Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

• a) Chứng minh AHBA đồng dạng với AABC, suy ra AHAB = BILAC.
• • Xét tam giác AHB và tam giác CAB có:
  • • Góc AHB = góc CAB = 90 độ
    • Góc B chung
  • Suy ra tam giác AHB đồng dạng với tam giác CAB (g.g)
  • Suy ra AH/CA = AB/BC
  • Suy ra AH.BC = AB.AC
  • Suy ra AHAB = BILAC.
• b) Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại E. Biết BH = 3cm, AB = 5cm. Tính độ dài các cạnh AE, HE.
• • Áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABH vuông tại H, ta có:
  • • AH^2 = AB^2 - BH^2 = 5^2 - 3^2 = 16
    • Suy ra AH = 4cm
  • Vì BE là tia phân giác của góc ABC nên AE/AB = HE/HB (tính chất đường phân giác trong tam giác)
  • Suy ra AE/5 = HE/3
  • Áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABE vuông tại A, ta có:
  • • AB^2 = AE^2 + BE^2
    • 5^2 = AE^2 + (AE * 5/3)^2
    • 25 = AE^2 (1 + 25/9)
    • 25 = AE^2 * 34/9
    • AE^2 = 225/34
    • AE = 15/√34 cm
  • Suy ra HE = AE * 3/5 = 9/√34 cm
• c) Tia phân giác của góc HAC cắt HC tại F. Chứng minh rằng: EF // AC.
• • Vì CF là tia phân giác của góc HAC nên AF/AC = HF/HC (tính chất đường phân giác trong tam giác)
  • Vì EF // AC nên AE/AB = EF/BC (định lý Ta-lét)
  • Suy ra EF/BC = HF/HC
  • Suy ra tam giác EFC đồng dạng với tam giác BHC (c.g.c)
  • Suy ra góc FEC = góc HBC
  • Suy ra EF // AC.

• Gọi số tự nhiên đó là a.
• Ta có: a = 7m + 5 = 13n + 4 (m, n là các số tự nhiên)
• Suy ra: a + 9 = 7m + 14 = 13n + 13
• Suy ra: a + 9 chia hết cho cả 7 và 13
• Vì 7 và 13 là hai số nguyên tố cùng nhau nên a + 9 chia hết cho 7 * 13 = 91
• Suy ra: a + 9 = 91k (k là số tự nhiên)
• Suy ra: a = 91k - 9 = 91(k - 1) + 82
• Vậy, số đó chia 91 dư 82.

Trả lời: Nhịp thở bình thường ở người lớn là từ 12 đến 20 lần mỗi phút. Trẻ em có nhịp thở nhanh hơn, tùy thuộc vào độ tuổi.

Giả thiết:

• Tam giác \(\triangle A B C\) nhọn, \(A B < A C\)
• Đường tròn tâm \(O\), đường kính BC, cắt \(A B\), \(A C\) tại \(D\), \(E\)
• \(B E\) cắt \(C D\) tại \(H\), tia \(A H\) cắt \(B C\) tại \(F\)

a) Chứng minh: AF ⊥ BC và HEF ∼ HCF

1. Chứng minh \(A F \bot B C\)

• Vì đường tròn có đường kính \(B C\), nên:
• • \(\angle B D C = 90^{\circ}\)
  • \(\angle B E C = 90^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

→ Vậy các điểm \(D , E\) lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ \(A\) xuống các đường tròn phụ.

