Tóm tắt bài toán:

• Cho tứ giác lồi \(A B C D\)
• Gọi \(M\) là trung điểm của \(A B\), \(N\) là trung điểm của \(C D\)
• Đường thẳng \(M N\) cắt hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) tại hai điểm sao cho góc tạo bởi \(M N\) với hai đường chéo bằng nhau
• Chứng minh: \(A C = B D\)

Cách giải dễ hiểu:

1. Giả sử:

• \(M N\) cắt \(A C\) tại \(E\), và cắt \(B D\) tại \(F\)
• Đề bài cho:
    \(\angle E M N = \angle F M N\) (hai góc tạo bởi \(M N\) và hai đường chéo bằng nhau)

2. Lập luận từ hình học:

Hai tam giác \(\triangle A M E\) và \(\triangle D N F\) có:

• \(A M = M B\) (vì M là trung điểm của AB)
• \(D N = N C\) (vì N là trung điểm của CD)
• \(\angle E M N = \angle F M N\) (giả thiết)

→ Hai tam giác này đồng dạng (cạnh – góc – cạnh)

→ Từ đồng dạng ⇒ tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau:

\(\frac{A E}{M E} = \frac{D F}{M F} \Rightarrow A E = D F (\text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp};\text{ME}\&\text{nbsp};=\&\text{nbsp};\text{MF})\)

Tương tự, bạn có thể chứng minh các đoạn còn lại cũng bằng nhau.

Kết luận:

Từ đó suy ra:

\(A C = A E + E C = D F + F B = B D\)

➡ Hai đường chéo bằng nhau.

Giả sử có số hữu tỉ đó:

Gọi số đó là \(x = \frac{a}{b}\), trong đó:

• \(a , b\) là số nguyên
• \(b \neq 0\)
• Phân số \(\frac{a}{b}\) đã rút gọn rồi (nghĩa là không có số nào chia hết cả tử và mẫu)
• BÌNH PHƯƠNG 2 VẾ

\(x^{2} = \left(\left(\right. \left(\right. \frac{a}{b} \left.\right) \left.\right)\right)^{2} = \frac{a^{2}}{b^{2}}\)

Giả sử \(x^{2} = \frac{3}{4}\), ta có:

\(\frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{3}{4}\)

Nhân chéo:

\(4 a^{2} = 3 b^{2}\)

Giờ ta phân tích:

• Phía trái là 4 × a² → chia hết cho 4
• Phía phải là 3 × b²

=> Vế trái chia hết cho 4 ⇒ vế phải cũng phải chia hết cho 4 ⇒ \(b^{2}\) phải chia hết cho 4 ⇒ \(b\) chia hết cho 2

Tương tự:

• Vế phải là 3 × b² ⇒ chia hết cho 3
  ⇒ vế trái cũng phải chia hết cho 3 ⇒ \(a^{2}\) chia hết cho 3 ⇒ \(a\) chia hết cho 3

→ Vậy cả a và b đều chia hết cho 3 (hoặc 2), tức là chưa tối giản.

Mâu thuẫn với giả thiết ban đầu là \(\frac{a}{b}\) đã rút gọn.

Kết luận:

Vậy giả sử ban đầu là sai, nên không tồn tại số hữu tỉ nào có bình phương bằng \(\frac{3}{4}\).

Nếu có số hữu tỉ nào mà bình phương bằng \(\frac{3}{4}\), thì sẽ có một phân số khi bình phương lên ra đúng \(\frac{3}{4}\). Nhưng khi ta làm, luôn gặp mâu thuẫn ⇒ không thể có! 

Tick cho mình nhé, chúc bạn học tốt =)

🔹 Bước 1: Giả sử có số hữu tỉ đó

Gọi số đó là \(x = \frac{a}{b}\), trong đó:

• \(a , b\) là số nguyên
• \(b \neq 0\)
• Phân số \(\frac{a}{b}\) đã rút gọn rồi (nghĩa là không có số nào chia hết cả tử và mẫu)
• BÌNH PHƯƠNG 2 VẾ

\(x^{2} = \left(\left(\right. \frac{a}{b} \left.\right)\right)^{2} = \frac{a^{2}}{b^{2}}\)

Giả sử \(x^{2} = \frac{3}{4}\), ta có:

\(\frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{3}{4}\)

Nhân chéo:

\(4 a^{2} = 3 b^{2}\)

Giờ ta phân tích:

• Phía trái là 4 × a² → chia hết cho 4
• Phía phải là 3 × b²

=> Vế trái chia hết cho 4 ⇒ vế phải cũng phải chia hết cho 4 ⇒ \(b^{2}\) phải chia hết cho 4 ⇒ \(b\) chia hết cho 2

Tương tự:

• Vế phải là 3 × b² ⇒ chia hết cho 3
  ⇒ vế trái cũng phải chia hết cho 3 ⇒ \(a^{2}\) chia hết cho 3 ⇒ \(a\) chia hết cho 3

→ Vậy cả a và b đều chia hết cho 3 (hoặc 2), tức là chưa tối giản.

Mâu thuẫn với giả thiết ban đầu là \(\frac{a}{b}\) đã rút gọn.

Kết luận:

Vậy giả sử ban đầu là sai, nên không tồn tại số hữu tỉ nào có bình phương bằng \(\frac{3}{4}\).

Nếu có số hữu tỉ nào mà bình phương bằng \(\frac{3}{4}\), thì sẽ có một phân số khi bình phương lên ra đúng \(\frac{3}{4}\). Nhưng khi ta làm, luôn gặp mâu thuẫn ⇒ không thể có! ✅

Cộng 5 vào cả 2 vế:

(x−4) : 6 = 15

Nhân 6 vào vế thứ 2 ''15'' vì khi đổi vế phải đổi dấu N.T Công亗 bị nhầm ở bước này.

x - 4 = 15 x 6

x - 4 = 90

x = 90 + 4 = 94

Cộng 5 vào cả 2 vế:

(x−4) : 6 = 15

Nhân 6 vào vế thứ 2 '15'

x - 4 = 15 x 6

x - 4 = 90

x = 90 + 4 = 94

Nếu bạn vẫn chưa thấy hiện đúng, hãy:

• Kiểm tra lại mình đã chọn đúng thẻ môn học
• Nhấn vào từng môn để kiểm tra xem nó có hiện đúng nội dung không

Ở phần 'Tên phòng, lớp và chủ đề' bên trên, bạn nhấn vào 'Lớp', chọn lớp bạn muốn thì nó sẽ ra các phòng, ở tên phòng có ghi tên môn học của mỗi phòng tùy theo lớp bạn chọn.

Thẻ thi đấu cần chọn là thẻ thi "Tự chọn môn" hoặc thẻ ghi rõ từng môn riêng như: "Toán", "Tiếng Việt", "Tiếng Anh".
Sau đó, khi vào phần thi, nội dung sẽ hiện như:

• Toán 1
• Tiếng Việt 1
• Tiếng Anh 1

Nếu chọn đúng thẻ, nội dung thi sẽ hiển thị chính xác từng môn bạn cần.

Gọi số đã cho là AB, số mới là 3AB. AB + 3AB = 414

Ta tách biểu thức AB + 3AB = AB + AB + 300 = AB x 2 + 300 = 414

=> AB x 2 = 414 - 300

AB x 2 = 114

AB = 114 : 2 = 57