a, Xét tam giác ABC có CD là phân giác góc ACB (GT)

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{CB}=\dfrac{AD}{BD}\) (tính chất đường phân giác)

⇒ \(\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{CB}{BD}=\dfrac{AC+CB}{AD+BD}=\dfrac{12+6}{12}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow\dfrac{12}{AD}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow AD=8cm\\\dfrac{CB}{BD}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow\dfrac{6}{BD}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow BD=4cm\end{matrix}\right.\)

Vậy a, AD=8cm; BD=4cm.

b,

Xét tam giác BAC có BN là đường phân giác của góc ABC(GT)

⇒ \(\dfrac{CN}{AN}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{a}{b}\) (tính chất đường phân giác)

Xét tam giác CAB có CM là đường phân giác góc ACB (GT)

⇒ \(\dfrac{BM}{AM}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{a}{b}\)( tính chất đường phân giác)

Xét tam giác ABC có

⇒\(\dfrac{BM}{AM}=\dfrac{CN}{AN}\left(CMT\right)\Rightarrow\dfrac{BM}{CN}=\dfrac{AM}{AN}\)

⇒ MN//BC(Thales đảo)

⇒ \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}\Rightarrow\dfrac{AM}{b}=\dfrac{MN}{a}\)(1)

Có \(\dfrac{BM}{AM}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{a}{b}\) (cmt)

⇒\(\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{b}{a}\)

⇒ \(\dfrac{AM}{b}=\dfrac{BM}{a}=\dfrac{AM+BM}{a+b}=\dfrac{AB}{a+b}=\dfrac{b}{b+a}\)

⇒ \(AM=\dfrac{b^2}{a+b}\)

Thay vào (1) được

\(\dfrac{\dfrac{b^2}{a+b}}{b}=\dfrac{MN}{a}\Rightarrow\dfrac{b}{b+a}=\dfrac{MN}{a}\)

⇒ \(MN=\dfrac{b}{b+a}\times a=\dfrac{ab}{a+b}\)

Vậy \(MN=\dfrac{ab}{a+b}\).

Vì CE,BD là trung tuyến ứng AB, AC trong tam giác ABC (GT)

⇒ AE = EB; AD = DC (TC)

Mà M, N lần lượt là trung điểm BE,DC(GT)

⇒ \(\dfrac{EM}{EB}=\dfrac{1}{2}\) và \(\dfrac{DN}{CD}=\dfrac{1}{2}\)

Hay \(\dfrac{EM}{AE}=\dfrac{1}{2}\) và \(\dfrac{DN}{AD}=\dfrac{1}{2}\)

⇒ \(\dfrac{EM}{AE}=\dfrac{DN}{AD}\)

Xét tam giác AMN có \(\dfrac{EM}{AE}=\dfrac{DN}{AD}\) (cmt) 

⇒ ED//MN ( định lý Thales đảo)

Xét tam giác EBD có MI // ED ( I ϵ MN)

Mà M là trung điểm BE (GT)

⇒ I là trung điểm BD.

⇒ \(\dfrac{MI}{ED}=\dfrac{1}{2}\) (1)

Xét tam giác ECD có NK//ED (K ϵ MN)

Mà N là trung điểm CD (GT)

⇒ \(\dfrac{KN}{ED}=\dfrac{1}{2}\) (2)

Xét tam giác ABC có E, D lần lượt là trung điểm của AB, AC (GT)

⇒ ED là đường trung bình tam giác ABC (ĐN)

⇒\(\dfrac{ED}{BC}=\dfrac{1}{2}\) và ED//BC (TC) (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ \(\dfrac{MI}{BC}=\dfrac{KN}{BC}=\dfrac{1}{4}\) (4)

Xét tam giác EBC có KM // BC (//ED)

Mà M là trung điểm BE (GT)

⇒ K là trung điểm EC.

⇒ MK là đường trung bình tam giác EBC (ĐN)

⇒\(\dfrac{MK}{BC}=\dfrac{1}{2}\) hay \(\dfrac{MI+IK}{BC}=\dfrac{1}{2}\) 

Mà \(\dfrac{MI}{BC}=\dfrac{1}{4}\) (CMT) 

⇒ \(\dfrac{IK}{BC}=\dfrac{1}{4}\) (5)

Từ (4), (5) ⇒ MI = IK = KN

Vậy MI = IK = KN (ĐPCM)

Có BN và CM là đường trung tuyến ứng AC và AB (GT)

⇒ N và M lần lượt là trung điểm BN và CM (TC)

⇒ NA = NB và MA = MC.

Xét tam giác ABC có NA = NB(CMT) và MA = MC(CMT)

⇒ MN là đường trung bình tam giác ABC.

⇒ MN // BC và MN = \(\dfrac{1}{2}BC\) (TC) (1)

Xét tam giác GBC có DG = DB ( D là trung điểm BG) và EG = EC (E là trung điểm GC)

⇒ DE là đường trung bình tam giác BGC (ĐN)

⇒ DE // BC và DE = \(\dfrac{1}{2}BC\) (TC) (2)

Từ  (1) và (2) ⇒ MN // DE và MN = ED

⇒ Từ giác NMED là hình bình hành (DHNB)

⇒ ME // ND (TC)

Vậy a, MN // DE (ĐPCM);

       b, ND//ME (ĐPCM)

a, Gọi E là trung điểm MC.