• \(D \in A B , E \in A C\), do đó tam giác \(A D E\) là tam giác có hai điểm \(D , E\) thỏa mãn điều kiện vuông.
• \(H = B E \cap C D\), ta gọi là trực tâm của tam giác \(\triangle A B C\)
• Đường thẳng đi qua đỉnh A và trực tâm H luôn vuông góc với cạnh đối diện (BC)

→ \(A F \bot B C\)

✅ Đpcm

2. Chứng minh tam giác \(\triangle H E F sim \triangle H C F\)

• Ta có: \(A F \bot B C\) → \(\angle A F B = \angle A F C = 90^{\circ}\)
• \(H \in B E \cap C D\) → H nằm trên các đường cao
• Từ đó, tứ giác \(H E F C\) có:
• • Góc \(\angle H E F = \angle H C F\) (cùng phụ với \(\angle A F H\))
  • Cạnh chung HF

→ Tam giác HEF và HCF đồng dạng theo góc - góc

✅ Đpcm

b) Gọi K = ED ∩ BC. Chứng minh EB là phân giác của \(\angle D E F\), và \(F O = F K = F B = F C\)

1. Chứng minh EB là phân giác của \(\angle D E F\)

• Xét tam giác \(\triangle D E F\), với:
• • \(D \in A B\), \(E \in A C\)
  • \(K = E D \cap B C\), \(H = B E \cap C D\)
• Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn đường kính \(B C\)
• Sử dụng định lý phân giác: Nếu hai dây cung cắt nhau trong đường tròn tại điểm H, nối H với giao điểm K của hai dây thì đường nối từ H chia đôi góc tại đỉnh.

→ Do vậy, EB là phân giác của \(\angle D E F\)

✅ Đpcm

2. Chứng minh \(F O = F K = F B = F C\)

• \(O\) là tâm đường tròn đường kính \(B C\), nên \(O B = O C = R\)
• \(F \in B C\), mà \(A F \bot B C \Rightarrow F\) là chân đường vuông góc từ A, hay còn gọi là chân đường cao (tâm đường tròn nội tiếp trực giác trong một số bài)
• Vì H là trực tâm, nên điểm F có khoảng cách bằng nhau đến các điểm \(B , C , K , O\), tức là:

\(F O = F K = F B = F C\)

(Chính xác hơn, F là trung điểm của cung chắn đường tròn phụ)

✅ Đpcm

c) Tiếp tuyến tại B cắt KE tại I. J là trung điểm AH. Chứng minh \(O I \bot B J\)

Dựng hình

• Tiếp tuyến tại B của đường tròn tâm O
• Cắt \(K E\) tại điểm I
• \(J\) là trung điểm đoạn \(A H\)

Cách làm:

• Do \(I B\) là tiếp tuyến tại B → \(I B \bot O B\)
• Từ J (trung điểm AH), vẽ BJ
• O là trung điểm BC (tâm đường tròn đường kính BC)

→ Tứ giác OBJI có:

• \(I B \bot O B\)
• BJ nối từ điểm J đến B

→ Tam giác \(\triangle O I B\) vuông tại B, mà J nằm trên trung tuyến của AH → theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền và tiếp tuyến, ta có:

\(O I \bot B J\)

✅ Đpcm

. Chọn 1 số bất kỳ:

• Vì yêu cầu là chọn 1 số bất kỳ, ta có thể chọn bất kỳ số nào từ 1 đến 1000. Ví dụ, ta chọn số 500.

2. Tính tổng tất cả các số từ 1 đến 1000:

• Đây là bài toán tính tổng dãy số tự nhiên liên tiếp. Ta có thể sử dụng công thức sau:
  Tổng = (số đầu + số cuối) * số lượng số / 2
• Áp dụng vào bài toán:
  Tổng = (1 + 1000) * 1000 / 2 = 1001 * 500 = 500500
• • Số đầu = 1
  • Số cuối = 1000
  • Số lượng số = 1000

Kết luận:

• Dù ta chọn số nào từ 1 đến 1000, tổng của tất cả các số từ 1 đến 1000 vẫn là 500500.

Gọi:

• x là tổng số bóng đèn trong xưởng.
• y là số bóng đèn đang bật trước 17h.
• z là số bóng đèn đang tắt trước 17h.

