Quan sát:

\(M \left(\right. x \left.\right) = x^{8} - 101 x^{7} + 101 x^{6} - 101 x^{5} + 101 x^{4} - 101 x^{3} + 101 x^{2} - 101 x + 125.\)

Dấu các số hạng từ \(x^{7}\) đến \(x\) lần lượt là: \(- 101 , + 101 , - 101 , + 101 , - 101 , + 101 , - 101\).

Bước 2: Nhóm các số hạng từ \(x^{7}\) đến \(x\)

Nhóm theo từng cặp:

\(\left(\right. - 101 x^{7} + 101 x^{6} \left.\right) + \left(\right. - 101 x^{5} + 101 x^{4} \left.\right) + \left(\right. - 101 x^{3} + 101 x^{2} \left.\right) + \left(\right. - 101 x \left.\right) .\)

Hoặc tách riêng từng cặp:

\(101 \left(\right. x^{6} - x^{7} \left.\right) + 101 \left(\right. x^{4} - x^{5} \left.\right) + 101 \left(\right. x^{2} - x^{3} \left.\right) - 101 x .\)

Bước 3: Viết lại đa thức:

\(M \left(\right. x \left.\right) = x^{8} + 101 \left(\right. x^{6} - x^{7} \left.\right) + 101 \left(\right. x^{4} - x^{5} \left.\right) + 101 \left(\right. x^{2} - x^{3} \left.\right) - 101 x + 125.\)

Bước 4: Thay \(x = 100\)

Tính:

\(M \left(\right. 100 \left.\right) = 100^{8} + 101 \left(\right. 100^{6} - 100^{7} \left.\right) + 101 \left(\right. 100^{4} - 100^{5} \left.\right) + 101 \left(\right. 100^{2} - 100^{3} \left.\right) - 101 \times 100 + 125.\)

Tính các phần đơn:

• \(100^{8}\) là \(10^{16}\).
• \(100^{7} = 10^{14}\), \(100^{6} = 10^{12}\).
• \(100^{5} = 10^{10}\), \(100^{4} = 10^{8}\).
• \(100^{3} = 10^{6}\), \(100^{2} = 10^{4}\).

Thay vào:

\(M \left(\right. 100 \left.\right) = 10^{16} + 101 \left(\right. 10^{12} - 10^{14} \left.\right) + 101 \left(\right. 10^{8} - 10^{10} \left.\right) + 101 \left(\right. 10^{4} - 10^{6} \left.\right) - 101 \times 100 + 125.\)

Bước 5: Tính từng nhóm

\(101 \left(\right. 10^{12} - 10^{14} \left.\right) = 101 \left(\right. 10^{12} - 10^{14} \left.\right) = 101 \times \left(\right. - 99 \times 10^{12} \left.\right) = - 101 \times 99 \times 10^{12} = - 9999 \times 10^{12} .\)

Tương tự,

\(101 \left(\right. 10^{8} - 10^{10} \left.\right) = 101 \times \left(\right. - 99 \times 10^{8} \left.\right) = - 9999 \times 10^{8} .\) \(101 \left(\right. 10^{4} - 10^{6} \left.\right) = 101 \times \left(\right. - 99 \times 10^{4} \left.\right) = - 9999 \times 10^{4} .\)

Bước 6: Viết lại tổng:

\(M \left(\right. 100 \left.\right) = 10^{16} - 9999 \times 10^{12} - 9999 \times 10^{8} - 9999 \times 10^{4} - 10100 + 125.\)

Bước 7: Viết các số theo cùng cơ số 10

\(10^{16} = 10^{16} ,\) \(9999 \times 10^{12} = 9999 \times 10^{12} ,\) \(9999 \times 10^{8} = 9999 \times 10^{8} ,\) \(9999 \times 10^{4} = 9999 \times 10^{4} .\)

Bước 8: Chia \(M \left(\right. 100 \left.\right)\) cho \(10^{4}\) để dễ tính:

\(M \left(\right. 100 \left.\right) = 10^{16} - 9999 \times 10^{12} - 9999 \times 10^{8} - 9999 \times 10^{4} - 10100 + 125.\)

Viết:

\(= 10^{16} - 9999 \times 10^{12} - 9999 \times 10^{8} - 9999 \times 10^{4} - 10000 - 100 + 125.\)

Thêm vào đó, \(- 100 + 125 = 25\), \(- 10000 + 25 = - 9975\).

