a) Vì $BM$, $CN$ là các đường trung tuyến của $\Delta ABC$ nên $MA=MC$, $NA=NB$.

Do đó $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$, suy ra $MN$ // $BC$. (1)

Ta có $DE$ là đường trung bình của $\Delta GBC$ nên $DE$ // $BC$.  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MN$ // $DE$.

b) Xét $\Delta ABG$, ta có $ND$ là đường trung bình.

Xét $\Delta ACG$, ta có $ME$ là đường trung bình.

Do đó $ND$ // $AG$, $ME$ // $AG$.

Suy ra $ND$ // $ME$.

a) Vì $BM$, $CN$ là các đường trung tuyến của $\Delta ABC$ nên $MA=MC$, $NA=NB$.

Do đó $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$, suy ra $MN$ // $BC$. (1)

Ta có $DE$ là đường trung bình của $\Delta GBC$ nên $DE$ // $BC$.  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MN$ // $DE$.

b) Xét $\Delta ABG$, ta có $ND$ là đường trung bình.

Xét $\Delta ACG$, ta có $ME$ là đường trung bình.

Do đó $ND$ // $AG$, $ME$ // $AG$.

Suy ra $ND$ // $ME$.

a) Qua $D$ vẽ một đường thẳng song song với $BM$ cắt $AC$ tại $N$.

Xét $\Delta MBC$ có $DB=DC$ và $DN$ // $BM$ nên MN=NC=12MCMN=NC=21​MC (định lí đường trung bình của tam giác).

Mặt khác AM=12MCAM=21​MC, do đó AM=MN=12MCAM=MN=21​MC.

Xét $\Delta AND$ có $AM=MN$ và $BM$ // $DN$ nên $OA=OD$ hay $O$ là trung điểm của $AD$.

b) Xét $\Delta AND$ có $OM$ là đường trung bình nên OM=12DNOM=21​DN. (1)

Xét $\Delta MBC$ có $DN$ là đường trung bình nên DN=12BMDN=21​BM. (2)

Từ (1) và (2) suy ra OM=14BMOM=41​BM.

Xét tam giác $ADB$, ta có: MN // AB (gt)

=> \(\dfrac{DN}{DB}\) =\(\dfrac{MN}{AB}\)(hệ quả định lí Thalès) (1)

Xét tam giác ACB, ta có: PQ // $AB$ (gt)

=>\(\dfrac{CQ}{CB}\) =\(\dfrac{PQ}{AB}\)​ (hệ quả định lí Thalès) (2)

Lại có: NQ // $AB$ (gt); $AB$ // $CD$ (gt)

=> $NQ$ // CD

Xét tam giác BDC, ta có: NQ // CD (cmt)

=> \(\dfrac{DN}{DB}\)=\(\dfrac{CQ}{CB}\) (định lí Thalès) (3)

Từ (1), (2) và (3)=> $hay$MN = PQ (đpcm).

Xét △ABC có BC vuông góc với AB'; B'C' vuông góc với AB'

⇒ Góc ABC = BB'C ( =90 độ ). Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị.

⇒ BC//B'C'

Xét △AB'C' có BC//B'C' (cmt) :

\(\dfrac{AB}{AB'}\) =\(\dfrac{BC}{BC'}\)​ ( Hệ quả định lý Thalès )

⇒\(\dfrac{x}{x+h}\) = \(\dfrac{a}{a'}\)​

⇒ a'x = ax + ah ⇒ x( a' - a ) = ah ⇒ x = \(\dfrac{ah}{a'-a}\) (đpcm)

Vậy x = \(\dfrac{ah}{a'-a}\)

Lấy D là trung điểm cạnh BC.

Khi đó, AD là đường trung tuyến của △ABC.

Vì G là trọng tâm của △ABC nên G nằm trên AD.

⇒\(\dfrac{AG}{AD}\)​ = \(\dfrac{2}{3}\)hay AG = \(\dfrac{2}{3}\)​ AD

Xét △ABC có MG//AB (gt) :

⇒\(\dfrac{AG}{AD}\)​ = \(\dfrac{BM}{BD}\)= \(\dfrac{2}{3}\) ( Định lý Thalès )

Lại có BD = CD ( D là trung điểm của cạnh BC ) nên \(\dfrac{BM}{BC}\)​ = \(\dfrac{BM}{2BD}\)= \(\dfrac{2}{2.3}\)​ = \(\dfrac{1}{3}\)​ hay BM = \(\dfrac{1}{3}\)​BC (đpcm)

Vậy BM = \(\dfrac{1}{3}\)​ BC.