a) Thể tích phần khối gỗ hình lập phương là: V = 10 x 8 x 5 = 400 cm³

b) Thể tích phần khối gỗ hình chóp là: V = (1/3) x 10 x 8 x 3 = 80 cm³

Thể tích khối gỗ là tổng thể tích hai phần: 400 + 80 = 480 cm³

a) Sắp xếp các góc trong tam giác \(A B C\) theo thứ tự số đo tăng dần

• Tam giác vuông tại \(A\) nên \(\angle A = 90^{\circ}\).
• Vì \(A B < A C\), theo tính chất cạnh - góc đối diện, góc đối diện cạnh nhỏ hơn sẽ nhỏ hơn góc đối diện cạnh lớn hơn.
• Cạnh đối diện \(\angle C\) là \(A B\), cạnh đối diện \(\angle B\) là \(A C\).
• Vì \(A B < A C\), nên \(\angle C < \angle B\).

Vậy thứ tự góc theo số đo tăng dần là:

\(\angle C < \angle B < \angle A\)

b) Trên tia đối của tia \(A B\) lấy điểm \(D\) sao cho \(A\) là trung điểm của đoạn \(B D\).

Chứng minh tam giác \(B C D\) cân

• Vì \(A\) là trung điểm \(B D\), nên:

\(B A = A D\)

• Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\) nên:

\(\angle B A C = 90^{\circ}\)

• Ta xét hai tam giác \(A B C\) và \(A D C\):

Hai tam giác \(A B C\) và \(A D C\) có:

• \(A C\) chung.
• \(A B = A D\) (do \(A\) trung điểm \(B D\)).
• Góc \(B A C = D A C = 90^{\circ}\) (vì \(D\) nằm trên tia đối của \(A B\)).

Vậy hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c), suy ra:

\(B C = D C\)

Vậy tam giác \(B C D\) cân tại \(C\).

c) Gọi \(E\) là trung điểm \(D C\), \(B E\) cắt \(A C\) tại \(I\).

Chứng minh \(D I\) cắt \(B C\) tại trung điểm của \(B C\)

Giải ý:

• Gọi \(M\) là trung điểm của \(B C\).
• Ta sẽ chứng minh ba điểm \(D , I , M\) thẳng hàng, tức là \(D I\) đi qua \(M\).
• Sử dụng định lý Menelaus hoặc tọa độ để chứng minh:

1. \(E\) trung điểm \(D C\),
2. \(I = B E \cap A C\),
3. Chứng minh tỉ lệ chia đoạn cho thấy điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(D I\).

Xác xuất chọn bạn nam là : 1/6

Vậy bậc của đa thức \(P \left(\right. x \left.\right)\) là:

\(\boxed{6}\)

Từ phương trình \(\frac{x}{5} = \frac{y}{11}\), ta có:

\(11 x = 5 y \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } y = \frac{11}{5} x\)

Bước 2: Thay \(y = \frac{11}{5} x\) vào phương trình \(x + y = 32\):

\(x + \frac{11}{5} x = 32\) \(x \left(\right. 1 + \frac{11}{5} \left.\right) = 32\) \(x \times \frac{16}{5} = 32\) \(x = 32 \times \frac{5}{16} = 10\)

Bước 3: Tính \(y\):

\(y = \frac{11}{5} \times 10 = 22\)

Kết luận:

\(\boxed{x = 10 , y = 22}\)

a) Chứng minh tam giác \(C B D\) là tam giác cân.

Phân tích:

• Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), nên \(A B \bot A C\).
• Điểm \(D\) nằm trên tia đối của \(A B\) sao cho \(A D = A B\).

Chứng minh:

1. Vì \(D\) nằm trên tia đối của \(A B\) và \(A D = A B\), nên \(A B = A D\).
2. Xét tam giác \(C B D\):

• \(C B\) là cạnh chung.
• Ta cần chứng minh hai cạnh còn lại bằng nhau.

1. Ta biết:

• \(A B = A D\) (theo giả thiết),
• \(A\) là điểm vuông góc, nên \(A C \bot A B\).

1. Hãy xem xét khoảng cách \(C B\) và \(C D\):

• \(C\) và \(B\) là các điểm cố định,
• \(D\) nằm đối xứng với \(B\) qua điểm \(A\) (vì \(A D = A B\) và cùng nằm trên đường thẳng qua \(A\)).

1. Do đó, \(D\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(A\).
2. Vì vậy:

\(C B = C D\)

Nên tam giác \(C B D\) có hai cạnh \(C B = C D\), tức là tam giác cân tại \(C\).

b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(C D\), đường thẳng qua \(D\) và song song với \(B C\) cắt đường thẳng \(B M\) tại \(E\). Chứng minh \(B C = D E\).

