.

Xét Tam giác ADB: MN // AB (gt)

Suy ra: DN/DB = MN/AB (Hệ quả định lí Talét) (1)

Xét Tam giác ACB: PQ // AB (gt)

Suy ra: CQ/CB = PQ/AB (Hệ quá định lí Talét) (2)

Ta có: NQ sog sog AB (gt)

             AB sog sog CD (gt)

Suy ra: NQ sog sog CD (cùng sog sog AB)

Xét Tam giác BDC: NQ sog sog CD (cmt)

Suy ra: DN/DB = CQ/CB (Định lí Talét) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: MN/AB = PQ/AB

                             Suy ra: MN = PQ (đpcm).

Lấy D là trung điểm của cạnh BC.

Khi đó, AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD.

Ta có 

A

G

A

D

=

2

3

AD

AG

 = 

3

2

  hay 

A

G

=

2

3

A

D

AG= 

3

2

 AD

Vì MG // AB, theo định lí Thalès, ta suy ra: 

A

G

A

D

=

B

M

B

D

=

2

3

AD

AG

 = 

BD

BM

 = 

3

2

Ta có BD = CD (vì D là trung điểm của cạnh BC) nên 

B

M

B

C

=

B

M

2

B

D

=

2

2.3

=

1

3

BC

BM

 = 

2BD

BM

 = 

2.3

2

 = 

3

1

Do đó 

B

M

=

1

3

B

C

BM= 

3

1

 BC (đpcm).

Xét tam giác 

O

C

D

OCD có 

A

B

/

/

C

D

AB//CD (giả thiết) và 

A

B

AB cắt 

O

C

;

O

D

OC;OD lần lượt tại 

A

;

B

A;B.

Theo hệ quả của định lí Thales ta có:

O

A

O

C

=

O

B

O

D

=

A

B

C

D

⇒

O

A

O

C

=

O

B

O

D

⇒

O

A

.

O

D

=

O

B

.

O

C

OC

OA

 = 

OD

OB

 = 

CD

AB

 ⇒ 

OC

OA

 = 

OD

OB

 ⇒OA.OD=OB.OC (điều phải chứng minh).