) Ta có : t/g ABCD là hbh 

 

Suy ra : AD=BC

 

Mà E là trung điểm của AD ; F là trung điểm của BC

 

Suy ra : AE=DE=BF=CF

 

Xét tứ giác EBFD có : BF//ED ( BC//AD )

 

                                    BF=ED ( cmt )

 

Suy ra : t/g EBFD là hbh.

 

b) Từ O là giao điểm của hai đường chéo của hbh ABCD hay là giao điểm của AC và BD.

 

Suy ra : O là trung điểm của BD hay 3 điểm B ; O ; D thẳng hàng 

 

Ta có : t/g EBFD là hbh ( cmt ) 

 

Suy ra : BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường .

 

Mà O là trung điểm của BD 

 

Suy ra : O cũng là trung điểm của EF.

 

suy ra : 3 điểm F;O;E thẳng hàng.

Xét tg ABG có

 

NA=NC; PB=PG => PN là đường trung bình của tg ABG

 

⇒

P

N

=

1

2

A

G

⇒PN= 

2

1

​

 AG (1)

 

=> PN//AG (2)

 

Xét tg ACG có

 

MA=MC; QC=QG => QN là đường trung bình của tg ACG

 

⇒

Q

M

=

1

2

A

G

⇒QM= 

2

1

​

 AG (3)

 

=> QM//AG (4)

 

Từ (2) và (4) => PN//QM

 

Từ (1) và (3) 

⇒

P

N

=

Q

M

=

1

2

A

G

⇒PN=QM= 

2

1

​

 AG

 

=> PQMN là hình bình hành (Tứ giác có một cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

 

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

 

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

 

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

 

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

 

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

 

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

 

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

 

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

 

Mà O là trung điểm của AF.

 

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

 

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

 

 

Xét tg OAM và tg OCN có

 

B

A

C

^

=

A

C

D

^

BAC

 = 

ACD

  (góc so le trong)

 

OA=OC (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

 

A

O

M

^

=

C

O

N

^

AOM

 = 

CON

  (góc đối đỉnh)

 

=> tg OAM = tg OCN (g.c.g) => AM=CN

 

Ta có

 

AB=CD (cạnh đối hbh) => AB-AM=CD-CN => MB=ND (1)

 

Ta có

 

AB//CD (cạnh đối hbh) => MB//ND (2)

 

Từ (1) và (2) => MBND là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

 

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE = 12 

2

1

​

 AB, CF = DF = 12 

2

1

​

 CD

 

Do đó AE = BE = CF = DF.

 

Xét tứ giác AEFD có:

 

     AE // DF (vì AB // CD);

 

     AE = DF (chứng minh trên)

 

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

 

Xét tứ giác AECF có:

 

     AE // CF (vì AB // CD);

 

     AE = CF (chứng minh trên)

 

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

 

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

 

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

 

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

 

Vậy EF = AD, AF = EC.

a) Do ABCD là hình bình hành

 

⇒

A

D

=

B

C

⇒AD=BC và 

A

D

AD // 

B

C

BC

 

Do 

A

D

AD // 

B

C

BC (cmt)

 

⇒

A

D

H

^

=

C

B

K

^

⇒ 

ADH

 = 

CBK

  (so le trong)

 

Xét hai tam giác vuông: 

Δ

A

D

H

ΔADH và 

Δ

C

B

K

ΔCBK có:

 

A

D

=

B

C

AD=BC (cmt)

 

A

D

H

^

=

C

B

K

^

ADH

 = 

CBK

  (cmt)

 

⇒

Δ

A

D

H

=

Δ

C

B

K

⇒ΔADH=ΔCBK (cạnh huyền - góc nhọn)

 

⇒

A

H

=

C

K

⇒AH=CK (hai cạnh tương ứng)

 

Do 

A

H

⊥

B

D

AH⊥BD (gt)

 

C

K

⊥

B

D

CK⊥BD (gt)

 

⇒

A

H

⇒AH // 

C

K

CK

 

Xét tứ giác AHCK có:

 

A

H

AH // 

C

K

CK (cmt)

 

A

H

=

C

K

AH=CK (cmt)

 

⇒

A

H

C

K

⇒AHCK là hình bình hành

 

b) Do AHCK là hình bình hành (cmt)

 

I

I là trung điểm của HK (gt)

 

⇒

I

⇒I là trung điểm của AC

 

Do ABCD là hình bình hành (gt)

 

I

I là trung điểm của AC (cmt)

 

⇒

I

⇒I là trung điểm của BD

 

⇒

I

B

=

I

D

⇒IB=ID