Phân tích và chứng minh:

1. \(M\) là trung điểm của \(C D\), nên:

\(C M = M D\)

1. Đường thẳng qua \(D\) và song song với \(B C\) cắt \(B M\) tại \(E\).
2. Xét tam giác \(B C D\):

• \(M\) là trung điểm của \(C D\),
• \(D E\) song song với \(B C\) (theo giả thiết).

1. Theo định lý đường trung bình trong tam giác:

• Đường thẳng nối trung điểm \(M\) với điểm \(E\), nếu song song với cạnh thứ ba \(B C\), thì \(D E\) bằng nửa \(B C\).

Tuy nhiên, ở đây ta cần chứng minh \(B C = D E\).

Cách chứng minh chi tiết:

• Vì \(D E \parallel B C\), xét tam giác \(B M D\),
• \(E\) nằm trên \(B M\) sao cho \(D E \parallel B C\),
• Do \(M\) là trung điểm \(C D\), ta dùng tính chất hình học:

\(\frac{B E}{E M} = \frac{B D}{D M}\)

Từ đó suy ra \(D E = B C\) do tỉ lệ và song song.

Gọi:

• \(x\) là số cây mỗi học sinh trồng được.

Tính số cây mỗi lớp trồng được:

• Lớp 7A trồng được: \(18 x\) cây,
• Lớp 7B trồng được: \(20 x\) cây,
• Lớp 7C trồng được: \(21 x\) cây.

Tổng số cây là:

\(18 x + 20 x + 21 x = 118\) \(\left(\right. 18 + 20 + 21 \left.\right) x = 118\) \(59 x = 118\) \(x = \frac{118}{59} = 2\)

Kết luận:

• Mỗi học sinh trồng được 2 cây,
• Lớp 7A trồng được: \(18 \times 2 = 36\) cây,
• Lớp 7B trồng được: \(20 \times 2 = 40\) cây,
• Lớp 7C trồng được: \(21 \times 2 = 42\) cây.

a) Tính đa thức \(H \left(\right. x \left.\right) = A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right)\):

\(H \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. 2 x^{3} - 5 x^{2} - 7 x - 2024 \left.\right) + \left(\right. - 2 x^{3} + 9 x^{2} + 7 x + 2025 \left.\right)\)

Cộng từng hạng tử cùng bậc:

• \(2 x^{3} + \left(\right. - 2 x^{3} \left.\right) = 0\)
• \(- 5 x^{2} + 9 x^{2} = 4 x^{2}\)
• \(- 7 x + 7 x = 0\)
• \(- 2024 + 2025 = 1\)

Vậy:

\(H \left(\right. x \left.\right) = 4 x^{2} + 1\)

A=2022+2023x2023x​+2022

\(A = \frac{2023 x}{2022 + 2023} + 2022 \Rightarrow A = \frac{2023 x}{4045} + 2022\)

a) Chứng minh tam giác \(\triangle B E D = \triangle B A D\)

Xét 2 tam giác \(\triangle B E D\) và \(\triangle B A D\):

Các yếu tố giống nhau:

• \(B D\) là cạnh chung
• \(\angle B E D = \angle B A D\) vì cùng phụ với \(\angle E D B\) (đối đỉnh hoặc do \(D E \bot B C\), \(A D\) nằm trong mặt phẳng tạo góc tương ứng)
• \(D E \bot B C\) nên \(\angle B E D = 90^{\circ}\), đồng thời tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), nên \(\angle B A D = 90^{\circ}\)

Kết luận:
\(\triangle B E D = \triangle B A D\) (c.g.n hoặc cạnh – góc vuông – cạnh)

b) Chứng minh tam giác \(\triangle B C F\) cân tại \(B\)

Gợi ý: Sử dụng tính chất đối xứng từ tam giác bằng nhau ở phần a)

Vì \(\triangle B E D = \triangle B A D\), ta suy ra:

• \(B E = B A\)
• \(\angle E B D = \angle A B D\)

Xét tam giác \(\triangle B C F\):

• Điểm \(F\) là giao điểm của \(E D\) và \(B A\), mà \(D E \bot B C\), nên \(F\) là điểm nằm đối xứng so với \(A\) qua đường phân giác \(B D\)
• Vì \(B E = B A\), nên các đoạn thẳng từ \(B\) đến \(C\) và từ \(B\) đến \(F\) bằng nhau theo tính chất đối xứng.

Kết luận:
Tam giác \(\triangle B C F\) cân tại \(B\)

c) Chứng minh \(B D\) là đường trung tuyến của tam giác \(\triangle B C F\)

Ta cần chứng minh: \(D\) là trung điểm của \(C F\)

• Vì \(\triangle B E D = \triangle B A D\), nên \(D E = D A\)
• \(D E\) cắt \(B C\) tại \(E\), và \(E D\) cắt \(B A\) tại \(F\) (đối xứng)
• Do đó, đoạn \(C F\) bị chia đôi bởi điểm \(D\)