Xét tam giác $ABC$ có $BC\perp A{B}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp A{B}^{\prime }$ nên suy ra $BC$ // $B^{\prime }{C}^{\prime }$

theo hệ quả định lí thales có \(\dfrac{AB}{AB'}\)=\(\dfrac{BC}{BC'}\)

suy ra \(\dfrac{x}{x+h}\)=\(\dfrac{a}{a'}\)

a'.x= a.( x + h )

a'.x - ax = ah

x( a' -a ) = ah 

x=\(\dfrac{ah}{a'-a}\)

Trong tam giác $ADB$, ta có: $MN$ // $AB$ (gt) 

Suy ra \(\dfrac{DN}{DB}\)=\(\dfrac{MN}{AB}\) (1) 

Trong tam giác $ACB$, ta có: $PQ$ // $AB$ (gt) 

Suy ra \(\dfrac{CQ}{CB}\)=\(\dfrac{PQ}{AB}\) (2) 

Lại có: $NQ$ // $AB$ (gt); $AB$ // $CD$ (gt)

Suy ra $NQ$ // $CD$

Trong tam giác $BDC$, ta có: $NQ$ // $CD$ (chứng minh trên)
DNDB =MNAB​=Suy ra \(\dfrac{DN}{DB}\)=\(\dfrac{CQ}{CB}\) (3) 

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{MN}{AB}\)=\(\dfrac{PQ}{AB}\) $hay$MN = PQ
​ADB
MNN // AB

lấy D là trung điểm của BC
khi đó AD là đường trung tuyến của △ABC 

vì G là trọng tâm tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD 

ta có \(\dfrac{AG}{AD}\)=\(\dfrac{2}{3}\)  hay  AG=\(\dfrac{2}{3}\)AD 

vì MG //AB theo định lí thales có

\(\dfrac{AG}{AD}\)=\(\dfrac{BM}{BD}\)=\(\dfrac{2}{3}\)

có  BD=CD ( vì D là trung điểm ) nên \(\dfrac{BM}{BC}\)=\(\dfrac{BM}{2BD}\)=\(\dfrac{2}{2.3}\)=\(\dfrac{1}{3}\)

do đó BM=\(\dfrac{1}{3}\)BC

Vì ABCD là hình thang nên : 

⇒ AB // CD

áp dụng hệ quả định lí thales có : 

\(\dfrac{OA}{OC}\)=\(\dfrac{OB}{OD}\)

⇒ OA.OD=OB.OB

Áp dụng định lí Thales trong △ :

+, DE // AC ⇒ \(\dfrac{AE}{AB}\)=\(\dfrac{CD}{BC}\) 

+, DF // AB ⇒ \(\dfrac{AF}{AC}\)=\(\dfrac{BD}{BC}\) 

⇒ \(\dfrac{AE}{AB}\)+\(\dfrac{AF}{AC}\)=\(\dfrac{CD}{BC}\)+\(\dfrac{BD}{BC}\)=\(\dfrac{BC}{BC}\)=1

a, Vì ABCD là hbh nên  AB=DC  ⇒   \(\dfrac{1}{2}\)AB=\(\dfrac{1}{2}\)DC

Do đó AM=BM=DN=CN 

Có AM // NC  1

     AM=NC    2

Từ 1 và 2 suy ra  AMCN là hbh 

Có △ADC vg tại A có AN là đg trung tuyến nên AN=\(\dfrac{1}{2}\)DC=DN=CN

Hình bình hành AMCN có AN=CN nên suy ra AMCN là hình thoi 

⇒ 2 đg chéo AC và MN vg góc với nhau

b, Tứ giác AMCN là hình thoi ( cmt )

Ta có ABCD là hình thoi nên  AC\(\perp\)BD  tại trung điểm mỗi đường nên BD là trung trực của AC

⇒ GA=GC , HA=HC        1  

mà AC là đường  trung trực của BD ⇒  AG=CH ,  CG=CH      2

Từ 1,2 ⇒  AG=GC=CH=HA  nên AGCH là hình thoi