Gọi \(P = S C \cap \left(\right. A M N \left.\right)\); \(O = A C \cap B D\)

\(\Rightarrow M N\); \(A P\); \(S O\) đồng quy tại \(I\)

Ta có: \(\left{\right. & S A ⊥ B C \\ & A B ⊥ B C\)

\(\Rightarrow\)\(B C ⊥ \left(\right. S A B \left.\right)\)

\(\Rightarrow\)\(B C ⊥ A M\)

Mà \(A M ⊥ S B\) nên \(A M ⊥ \left(\right. S B C \left.\right)\)

\(\Rightarrow\)\(A M ⊥ S C\)

Ta có: \(\left{\right. & S A ⊥ C D \\ & A D ⊥ C D\)

\(\Rightarrow\)\(C D ⊥ \left(\right. S A D \left.\right)\)

\(\Rightarrow\)\(C D ⊥ A N\)

Mà \(A N ⊥ S D\) nên \(A N ⊥ \left(\right. S C D \left.\right)\)

\(\Rightarrow\)\(A N ⊥ S C\)

Do đó \(S C ⊥ \left(\right. A M N \left.\right)\)

\(\Rightarrow\)\(A P ⊥ S C\) và \(P M\) là hình chiếu của \(S M\) trên mặt phẳng \(\left(\right. A M N \left.\right)\) hay \(P M\) là hình chiếu của \(S B\) trên mặt phẳng \(\left(\right. A M N \left.\right)\)

\(\Rightarrow\)\(\hat{\left(\right. S B ; \left(\right. A M N \left.\right) \left.\right)} = \hat{\left(\right. S B ; P M \left.\right)} = \hat{S M P}\) (do tam giác \(S M P\)vuông tại \(P\))

Ta có: \(\frac{S P}{S C} = \frac{S A^{2}}{S C^{2}} = \frac{3}{5}\)

\(\Rightarrow S P = \frac{3}{5} . a \sqrt{5}\)

\(\frac{S M}{S B} = \frac{S A^{2}}{S B^{2}} = \frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow S M = \frac{3}{2} . a\)

\(tan ⁡ \hat{S M P} = \frac{S P}{P M} = \frac{3 a \sqrt{5}}{5} : \frac{3}{2 \sqrt{5}} a = 2\).