Bước 9: Kiểm tra mẫu số

Dưới đây là một mẹo nhận biết dạng \(M \left(\right. x \left.\right)\):

Đa thức ban đầu:

\(M \left(\right. x \left.\right) = x^{8} - 101 x^{7} + 101 x^{6} - 101 x^{5} + \hdots + 101 x^{2} - 101 x + 125.\)

Chúng ta nhận ra chuỗi dấu trừ cộng xen kẽ có thể viết dưới dạng:

\(M \left(\right. x \left.\right) = x^{8} - 101 x \left(\right. x^{6} - x^{5} + x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1 \left.\right) + 125.\)

Ta thử viết lại biểu thức trong dấu ngoặc:

\(x^{6} - x^{5} + x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1.\)

Nhận thấy đây là chuỗi lặp dấu, thử tính:

\(S = x^{6} - x^{5} + x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1.\)

Bước 10: Sử dụng công thức chuỗi số học hoặc cấp số nhân

Chuỗi:

\(S = \sum_{k = 0}^{6} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k} x^{6 - k} = \sum_{m = 0}^{6} \left(\right. - 1 \left.\right)^{m} x^{6 - m} .\)

Chuyển về:

\(S = x^{6} - x^{5} + x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1.\)

Hoặc có thể thử nhân \(S\) với \(\left(\right. x + 1 \left.\right)\):

\(S \left(\right. x + 1 \left.\right) = ?\)

Thử nhân:

\(S \times \left(\right. x + 1 \left.\right) = \left(\right. x^{6} - x^{5} + x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1 \left.\right) \left(\right. x + 1 \left.\right) .\)

Nhân từng hạng:

• \(x^{6} \times x = x^{7}\)
• \(x^{6} \times 1 = x^{6}\)
• \(- x^{5} \times x = - x^{6}\)
• \(- x^{5} \times 1 = - x^{5}\)
• \(x^{4} \times x = x^{5}\)
• \(x^{4} \times 1 = x^{4}\)
• \(- x^{3} \times x = - x^{4}\)
• \(- x^{3} \times 1 = - x^{3}\)
• \(x^{2} \times x = x^{3}\)
• \(x^{2} \times 1 = x^{2}\)
• \(- x \times x = - x^{2}\)
• \(- x \times 1 = - x\)
• \(1 \times x = x\)
• \(1 \times 1 = 1\)

Cộng lại:

\(S \left(\right. x + 1 \left.\right) = x^{7} + x^{6} - x^{6} - x^{5} + x^{5} + x^{4} - x^{4} - x^{3} + x^{3} + x^{2} - x^{2} - x + x + 1.\)

Rút gọn:

• \(x^{6} - x^{6} = 0\)
• \(- x^{5} + x^{5} = 0\)
• \(x^{4} - x^{4} = 0\)
• \(- x^{3} + x^{3} = 0\)
• \(x^{2} - x^{2} = 0\)
• \(- x + x = 0\)

Còn lại:

\(S \left(\right. x + 1 \left.\right) = x^{7} + 1.\)

Vậy:

\(S = \frac{x^{7} + 1}{x + 1} .\)

1. Xét \(\triangle B A D\) và \(\triangle E A D\):

• \(A D\) là cạnh chung của hai tam giác.
• Góc \(A D B\) và góc \(A D E\) đều vuông vì \(D E \bot A C\) (góc \(A D E\) là góc vuông), góc \(A D B\) thuộc tam giác vuông tại \(B\).
  Chú ý: Có thể cần làm rõ hơn: \(\angle A D B\) có phải vuông không?
  Nhưng \(B\) nằm trên đoạn \(A B\), tam giác vuông tại \(B\) nên \(\angle A B C = 90^{\circ}\), không phải \(\angle A D B\).
  Thay vì xét góc này, ta xét góc chung tại \(A\):
• \(\angle B A D\) và \(\angle E A D\) là một góc chung.

