​

Gọi OK là khoảng cách từ O đến dây MN

Suy ra: K là trung điểm của MN

Xét ΔOMN có OM=ON=MN

nên ΔOMN đều

Xét ΔOKN vuông tại K có 

$O{N}^2=O{K}^2+K{N}^2$

hay $OK=\frac{R\sqrt{3}}{\mathrm{2v}}$

Vì MN vuông góc với OA tại trung điểm của OA

nên MN$\perp$OA tại I

ΔOMN cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của MN

Xét tứ giác OMAN có

I là trung điểm chung của OA và MN

=>OMAN là hình bình hành

Hình bình hành OMAN có OM=ON

nên OMAN là hình thoi

b: OMAN là hình thoi

=>OM=MA

=>OM=MA=OA

=>ΔOMA đều

Xét ΔOMA đều có MI là đường cao

nên $MI=OA\cdot \genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{3}}{2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\left(cm\right)$

I là trung điểm của MN

=>$MN=2\cdot MI=2\cdot 5\sqrt{3}=10\sqrt{3}\left(cm\right)$

ΔABC nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

Xét ΔCAB vuông tại C có $sinB=\genfrac{}{}{0ex}{}{AC}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$

nên $\hat{B}=30^0$

ΔCAB vuông tại C

=>$\hat{A}+\hat{B}=90^0$

=>$\hat{A}=90^0-30^0=60^0$

a) Ta có: $\frac{O{A}^{\prime }}{OA}=\frac{r}{R};\frac{O{B}^{\prime }}{OB}=\frac{r}{R},$  suy ra $\frac{O{A}^{\prime }}{OA}=\frac{O{B}^{\prime }}{OB}.$

b) Xét ∆OAB có $\frac{O{A}^{\prime }}{OA}=\frac{O{B}^{\prime }}{OB}$  nên AB // A’B’ (theo định lí Thalès đảo).

⦁ Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD. (1)

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD của hình chữ nhật.

Khi đó, O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình chữ nhật) nên $OA=OC=\frac{1}{2}AC;OB=OD=\frac{1}{2}BD.$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $OA=OC=OB=OD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD.$

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn đường kính AC, BD.

⦁ Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat{ADC}=90°.$

Xét ∆ADC vuông tại D, theo định lí Pythagore, ta có:

AC2 = AD2 + DC2 = 182 + 122 = 468.

Do đó $AC=\sqrt{468}=\sqrt{6^2\cdot 13}=6\sqrt{13}\text{(cm).}$

Vậy bán kính đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D là $\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{13}=3\sqrt{13}\text{(cm).}$

⦁ Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD. (1)

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD của hình chữ nhật.

Khi đó, O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình chữ nhật) nên $OA=OC=\frac{1}{2}AC;OB=OD=\frac{1}{2}BD.$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $OA=OC=OB=OD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD.$

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn đường kính AC, BD.

⦁ Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat{ADC}=90°.$

Xét ∆ADC vuông tại D, theo định lí Pythagore, ta có:

AC2 = AD2 + DC2 = 182 + 122 = 468.

Do đó $AC=\sqrt{468}=\sqrt{6^2\cdot 13}=6\sqrt{13}\text{(cm).}$

Vậy bán kính đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D là $\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{13}=3\sqrt{13}\text{(cm).}$

a) Vì hai đường tròn (A; 6 cm) và (B; 4 cm) cắt nhau tại C và D nên C, D cùng nằm trên hai đường tròn (A; 6 cm) và (B; 4 cm), do đó AC = AD = 6 cm và BC = BD = 4 cm.

b) Do I là giao điểm của đường tròn (B; 4 cm) với đoạn thẳng AB nên I nằm giữa hai điểm A, B và I nằm trên đường tròn (B; 4 cm), do đó BI = 4 cm.

Vì I nằm giữa hai điểm A, B nên ta có: AI + IB = AB

Suy ra AI = AB – IB = 8 – 4 = 4 (cm).

Ta có I nằm giữa hai điểm A, B và AI = BI nên I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

c) Do K là giao điểm của đường tròn (A; 6 cm) với đoạn thẳng AB nên K nằm trên đường tròn (A; 6 cm), do đó AK = 6 cm.

Ta có AI < AK (4 cm < 6 cm) nên I nằm giữa hai điểm A, K.

Do đó AI + IK = AK

Suy ra IK = AK – AI = 6 – 4 = 2 (cm).

Vậy IK = 2 cm.

a.Gọi $MO\cap \left(O\right)=N,M\ne N$

$\to M,N$ đối xứng qua $O$

 $\to N$ đối xứng với $M$ qua $O$

b.Kẻ $MP\perp AB=P,P\in \left(O\right),P\ne M$

$\to P$ đối xứng với $N$ qua $AB$

BC cố định => B cố định

AB=4 cm không đổi

=> A chạy trên đường tròn tâm B bán kính AB

b/

Từ M dựng đường thẳng // AB cắt BC tại D

=> D là trung điểm của BC (Trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

=> MD là đường trung bình của tg ABC => $MD=\genfrac{}{}{0ex}{}{AB}{2}$

Ta có BC cố định =>D cố định

MD không đổi

=> M chạy trên đường tròn tâm D bán kính MD

a) Vì AB là dây cung của đường kính (O; R) nên ta có OA = OB = R.

Khi đó, O nằm trên đường trung trực của AB.

Lại có M là trung điểm của AB nên M cũng nằm trên đường trung trực của AB.

Do đó OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

b) Vì M là trung điểm của AB nên ta có $MA=MB=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4\text{(cm).}$

Vì OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OM ⊥ AB hay ∆OAM vuông tại M.

Theo định lí Pythagore ta có: OA2 = OM2 + AM2

Suy ra OM2 = OA2 – AM2 = 52 – 42 = 9.

Do đó OM = 3 cm.

Vậy khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB là 3 cm.