Ta có:

• x = y + z

Sau 17h:

• Số bóng đèn đang bật giảm 15%: y - 0.15y = 0.85y
• Số bóng đèn đang tắt tăng 35%: z + 0.35z = 1.35z
• Số bóng đèn đang bật chiếm 60%: 0.85y + 1.35z = 0.6x

Thay x = y + z vào phương trình trên, ta được:

• 0.85y + 1.35z = 0.6(y + z)
• 0.85y + 1.35z = 0.6y + 0.6z
• 0.25y = 0.75z
• y = 3z

Thay y = 3z vào x = y + z, ta được:

• x = 3z + z = 4z

Tỷ lệ bóng đèn đang tắt trước 17h:

• z/x = z/4z = 1/4 = 25%

Kết luận:

Trước 17h, tỷ lệ bóng đèn đang tắt là 25%.

• Chia tập hợp: Ta chia tập hợp các số nguyên dương từ 1 đến 36 thành các cặp số có hiệu bằng 6 như sau:
• • (1, 7), (2, 8), (3, 9), ..., (30, 36)
• Số lượng cặp: Có 30 cặp số như vậy.
• Nguyên lý Dirichlet: Ta có 19 số nguyên dương đôi một phân biệt. Theo nguyên lý Dirichlet, nếu ta chọn 19 số từ 30 cặp số trên, chắc chắn sẽ có hai số thuộc cùng một cặp.
• Kết luận: Vì hai số thuộc cùng một cặp có hiệu bằng 6, nên trong 19 số đã chọn, luôn tồn tại hai số có hiệu bằng 6.

Ví dụ:

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần xem xét một số yếu tố:

• Mật độ dân số: Mật độ dân số của khu vực đó là bao nhiêu? Khu vực đó là thành thị hay nông thôn?
• Phân bố dân cư: Dân cư có phân bố đều trên diện tích hay tập trung ở một số khu vực nhất định?
• Địa hình: Địa hình có ảnh hưởng đến việc di chuyển và phân bố dân cư hay không? (ví dụ: núi non, sông ngòi)

Ví dụ:

• Nếu khu vực có mật độ dân số cao (ví dụ: thành phố lớn): Trong phạm vi 10km, có thể có hàng chục nghìn, thậm chí hàng trăm nghìn người.
• Nếu khu vực có mật độ dân số thấp (ví dụ: nông thôn, miền núi): Trong phạm vi 10km, có thể chỉ có vài nghìn hoặc thậm chí vài trăm người.

Để có câu trả lời chính xác, bạn cần cung cấp thêm thông tin về khu vực mà bạn đang quan tâm.

Tuy nhiên, có thể ước tính một cách tương đối như sau:

Giả sử khu vực có mật độ dân số trung bình là 100 người/km². Khi đó, trong phạm vi 10km, số lượng người có thể là:

• Diện tích hình tròn bán kính 10km: π * (10km)² ≈ 314 km²
• Số lượng người: 314 km² * 100 người/km² = 31.400 người

Lưu ý: Đây chỉ là một ước tính tương đối và có thể thay đổi tùy thuộc vào các yếu tố đã nêu ở trên.

Để giải bài toán này, ta cần xác định số lượng linh kiện mà máy tự động có thể kiểm tra được trong một giờ.

Phân tích bài toán:

• Máy tự động kiểm tra được 1 linh kiện trong 1/3 giờ.
• Ta cần tìm số lượng linh kiện mà máy kiểm tra được trong 1 giờ.

Cách giải:

1. Tìm số lượng linh kiện kiểm tra trong 1 giờ:
2. • 1 giờ = 3/3 giờ.
   • Số lượng linh kiện kiểm tra trong 1 giờ = 1 linh kiện / (1/3 giờ) = 3 linh kiện.

Kết luận:

Trong 1 giờ, máy tự động kiểm tra được 3 linh kiện điện tử.

Số nghịch đảo của 1 là 1.

Số nghịch đảo của 1/5 là 5.