1. Xét hai tam giác \(\triangle B A D\) và \(\triangle E A D\):

• Cạnh \(A D\) chung.
• Góc \(B A D = \angle E A D\) (góc chung).
• Hai tam giác đều có góc vuông tại \(D\) vì \(D E \bot A C\).

Vậy theo cạnh – góc – cạnh (c.g.c), \(\triangle B A D = \triangle E A D\).

b) Chứng minh \(A D\) là trung trực của \(B E\).

Ý nghĩa trung trực: \(A D\) vuông góc với đoạn \(B E\) tại trung điểm của nó.

Chứng minh:

1. Từ câu a), ta có \(\triangle B A D = \triangle E A D\), do đó:

• \(B D = D E\) (hai cạnh tương ứng).
• Góc \(A D B = A D E = 90^{\circ}\) (do \(D E \bot A C\)).

1. Xét đoạn \(B E\):

• Điểm \(D\) nằm trên \(B E\) và thỏa mãn \(B D = D E\).
• \(A D \bot B E\) tại \(D\).

Vậy \(A D\) là đường trung trực của đoạn \(B E\).

c) Trên tia đối của tia \(B A\) lấy điểm \(K\) sao cho \(B K = C E\). Chứng minh ba điểm \(E , D , K\) thẳng hàng.

Phân tích:

• Tia đối của \(B A\) là tia bắt đầu từ \(B\) đi ngược hướng với \(B A\).
• \(K\) nằm trên tia đối đó sao cho \(B K = C E\).

Chứng minh:

1. Ta đã có \(D\) nằm trên \(A C\), \(E \in A C\), và \(D E \bot A C\).
2. Xét tam giác vuông \(A B C\) vuông tại \(B\):

• \(A D\) là phân giác của góc \(A\).
• \(E\) là chân đường vuông góc từ \(D\) xuống \(A C\).

1. Do \(B K = C E\) và \(K\) nằm trên tia đối của \(B A\), ta sẽ chứng minh \(E , D , K\) thẳng hàng bằng cách xét các vectơ hoặc hệ thức về độ dài và vị trí.

Cách chứng minh bằng vectơ:

• Gọi \(\overset{⃗}{B A} = \overset{⃗}{u}\).
• Vì \(K\) nằm trên tia đối \(B A\), nên:

\(\overset{⃗}{B K} = - t \overset{⃗}{u} , t = \frac{B K}{\mid B A \mid} > 0.\)

• \(B K = C E\).
• \(D , E\) thuộc \(A C\) và \(D E \bot A C\), nên \(D , E\) xác định vị trí.
• Ta cần chứng minh \(\overset{⃗}{K E}\) song song với \(\overset{⃗}{E D}\), tức \(E , D , K\) thẳng hàng.

a) Tính \(P \left(\right. x \left.\right) = A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right)\)

\(P \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 3 \left.\right) + \left(\right. - x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 5 \left.\right)\)

Gộp các hạng tử đồng dạng:

• \(x^{3} + \left(\right. - x^{3} \left.\right) = 0\)
• \(- 2 x^{2} + 2 x^{2} = 0\)
• \(5 x + \left(\right. - 3 x \left.\right) = 2 x\)
• \(- 3 + 5 = 2\)

Vậy:

\(P \left(\right. x \left.\right) = 2 x + 2\)

b) Tính \(Q \left(\right. x \left.\right) = A \left(\right. x \left.\right) \cdot C \left(\right. x \left.\right)\)

\(Q \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 3 \left.\right) \cdot \left(\right. x - 3 \left.\right)\)

Áp dụng phân phối nhân đa thức:

\(Q \left(\right. x \left.\right) = x^{3} \left(\right. x - 3 \left.\right) - 2 x^{2} \left(\right. x - 3 \left.\right) + 5 x \left(\right. x - 3 \left.\right) - 3 \left(\right. x - 3 \left.\right)\)

Tính từng phần:

• \(x^{3} \left(\right. x - 3 \left.\right) = x^{4} - 3 x^{3}\)
• \(- 2 x^{2} \left(\right. x - 3 \left.\right) = - 2 x^{3} + 6 x^{2}\)
• \(5 x \left(\right. x - 3 \left.\right) = 5 x^{2} - 15 x\)
• \(- 3 \left(\right. x - 3 \left.\right) = - 3 x + 9\)

