$BC\perp A{B}^{\prime };B^{\prime }{C}^{\prime }\perp A{B}^{\prime }$ => BC//B'C'

$\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{AB}{A{B}^{\prime }}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x+h}=\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{a^{\prime }}$

$\Rightarrow a^{\prime }x=ax+ah\Rightarrow x\left(a^{\prime }-a\right)=ah\Rightarrow x=\genfrac{}{}{0ex}{}{ah}{a^{\prime }-a}\left(dpcm\right)$

Trong tam giác $ADB$, ta có: $MN$ // $AB$ (gt)

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{DN}{DB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{MN}{AB}$ (hệ quả định lí Thalès) (1)

Trong tam giác $ACB$, ta có: $PQ$ // $AB$ (gt)

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{CQ}{CB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{PQ}{AB}$ (hệ quả định lí Thalès) (2)

Lại có: $NQ$ // $AB$ (gt); $AB$ // $CD$ (gt)

Suy ra $NQ$ // $CD$

Trong tam giác $BDC$, ta có: $NQ$ // $CD$ (chứng minh trên)

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{DN}{DB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{CQ}{CB}$ (định lí Thalès) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{MN}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{PQ}{AB}hay$MN 

Khi đó, $AD$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên điểm $G$ nằm trên cạnh $AD$.

Ta có $\genfrac{}{}{0ex}{}{AG}{AD}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}$ hay $AG=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}AD$.

Vì $MG$ // $AB$, theo định lí Thalès, ta suy ra: $\genfrac{}{}{0ex}{}{AG}{AD}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BM}{BD}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}$.

Ta có $BD=CD$ (vì $D$ là trung điểm của cạnh $BC$) nên $\genfrac{}{}{0ex}{}{BM}{BC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BM}{2BD}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2.3}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}$.

Do đó $BM=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}BC$ (đpcm).

$ABCD$ là hình thang suy ra $AB$ // $CD$.

Áp dụng hệ quả định lí Thalès, ta có: $\genfrac{}{}{0ex}{}{OA}{OC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{OB}{OD}$

Suy ra $OA.OD=OB.OC$ (đpcm).

AEAB+AFAC=CDBC+BDBC=BCBC=1

ABCD là hình bình hành ⇒ AD//BC và AD = BC.

+ AD // BC ⇒ DE // BF

+ E là trung điểm của AD ⇒ DE = AD/2

F là trung điểm của BC ⇒ BF = BC/2

Mà AD = BC ⇒ DE = BF.

+ Tứ giác BEDF có:

DE // BF và DE = BF

⇒ BEDF là hình bình hành

⇒ BE = DF.

Xét tgABC có 2 đg t/tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là tọng tâm của tg ABC =>GM=GB/2; GN=GC/2 (1)

Mà P là t/điểm của GB nên GP=PB=GB/2 (2)

Q là tđ của GC nên GQ=QC=GC/2 (3)

từ (1)(2)(3) =>GM=GP và GN=GQ

do đó tgiacs PQMN có 2 đg chéo MP và NQ cắt nhau tại tddiem G của mỗi đg nên là hbh

a,Vì ABCD là hình bình hành
=> góc A = C
AB = DC
AD = BC => AE = CF
Xét tam giác AEB và CFD có :
AE = CF ( cmt )
AB = DC ( cmt )
goc A = C
=> tam giác AEB = CFD ( c-g-c)
=> EB = DC ( 2 cạnh tương ứng )

=> góc ABE = CDF ( 2 goc tương ứng )

b)Vì ABCD là hbh
=> AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường (1)
Lại có : EBFD là hbh
=> BD cắt È tại trung điểm của mỗi đường ( 2)
Từ (1)và ( 2) => AC , BD , EF thẳng hàng ( đpcm)