Độ rộng viền khung ảnh tối đa là 1cm

a) Để tính cosα, ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng Δ và Δ1. Góc giữa hai đường thẳng được xác định bởi hệ số góc của chúng.

 

Tìm hệ số góc của Δ. Phương trình đường thẳng Δ là 3x + 4y + 7 = 0. Ta viết lại dưới dạng y = mx + c: 4y = -3x - 7 => y = (-3/4)x - 7/4. Hệ số góc của Δ là mΔ = -3/4.

 

Tìm hệ số góc của Δ1. Phương trình đường thẳng Δ1 là 5x - 12y + 7 = 0. Ta viết lại dưới dạng y = mx + c: 12y = 5x + 7 => y = (5/12)x + 7/12. Hệ số góc của Δ1 là mΔ1 = 5/12.

 

Tính cosα. Công thức tính cosα giữa hai đường thẳng có hệ số góc m1 và m2 là:

 

cosα = |(1 + mΔmΔ1)| / √[(1 + mΔ²) (1 + mΔ1²)]

 

cosα = |(1 + (-3/4)(5/12))| / √[(1 + (-3/4)²) (1 + (5/12)²)] = |(1 - 15/48)| / √[(1 + 9/16)(1 + 25/144)] = |(33/48)| / √[(25/16)(169/144)] = (11/16) / (513)/(1612) = (11/16) * (192/65) = 132/65

 

Đáp án: cosα = 132/65

 

b) Đường tròn (C) có tâm I(3, -2) và bán kính R = 6. Đường thẳng vuông góc với Δ có dạng 4x - 3y + c = 0. Để đường thẳng này tiếp xúc với (C), khoảng cách từ I đến đường thẳng phải bằng R.

 

Tính khoảng cách từ I(3, -2) đến đường thẳng 4x - 3y + c = 0:

d(I, Δ') = |4(3) - 3(-2) + c| / √(4² + (-3)²) = |18 + c| / 5

 

Đặt khoảng cách bằng bán kính: |18 + c| / 5 = 6 => |18 + c| = 30

 

Giải phương trình: 18 + c = 30 hoặc 18 + c = -30. Ta được c = 12 hoặc c = -48.

 

Viết phương trình đường thẳng:

 

4x - 3y + 12 = 0 hoặc 4x - 3y - 48 = 0

 

Đáp án: 4x - 3y + 12 = 0 hoặc 4x - 3y - 48 = 0

a) Để tam thức bậc hai $$f(x) = x^{2} + (m-1)x + m + 5$$

f(x)=x 

2

 +(m−1)x+m+5

 dương với mọi $$x \in R$$

x∈R

, điều kiện cần và đủ là:

 

Hệ số của $$x^{2}$$

x 

2

 

 phải dương. Điều này đã thỏa mãn vì hệ số của $$x^{2}$$

x 

2

 

 là 1 > 0.

 

$$\Delta < 0$$

Δ<0

. Ta có $$\Delta = (m-1)^{2} - 4(m+5) = m^{2} - 2m + 1 - 4m - 20 = m^{2} - 6m - 19$$

Δ=(m−1) 

2

 −4(m+5)=m 

2

 −2m+1−4m−20=m 

2

 −6m−19

.

 

Để $$\Delta < 0$$

Δ<0

, ta có $$m^{2} - 6m - 19 < 0$$

m 

2

 −6m−19<0

. Giải bất phương trình bậc hai này:

 

$$m = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(1)(-19)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{6 \pm 10}{2}$$

m= 

2

6± 

36−4(1)(−19)

 

 

 

 = 

2

6± 

100

 

 

 

 = 

2

6±10

 

 

 

$$m_{1} = -2$$

m 

1

 

 =−2

 và $$m_{2} = 8$$

m 

2

 

 =8

. Vậy $$-2 < m < 8$$

−2<m<8

.

 

Đáp án: $$-2 < m < 8$$

−2<m<8

 

b) Giải phương trình $$\sqrt{2x^{2} - 8x + 4} = x - 2$$

2x 

2

 −8x+4

 

 =x−2

.

 

Điều kiện xác định: $$2x^{2} - 8x + 4 \ge 0$$

2x 

2

 −8x+4≥0

 và $$x - 2 \ge 0$$

x−2≥0

.

$$2x^{2} - 8x + 4 = 2(x^{2} - 4x + 2) \ge 0 \Rightarrow x^{2} - 4x + 2 \ge 0$$

2x 

2

 −8x+4=2(x 

2

 −4x+2)≥0⇒x 

2

 −4x+2≥0

. $$\Delta' = 4 - 2 = 2 > 0$$

Δ 

′

 =4−2=2>0

, nên $$x \le 2 - \sqrt{2}$$

x≤2− 

2

 

 

 hoặc $$x \ge 2 + \sqrt{2}$$

x≥2+ 

2

 

 

.

 

$$x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$$

x−2≥0⇒x≥2

.

 

Kết hợp điều kiện, ta có $$x \ge 2 + \sqrt{2}$$

x≥2+ 

2

 

 

.

 

Bình phương hai vế: 2x 

2

 −8x+4=(x−2) 

2

 =x 

2

 −4x+4

.

$$2x^{2} - 8x + 4 = x^{2} - 4x + 4 \Rightarrow x^{2} - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 4) = 0$$

2x 

2

 −8x+4=x 

2

 −4x+4⇒x 

2

 −4x=0⇒x(x−4)=0

.

 

$$x = 0$$

x=0

 hoặc $$x = 4$$

x=4

.

 

Kiểm tra điều kiện:

$$x = 0$$

x=0

 không thỏa mãn điều kiện $$x \ge 2 + \sqrt{2}$$

x≥2+ 

2

 

 

.

 

$$x = 4$$

x=4

 thỏa mãn điều kiện $$x \ge 2 + \sqrt{2}$$

x≥2+ 

2

 

 

 vì 4 > 2 + \sqrt{2} \approx 3.414

4>2+ 

2

 

 ≈3.414

.

 

Đáp án: x = 4

x=4