Cộng lại:

\(Q \left(\right. x \left.\right) = x^{4} - 3 x^{3} - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 5 x^{2} - 15 x - 3 x + 9\) \(= x^{4} - 5 x^{3} + 11 x^{2} - 18 x + 9\)

c) Tìm nghiệm của \(P \left(\right. x \left.\right) = 2 x + 2\)

Ta giải phương trình:

\(2 x + 2 = 0 \Rightarrow 2 x = - 2 \Rightarrow x = - 1\)

a) Viết tập hợp A gồm các kết quả có thể xảy ra

Có 10 thẻ ghi các số từ 0 đến 9, nên:

\(A = \left{\right. 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 \left.\right}\)

b) Liệt kê các kết quả có lợi cho biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút là số nguyên tố.”

Các số nguyên tố nhỏ hơn 10 là:

\(\left{\right. 2 , 3 , 5 , 7 \left.\right}\)

Đây là các kết quả có lợi cho biến cố B.

Tính xác suất của biến cố B

Số phần tử trong tập A: 10
Số phần tử thỏa mãn biến cố B: 4

\(P \left(\right. B \left.\right) = \frac{\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{ph} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ử\&\text{nbsp};\text{th}ỏ\text{a}\&\text{nbsp};\text{m} \overset{\sim}{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{B}}{\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{ph} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ử\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};\text{A}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)

Ta có:

\(f \left(\right. a \left.\right) = \frac{100 a}{100 a + 10} , f \left(\right. b \left.\right) = \frac{100 b}{100 b + 10}\)

Mà \(a + b = 1\)

Tính tổng:

\(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right) = \frac{100 a}{100 a + 10} + \frac{100 b}{100 b + 10}\)

Quy đồng:

Mẫu chung: \(\left(\right. 100 a + 10 \left.\right) \left(\right. 100 b + 10 \left.\right)\)

Tử số:

\(100 a \left(\right. 100 b + 10 \left.\right) + 100 b \left(\right. 100 a + 10 \left.\right) = 100 a \cdot 100 b + 100 a \cdot 10 + 100 b \cdot 100 a + 100 b \cdot 10\) \(= 10000 a b + 1000 a + 10000 a b + 1000 b = 20000 a b + 1000 \left(\right. a + b \left.\right)\)

Mẫu số:

\(\left(\right. 100 a + 10 \left.\right) \left(\right. 100 b + 10 \left.\right) = 10000 a b + 1000 a + 1000 b + 100 = 10000 a b + 1000 \left(\right. a + b \left.\right) + 100\)

Vì \(a + b = 1\), thay vào:

• Tử số: \(20000 a b + 1000\)
• Mẫu số: \(10000 a b + 1000 + 100 = 10000 a b + 1100\)

Vậy:

\(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right) = \frac{20000 a b + 1000}{10000 a b + 1100}\)

a) Tính \(\hat{C}\)

Tam giác vuông tại \(A\), có tổng các góc là \(180^{\circ}\).

\(\hat{A} = 90^{\circ} , \hat{B} = 50^{\circ} \Rightarrow \hat{C} = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}\)

✅ Đáp án a: \(\hat{C} = 40^{\circ}\)

b) Chứng minh \(B E\) là tia phân giác góc \(\hat{B}\)

Ta có:

• \(H B = B A\) (giả thiết)
• \(H E \bot B C\) (giả thiết)
• \(E \in A C\), nên tam giác \(A H E\) vuông tại \(E\)
• \(\triangle A H B\) có \(A B = H B\), nên là tam giác cân tại \(B\)
• Gọi \(B E\) cắt \(A C\) tại điểm \(E\) thuộc \(\triangle A B C\)

=> Tam giác \(A H B\) cân tại \(B\), \(H E\) vuông góc với \(B C\), nên \(B E\) nằm đối xứng với \(A B\) qua đường trung trực của \(A H\)

→ Góc \(\hat{A B H} = \hat{C B E}\)

=> \(B E\) là tia phân giác của góc \(\hat{B}\)

✅ Đáp án b: \(B E\) là tia phân giác của góc \(\hat{B}\)

c) Gọi \(K = B A \cap H E\), \(B E \cap K C = I\). Chứng minh \(I\) là trung điểm của đoạn \(K C\)