Có AM = \(\dfrac{1}{2}MC\) (GT)

⇒ AM = ME= EC

Có AD là đường trung tuyến của tam giác ABC (GT)

⇒ D là trung điểm BC (TC)

⇒ BD = CD

Xét tam giác BCM có ME = EC (CMT) và DB = DC (CMT)

⇒ DE là đường trung bình của tam giác BCM (ĐN)

⇒ DE // BM (TC)

Xét tam giác ADE có AM = ME (CMT) VÀ BM // DE (CMT) hay OM // DE (O ϵ BM)

⇒ OA = OD 

Hay O là trung điểm của AD

Vậy O là trung điểm của AD (ĐPCM)

b,  Có DE là đường trung bình tam giác BCM (CMT)

⇒ DE = \(\dfrac{1}{2}BM\) (TC)

Xét tam giác ADE có OA = OD (CMT) và AM = ME (CMT)

⇒ OM là đường trung bình tam giác ADE (ĐN)

⇒ OM =\(\dfrac{1}{2}DE=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}BM=\dfrac{1}{4}BM\)

⇒ OM = \(\dfrac{1}{4}MB\)

Vậy  OM = \(\dfrac{1}{4}MB\) (đpcm)

a, Qua M kẻ MN // BD (N ϵ AC)

Xét tam giác AMN có I là trung điểm AM (GT)

Mà ID // MN (BD // MN)

⇒ D là trung điểm của AN

⇒ AD=DN (TC) (1)

⇒ ID là đường trung bình của tam giác AMN

Có AM là trung tuyến của BC (GT)

⇒ M là trung điểm BC (GT)

Xét tam giác BCD có M là trung điểm BC (CMT)

Mà MN // BD (GT)

⇒ MN là đường trung bình tam giác BCD

⇒ ND = NC (TC) (2)

Từ (1), (2) ⇒ AD=DN=NC

⇒ AD = \(\dfrac{1}{2}DC\)

Vậy ⇒ AD = \(\dfrac{1}{2}DC\) (đpcm)

b, Từ câu a có ID là đường trung bình tam giác AMN (CMT)

⇒ 2 ID = MN (TC) (3)

Có MN là đường trung bình tma giác BCD (CMT)

⇒ 2 MN = BD (TC) (4)

Từ (3) và (4) ⇒ 4 ID = BD

Vậy BD dài gấp 4 lần ID.

Xét tam giác ABC có: \(BC\perp AB'\) ( từ hình vẽ) và \(B'C'\perp AB'\) (từ hình vẽ)

⇒ BC//B'C'

Xét tam giác AB'C' có: BC//B'C' (cmt)

⇒ \(\dfrac{AB}{AB'}=\dfrac{BC}{B'C'}\) (Hệ quả định lí Thales)

hay \(\dfrac{x}{x+h}=\dfrac{a}{a'}\)

⇒ ax' = a (x+h) = ax+ah

⇒ ah = x (a'-a)

⇒ \(x=\dfrac{ah}{a'-a}\)

Vậy  \(x=\dfrac{ah}{a'-a}\) (đpcm).

Xét tam giác ABD có: MN//AB (GT)

⇒ \(\dfrac{DN}{BD}=\dfrac{MN}{AB}\) (Hệ quả định lí Thales) (1)

Xét tam giác ACB có: PQ//AB (GT)

⇒ \(\dfrac{CQ}{CB}=\dfrac{PQ}{AB}\) (Hệ quả định lí Thales) (2)

Có: AB//CD (GT)

Mà NQ//AB (GT)

⇒ NQ//CD.

Xét tam giác BDC có: QN//CD (cmt)

⇒ \(\dfrac{DN}{DB}=\dfrac{CQ}{CB}\) (Định lí Thales) (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ \(\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{PQ}{AB}\left(=\dfrac{DN}{DB}=\dfrac{CQ}{CB}\right)\) 

⇒ MN = PQ 

Vậy MN = PQ (đpcm).

Gọi CE là đường trung tuyến của AB trong tam giác ABC.

Xét tam giác ABC có:

G là trọng tâm (GT) và CE là đường trung tuyến ứng AB (cmt)

⇒ \(GE=\dfrac{1}{3}CE\) (tc) ⇒ \(\dfrac{CE}{GE}=\dfrac{1}{3}\)

Xét tam giác CEB có: d//AB hay BE//GM (G,M ϵ d; E ϵ AB)

⇒ \(\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{GE}{CE}=\dfrac{1}{3}\) (Định lí Thales)

⇒ \(BM=\dfrac{1}{3}BC\)

Vậy \(BM=\dfrac{1}{3}BC\) (đpcm).

Xét tam giác ABO có: AB//CD (GT)

⇒ \(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\) (Định lí Thales)

⇒ \(OA\times OD=OB\times OC\)

Vậy \(OA\times OD=OB\times OC\) (đpcm).