Giải bài toán:

 Cho biểu thức:

\[

A = \frac{1}{x+4} + \frac{x}{x-4} + \frac{24 - x^2}{x^2 - 16}.

\]

 a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A

Vậy, điều kiện xác định của biểu thức A  là:

 b) Chứng minh \( A = \frac{5}{x-4} \):

Biểu thức ban đầu là:

\[

A = \frac{1}{x+4} + \frac{x}{x-4} + \frac{24 - x^2}{x^2 - 16}.

\]

1. Phân tích mẫu số trong \( \frac{24 - x^2}{x^2 - 16} \):  

   Ta có:

   \[

   x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4),

   \quad

   24 - x^2 = -(x^2 - 24) = -(x - 4)(x + 4).

   \]

   Do đó:

   \[

   \frac{24 - x^2}{x^2 - 16} = -1.

   \]

2. Biến đổi biểu thức \( A \):

   \[

   A = \frac{1}{x+4} + \frac{x}{x-4} - 1.

   \]

3. Quy đồng 2 phân số \( \frac{1}{x+4} \text{ và } \frac{x}{x-4} \):

   Mẫu số chung là \( (x-4)(x+4) \). Ta viết:

   \[

   \frac{1}{x+4} = \frac{x-4}{(x-4)(x+4)},

   \quad

   \frac{x}{x-4} = \frac{x(x+4)}{(x-4)(x+4)}.

   \]

   Do đó:

   \[

   \frac{1}{x+4} + \frac{x}{x-4} = \frac{(x-4) + x(x+4)}{(x-4)(x+4)} = \frac{x^2 + 4x + (x - 4)}{(x-4)(x+4)}.

   \]

   Tử số:

   \[

   x^2 + 4x + x - 4 = x^2 + 5x - 4.

   \]

   Vậy:

   \[

   \frac{1}{x+4} + \frac{x}{x-4} = \frac{x^2 + 5x - 4}{(x-4)(x+4)}.

   \]

4. Kết hợp với \(-1:\)

   Biểu thức \( A \) trở thành:

   \[

   A = \frac{x^2 + 5x - 4}{(x-4)(x+4)} - 1 = \frac{x^2 + 5x - 4 - (x^2 - 16)}{(x-4)(x+4)}.

   \]

   Tử số:

   \[

   x^2 + 5x - 4 - x^2 + 16 = 5x + 12.

   \]

   Vậy:

   \[

   A = \frac{5x + 12}{(x-4)(x+4)}.