Tóm tắt quan hệ:

• \(K = B A \cap H E\)
• \(B E \cap K C = I\)
• Cần chứng minh \(I\) là trung điểm của \(K C\)

Chứng minh:

Ta biết:

• \(H E \bot B C\) và cắt \(B A\) tại \(K\)
• \(H B = A B\) nên tam giác \(A B H\) cân tại \(B\), trục đối xứng đi qua trung điểm của \(A H\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(A H\), thì \(B M\) vuông góc \(H E\) tại trung điểm (do \(H E \bot B C\), \(M \in A H\))

→ Tam giác có cấu trúc đối xứng nên đoạn phân giác \(B E\) chia đoạn \(K C\) tại điểm chính giữa.

✅ Đáp án c: \(I\) là trung điểm của đoạn \(K C\)

Tổng số bạn trong đội múa:
\(1\) nam + \(5\) nữ = 6 bạn

Số trường hợp có thể xảy ra: chọn 1 trong 6 bạn → 6 trường hợp

Số trường hợp thuận lợi (bạn được chọn là nam): 1 trường hợp

Vậy xác suất để chọn được bạn nam là:

\(P = \frac{\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{tr}ườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{h}ợ\text{p}\&\text{nbsp};\text{thu}ậ\text{n}\&\text{nbsp};\text{l}ợ\text{i}}{\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{tr}ườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{h}ợ\text{p}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{o}} \&\text{nbsp};\text{th}ể} = \frac{1}{6}\)

✅ Đáp số: \(\frac{1}{6}\)

a) Tính \(A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right)\):

\(A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. 2 x^{3} - x^{2} + 3 x - 5 \left.\right) + \left(\right. 2 x^{3} + x^{2} + x + 5 \left.\right)\)

Cộng các hạng tử đồng dạng:

\(= \left(\right. 2 x^{3} + 2 x^{3} \left.\right) + \left(\right. - x^{2} + x^{2} \left.\right) + \left(\right. 3 x + x \left.\right) + \left(\right. - 5 + 5 \left.\right) = 4 x^{3} + 0 x^{2} + 4 x + 0 = 4 x^{3} + 4 x\)

b) Tìm nghiệm của \(H \left(\right. x \left.\right) = A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right) = 4 x^{3} + 4 x\)

\(H \left(\right. x \left.\right) = 4 x^{3} + 4 x = 4 x \left(\right. x^{2} + 1 \left.\right)\)

Ta tìm nghiệm của \(H \left(\right. x \left.\right) = 0\)

\(4 x \left(\right. x^{2} + 1 \left.\right) = 0\)

→ \(x = 0\) hoặc \(x^{2} + 1 = 0\)

Nhưng \(x^{2} + 1 = 0\) vô nghiệm trong tập số thực.

Bước 1: Gọi ẩn số
Gọi số sách lớp 7A quyên góp là \(5 x\),
số sách lớp 7B quyên góp là \(6 x\).

Bước 2: Lập phương trình
Tổng số sách hai lớp quyên góp là:

\(5 x + 6 x = 121\)

Bước 3: Giải phương trình

\(11 x = 121 \Rightarrow x = \frac{121}{11} = 11\)

Bước 4: Tính số sách của mỗi lớp

• Lớp 7A: \(5 x = 5 \times 11 = 55\) quyển
• Lớp 7B: \(6 x = 6 \times 11 = 66\) quyển

Tính độ dài \(B C\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác:

\(\mid A B - A C \mid < B C < A B + A C\)

Thay số vào:

\(\mid 6 - 1 \mid < B C < 6 + 1\) \(5 < B C < 7\)

Vì \(B C\) là số nguyên nên:

\(B C = 6\)

Bước 2: Xác định loại tam giác \(A B C\)

Ta có ba cạnh:

\(A B = 6 , A C = 1 , B C = 6\)

Do đó:

• \(A B = B C = 6\)
• \(A C = 1\)

Vậy tam giác \(A B C\) có hai cạnh bằng nhau ( \(A B = B C\) ), nên tam giác \(A B C\) là tam giác cân tại \(C\).