Lấy D là trung điểm của cạnh BC.

Khi đó, AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD.

Ta có $\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$ hay $AG=\frac{2}{3}AD$.

Vì MG // AB, theo định lí Thalès, ta suy ra: $\frac{AG}{AD}=\frac{BM}{BD}=\frac{2}{3}$.

Ta có BD = CD (vì D là trung điểm của cạnh BC) nên $\frac{BM}{BC}=\frac{BM}{2BD}=\frac{2}{2.3}=\frac{1}{3}$.

Do đó $BM=\frac{1}{3}BC$ (đpcm).

Trong tam giác ADB, ta có: MN // AB (gt)

Suy ra $\frac{DN}{DB}=\frac{MN}{AB}$ (hệ quả định lí Thalès) (1)

Trong tam giác ACB, ta có: PQ // AB (gt)

Suy ra $\frac{CQ}{CB}=\frac{PQ}{AB}$ (hệ quả định lí Thalès) (2)

Lại có: NQ // AB (gt)

            AB // CD (gt)

Suy ra NQ // CD

Trong tam giác BDC, ta có: NQ // CD (chứng minh trên)

Suy ra $\frac{DN}{DB}=\frac{CQ}{CB}$ (định lí Thalès) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{MN}{AB}=\frac{PQ}{AB}$hay MN = PQ (đpcm).

Xét tam giác $ABC$ có $BC\perp A{B}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp A{B}^{\prime }$ nên suy ra $BC$ // $B^{\prime }{C}^{\prime }$.

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có: $\genfrac{}{}{0ex}{}{AB}{A{B}^{\prime }}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{B{C}^{\prime }}$

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x+h}=\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{a^{\prime }}$

$a^{\prime }.x=a(x+h)$

$a^{\prime }.x-ax=ah$

$x(a^{\prime }-a)=ah$

$x=\genfrac{}{}{0ex}{}{ah}{a^{\prime }-a}$.

Ta có: AB // CD (gt), áp dụng hệ quả của định lý Ta – lét ta có:

Suy ra (hệ quả định lí ta-lét)

Vậy OA.OD = OB.OC

a) Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC.

Do AD // BC nên $\widehat{ADB}=\widehat{CBD}$

 (so le trong)

Xét DADH và DCBK có:

$\widehat{AHD}=\widehat{CKB}=90°$

;

AD = BC (chứng minh trên);

$\widehat{ADH}=\widehat{CBK}$

 (do $\widehat{ADB}=\widehat{CBD}$  

).

Do đó DADH = DCBK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng).

Ta có AH ⊥ DB và CK ⊥ DB nên AH // CK.

Tứ giác AHCK có AH // CK và AH = CK nên AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
 

b) Do AHCK là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của HK (giả thiết) nên I là trung điểm của AC.

Do ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của AC nên I là trung điểm của BD, hay IB = ID.