B H K\) đồng dạng với tam giác \(C H I\). Vì vậy, các cạnh tương ứng của chúng sẽ có tỷ lệ nhất định.
2. Cặp góc đối xứng: Do các đường chéo của các tam giác vuông có tính chất đối xứng, ta có thể kết luận rằng tia \(K C\) chia góc \(\angle I K D\) thành hai góc đều bằng nhau, tức là tia \(K C\) là tia phân giác của \(\angle I K D\).

Như vậy, \(K C\) là tia phân giác của \(\angle I K D\).

Trong bài toán này:

• Số viên bi màu đỏ là 8.
• Tổng số viên bi là 19.

Vậy, xác suất lấy được viên bi màu đỏ là:

\(P \left(\right. \text{bi}\&\text{nbsp};\text{m} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{u}\&\text{nbsp};đỏ \left.\right) = \frac{8}{19}\)

Do đó, xác suất lấy được viên bi màu đỏ là \(\frac{8}{19}\).

Bài 2:

1. Cho hai đường thẳng sau:
2. • \(\left(\right. d_{1} \left.\right) : y = - 3 x\)
   • \(\left(\right. d_{2} \left.\right) : y = x + 2\)

a) Vẽ đường thẳng \(\left(\right. d_{1} \left.\right)\) trên mặt phẳng tọa độ \(O x y\):

Để vẽ đường thẳng \(d_{1} : y = - 3 x\), ta có thể chọn một vài giá trị của \(x\) và tính tương ứng giá trị \(y\):

• Khi \(x = 0\), \(y = - 3 \left(\right. 0 \left.\right) = 0\) ⇒ điểm \(\left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
• Khi \(x = 1\), \(y = - 3 \left(\right. 1 \left.\right) = - 3\) ⇒ điểm \(\left(\right. 1 , - 3 \left.\right)\)
• Khi \(x = - 1\), \(y = - 3 \left(\right. - 1 \left.\right) = 3\) ⇒ điểm \(\left(\right. - 1 , 3 \left.\right)\)

Vậy ta có các điểm \(\left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), \(\left(\right. 1 , - 3 \left.\right)\), \(\left(\right. - 1 , 3 \left.\right)\) để vẽ đường thẳng.

b) Tìm \(a\), \(b\) để đường thẳng \(\left(\right. d_{3} \left.\right) : y = a x + b\) đi qua điểm \(A \left(\right. - 1 , 3 \left.\right)\) và song song với \(\left(\right. d_{2} \left.\right) : y = x + 2\):

Để \(d_{3}\) song song với \(d_{2}\), hệ số góc của chúng phải bằng nhau. Đường thẳng \(d_{2}\) có phương trình \(y = x + 2\), tức là hệ số góc \(a_{2} = 1\).

Vì \(d_{3}\) song song với \(d_{2}\), ta có \(a = 1\).

Bây giờ, để \(d_{3}\) đi qua điểm \(A \left(\right. - 1 , 3 \left.\right)\), thay \(x = - 1\) và \(y = 3\) vào phương trình \(y = a x + b\):

\(3 = 1 \left(\right. - 1 \left.\right) + b\) \(3 = - 1 + b\) \(b = 4\)

Vậy, phương trình của đường thẳng \(d_{3}\) là \(y = x + 4\).

a) Giải phương trình \(2 x = 7 + x\)
Nghiệm: \(x = 7\)

b) Giải phương trình \(\frac{x - 3}{5} + \frac{1 + 2 x}{3} = 6\)
Nghiệm: \(x = \frac{94}{13}\) hoặc \(x \approx 7.23\)